初二数学第1讲平行四边形的提高

第一章 行四边形的提高平【本

章进目步】标【★

★★★☆☆】通 过对本课的节学，习你能： 够 1对平四行边的概念、性质、形定达到【判识】级别记 ；2对 平行四边的形质性达【初级运用】级别到 ； 3平对四边行的判定方形法达【初级运到】用级别 4 对；中位的线应用到达【级初运用】级；别 5通过添会辅加线构助平造行四形来边决解何几题。问

本章【步地图】进

第一关：行平边形的概四念、性、质判，达到识记定别级【★ 】、1关 卡-1：1平四行边形概念——的识【★记 】2关卡 1、-：平2行四边形 4 个性质的——识【★】 3记、关卡 -31：行四平边的形 5个判 方法——定记【★】

第二关：平识四行边的性形，达到初级运用质别级★★★【★☆☆ 1、关卡 2】1：平-行四边基形本质性—初级—运用★★★【】★ 、2卡 2-关2平行四边形：存在的角平分线中问题—初级—用运【★★★★ 】3、卡 2关3：-行四边形与平积相面问题关——初级用运★【★★★】

三关第平行四边：形判，定到高级达用级别运【★★★★☆★ 1、】卡关 -31：平行四边形判方定法——初级运【★用★★】★ 2、卡 3关2： -利平用四边行形的判定方法决几何问解——题初运级用★【★★】★3 关、 3卡3-中：线——位级运高【用★★★★】 第★四：关利辅用线构助平行四边形造达，高到运用级级别★【★★★★☆

1

】【第一关 】行平四形的概念、 性质与判边定的概念 ★【☆☆☆☆】

☆本关【进目标】步【

】★能对够【关卡 11-】 1的 道例全部解题正确，答明表对你平行四形边概的达念到【 记】级识；别 【】★能对够【卡 关-21】的 4道例题部全答正确解表，你明平行对边四形 4的 性质种 达到识【记】别级。 ★【能】够对【关 1卡-3的 】 道5例全题部答正确，解明你表平行对边四的形5 判定种方法 达到【记识级】。别

【

标目目题示例】

是

平行边四

2形

关

1-1：平行卡四边的形念概—识—记【★】【过关

指南】

【

ips】 本T关卡填空为式需要，员记学住平行边四的形定。义

【

例】

题平行

边形的四义为定__________________

。

【笔记】

【关过总】结



利用关键词

住记平四边行形的念。概

3

关卡

-21平行四：形边性质—识记【★】—【过关指

】南

【ipTs】本 关为卡道填空四式习题练，别分是助辅生复学回习顾平四行边形 的4个基本性 质

【例：题】

1）（行四平边形的_____________________相_等

；2）（行平边四形___的__________________相_等；

3（）行平四形的__边___________________互相_平；分 （4）平四边行形是____________________图形_。

笔【】

4记

关

1-3卡平行：边形的四5

种判方定—法识—【★记

【】关指过】南

【

ipTs】 关卡本为道五填空式练习题，别是辅分学生复助回顾习行平四边的形 5 判定方法个： 例题】

【（1

）________________________________________是行平边四；形（ 义）定

（

2 _）_____________________________________是平_行四边；

（形3）__ _____________________________________是平行四边；

形

（）4_______________________________________是_行平边四形

；5） （______________________________________是平_行边形四

。【笔】记

5

【二第】关平 行四形边性的质【★★★☆★】☆

【本进步关目】标

【★★★★能】够对【卡关 21】- 的4道练习 题部全答正解，确明表你对平四行边的 性质形—达【到初运级】级用别 ；★【★★★】够能【关卡对2-2 】的3 道练习题解答全部 正确表，你明平对四行边形中 存角在平线分问题达【到级运用初 。 【★★★★】】够能对关【卡 -3】的24 练道习题全解答正部，表明确你对行四边形性 平质面积相关问与达题到初【级用运】别级

；

【标题目示目例】

已知

如：，□A图CDB ，D中EAC ⊥ 于，BFEA⊥ 于 C．求F：证D＝BFE．

6

关卡 2-

1平行：边四形本性基—质高级—解【★★★】

理【过指关南

】【

iTp】 s考平察行边形对四边等；相 考平察四行边对形边行及平顶对角相等；考察平行 边形对角四线互相分；

【平题例】

如图,

A

CBD的周长 为1 c6， ACm BD 相交于点 、O O，⊥AC 交 EDA于 ， E则△CED的周长为( B. 6cmC.8 m D.c0 1m

)

A.c4 c

【m记】

笔7

【

过练习】 【练习 关1】 平行在边形 四BACD中 ， 知 AB已8， 周＝等长 于4， 2则BC＝ A D ＝．， CD ，

＝【

习 2】如图练在,行平四形边A BDC中，下列 式不一定正确的是各 (.A1+∠∠=218°0C. ∠3+∠418=0 B°.2+∠3=1∠80 °D∠.2∠4=1+08°

)

【练习

3】 如，图 平在四边行形 BAD C中 ，角线 对A，CB D交相于 点，O 果 A如=14，CBD=8 ,B=xA， 么 x 的取那范围是 .值

8

【习 4】如图，在平行四边形练 BCDA中 分别以， B,AD 为A向外边作等 边BE,A AD ， 延长F B 交CAE 于 点，G 点 G在 A,E 之间点， 接连 GF,C F则以四下个论一结定正的确是 （ ）

①CDF≌BEC③ CEF 等是三角形边A． 只①有 B．②有只②①③

②CF

D

EAF

CG④ A E C只．有④③ D．①②④

③

D AFB

C

G

E

【过关总结】

行四边平的形边对相；等

平

四行形的对边相等；

平行四边形的角对线互相角平分；

平

四边形行中是心称图形。

对

当家大有关做平行四边形问题时要分充记平得四行边具形有些性质哪。

9

关

2卡-2：行四平边中形遇平角分问题线——初级用运【★★★★

【】关过指南

】

T【ip】 s（1角平分）线质性（ ）平行2性线质

【例题】

图，在如平行四边 A形BC 中D， A  3100 ， AD在 上取D E C ，D 则ECB的度数 是。

【笔】记

10

【过

关练】 习【练 1】习如，图在平行边四形ABC D 中已知，A B9cm，A==Dc6m，B E分∠A平B 交CCD 边于点 ，E则DE 等于

c

m

.【练习2】如图 已，知平行；边形 四BAD C，∠BCD中 平的分线 EC交 边 AD于 E ，∠BC 的A 平线分 BG CE 交于 ，F交AD 于 G。求证 ：E=DA．GA EG D

F C

【B习 3】练图如，已平行知边四 形ACBD，D E是∠ADC的角平分线，交 B C点于 ． E1）求证：C=CED ；2若 ）BECE，=B∠80=，°求DAE∠的 度．

数A

213

D

B

E

C

【过关总】角结分线遇平行线会平现等腰出三形角，然可以后用等利腰角形来三解

题11

关卡 -23：平四边形与面积行相关—初—级运用【★★★★

】【关过南】指

Ti【sp

】

（）两条平行1线间距离的画高， 2）平（四边形的行质性边，角：对角线 （3）平与行边四形的积面式公

【例题】

列平行下四形边，中图中阴影部其面分不一积等于定平行边四面积的一形的是（

半

）A

B

C

D

【

笔记

【过关练】习】

1

2

【过

关练】习【练习 】已知任1意线直平把行四边 形BCD 分成两部分,要使这两部分的面A积等,相直所线在的位 满足的置条件

是

练习【 】2若张爷家大的地菜的状如图形所示,A∥B EF∥ D，CFA E∥∥ BDC,请你用一条直 线其将分面积为相等两部的。 分不（作写法，留保图作迹，痕用请少不两种于方解答）法A

F

E

B C

DA

F

EB C

D

A

F

EB C

13D

【练习

3 】如，一图个平四行形被分成面边为 S积 1,S 2 S3 , S 4 ,四个小平四边形行， CD当

沿

B A左向右在平行自边四形滑动上，则时 1S 4S与 S S23 的大小关系 为

练【 4习】在平行边形 ABC四 D，点中A1 A，，A2，3A4 C和1C2，，C3C， 4别分是 B A C和D 的 等五点，B分，12 和 BD1D2 分别是 ，BC 和 A D的三分点，已等知边形 A4四2B4CD2的面积 1，为则平 行四边形 BAC D的面为积 （A.2 B ）. .

C 5

3 53

.15

D过关【结总 做题时我】们记要平得行四边形的中心称性，可以对图中的部将图形面分进积行转。

换41

【

关过检】测

Ti【s】p

到

目前为，你已止完成经了二第关容的内习学，老从的师解中讲，信你相收获许了知多 ，也识己完成自许多了练题习。下接，我们做一个来测试小如，果能你确的、快速的、正独 的完立成面的测下试题，说你顺明利通过第了二！关

【关过条】

件前

个小关3卡练题习正确目率低不 于08；%本次关过检测确率正10 %0 .【过关试】 【1题一】平行四边形的一个边是 长8一条对，线角是长 6则，它另的一对条线角x 取值的围 范_为__________。 【2】平_行边形 A四BC 中，周长为 20Dm，c角对 线

AC交 BD 于点 ，O△AO B△比OBC的 周长 多，则4边 BA＝___________，_C＝_____B______． _3【已知】如，图在△BAC 中BD 是，ABC∠的平 线分，D∥EC B AB 交 于EEF，∥A 交 BCC 于F 则，BE ＝FC为什么？，

AB D

【C4】如图上村有一口田任四边意形池的塘在它，四的角个A、 、BCD 处均、有种棵一核大 桃树。村准备开田挖塘池养鱼池建想，池使塘面扩大一倍积，想保持又核树不动桃，要并求扩建 后池的塘成平行边形四状形请问：田村，否实能这一设想现？若，请能帮助设你计并说 方案明；不能，若也请说明理.

由1

5

【三关第 平】行边形四定判★★★★【★】☆

本关【进目步】

标★★★★】能够【【关对 3-1卡的 3 】道习题练部解答正确，全表明你平对四行形的边 判方定达到【法初运用】级级；别【 ★★★★】够能对关【 3-卡】2的3 练道题全习解答正确，部明表你利对平行用边四 形决几何解问达题到【级初运】级用； 【别★★★★★能】对够关【 3卡3】-的 4道练 题习全解部答确正表明，你对中线位应 用的达【高到运用级】级；

别

目【标题示目例

】已

如图所知示，在平四行形 边BCDA ，中EF， 别是分AB，C D的中点. 证求 （：1）△AFD≌△•CEB ．2）（边四 形EAC 是F平行边四形

．

16

关

卡3-1：平行 边形判四定法方—初—运级【用★★★★】

【关指南过

】【

Tis】

p

组两边对分相别，等四边形为则平行边形；四 两组对边分别平行，则边形四平为行四形边 一；对组边平且相行，则等四边为平形四边形行； 角对线相平互分则，四形边平行四为边；形两 组对相等角，则四形边平为四边行形。

【题例】如 图示所∠，1∠=2，∠=∠43，四边形问A CDB是不是平 行四形．

边笔【记】

17

【过练关习】 题错记标 练习 【1

】（

）能够1别一个判边四形是行平四边形条的是件 A.（组对角一相等

）

.两B对角线互相垂直且条等相

C.两

组边对别相等分

D一.对组边平行

（

）下2列条件中能不确四边形定ABCD 是平行四边 形是（的A.AB=CD ，D∥AC B.BB=CADAB，∥C

D

）C.AB∥

CD，ADBC∥

D

AB.=DCA，=DC

B（

）一3四个形的边个三角内度的数次如依下选项，中是平行其四边形是（ 的.A8°8，01°8，88 B°.8°，804°，108°

1

C）.88°9，°2，9°2

D88°.9，2°8，8

°（4

）四形边 ACB D，中AD∥B，要判别C四形 边ACBD是平 四行形边还，需满足条件 A.∠（+∠C=180°AB .∠+∠DB=801°

）

C∠.+AB=∠80°1

D.∠A

+D=∠80°1

5）以（不在条一直线的三上 A、点B、 为顶点的C平行边四形共（

有

A）1. 个

B

2 个.

C

.3

D.4 个

18个

【练 2】习知：如图在已平四边行 形BAD C,中AEC=F,BMDN=求证：四边 E形FN 是平M四行形边A N MEB F D

C

练习 【

3】如图平行四，边 形ACD B的角线对AC 、B D交于O EF，过点 O 交 A D 于E 交， CB于 F， 是G AO的 中点， 是 HO 的C点，中边四 EGF形H 是平四边形行，明理由说.

【过关总

】结 熟记中判五方法；定 果如本身目题中存在当行平边四形时，记要住可利以平用行边四的性形来解质题

1。

9

卡关 32：利用-平行四形边决解几问何—题初级—用【运★★★ 】

★过【关南指】

【iTs】

p

行四平形的边性质 ；行平边形四判的定法方

。例【】 在□题ABCD中 ，E在 A B 上F， 在CD ，且 AE=CF,求上证F：=ME MNE=F

D NF CN M A BE

【

笔】记

20

【过关

练】 【习习练 1 如】所图，示 在边四形 BCD 中， ABA=CD ，B=CA， ED， F 为对角 线AC上的点， 且 A =ECF ，求：证B=DE．

F【练习2】 如图所示 ， D为△AB C的边 B 上一点， DFA交 A C点于E 且 ，EA=EC， FC∥B． 求A证： D=CFA．

【练习 3】

如 图所示，已知 四边形 BAD C是行四平形边，在 A B延长的线上截 BE取AB， =BF=B， 连接D CED，，相F于交 点M．求证C：=DMC．

过关【总结】 决解类上似面有关几问题时何我们可以先去，用利平行边行四的判定证明图形为去平四 边形行，后再之用平行利边形性质解四。

题12

卡关 33：中-位—线高—运级用【★★★★】★【

关指南】

过T【is】p （1）三 角形中线位念概：角形三两边点的连线中叫三角形做位线；

中（）三2形角位线：中平行于第三边，并等于且第三条的一半。边

例题】在△ABC 中，D、【E分 别 AB是、C 的中点AP 是 ，B C任上一意点那，么PDE△面积 △ABC 是积面 的(

A).

1

2

B.

1 3

C.

14

.D

1 8

【笔记】

22

【

过关练习 【】练 习1】已 知AB△C周 长为 6，D、E1 分是别 A、BC 的中点A则，△DAE 周的长等于 ( )A1 、B、2C、4 、D8

【练

习2】图如，AB△ 的C周为 1，连长△A接CB三边 的点构成中二第三角个再连接，二第 个三角形三边点构成中第三个角三形，依此推类第，2 03 个三0形角的长周为

【.练习3 】如 ， 在图图 1（ ）, 中A ,1B , C1 分别1是 ABC 的 B边C,C ,AA B的中 ，点在图 （ 2 中） ，A ,2 B2, 2C分 别是△1BA1C 的边1B 11 C ,C A11 , A B11的 点中…，按此规律，，第则n 个 形图中 行四平形边的个数共有A C1

C 12 BBA

(11)

个

。A

AB1 2 CA1

2()

B1C B

A2

C1

2BC B

A2

3 AC3 B

3

B C1

…

C2

A

1

(3)

练习 【】如图4所，在△示BC 中AE， 为B A中点，C的D 分∠平CABA，⊥CD D于 点D• 试说．：明 1（DE∥）CB． （）2E=

D1 （

B-CC）A ．2

【

关过总】 三角结中位线形平是于行三第边并条且是于等三第边的条半一；

23

题目当中当现中点时出，可虑是考否助借位线来进中行解。题

【过

关测检】

【Tpsi】

到目前为止，

你已经完成了三第内容关

的学，从老习的师讲中解相信你，获了收多知许识 也自，完己了成多许习练题。接下，我来做们个小测一试，如你果正能的、确速的快独 立、完成下的面的测试题，明你说顺通利了第三关过

！【

关条件】

过

3 个前关卡练小题目习正率不低确于 0%8；次本过检测正确关率1 00% 【.关过题】

试【

】如图1已，知 C∥DA E A且=DC，EDACE，交 点 B于AF，，D 分G是别ABC△，△DE B的中线， 求•：四边证 AG形FD 平行是边四形

．2【】平四边行 形ACBD 中，E在 A B上，F 在DC ，且上 A=EC,MF 为D E中点 N， FB 为点中求 ,证：M=NEFME N=F

D

F

C N

24M

E AB

【

】在3平四边行 A形CB D，中E在 A B ，上 在FCD 上 ， 且AECF=,求证：M=FN MEE=N

D

F F NCM

A

E

B【

4】图如示，所在边四 形BACD ，中EF，G，H 分，是别AB， BC，D，CD A的点中•，则边 四 EF形GH 平行是边四吗形为什么？

？

【5】图如所示在， ACD 中，BFE∥A 且B交B C于 E，点交A D于点 F，接连AE， FB交于点• ， 连接 MF，CDE交 点于 N，求证M：∥NAD M且=

N1

DA． 2

25

【第四关】 利用辅助线构平行四造边形【★★★★☆】★

过【关指南

【】ipTs】当看到所求要结论证与中行平边形的性质相四，关往往虑考构辅助造线建，立平行 四边，形来助辅们我行解题。进

【题例如图，】已点 O 知平是行边四行 BCAD的 角对线 C A中的点，四边行 COD E是行四边平 形。求：证OE 与A 互D平相分.

【笔】记

62

【

过关练习】【练习 1】 图，△A如CB 为边三等形角P ，△A是C 内B任意一 P点D∥B，AE∥BPCPF∥A，C， 若ABC△ 的长为 1周，2 则DP+EP+P= .F

A

FPB E C

D

练习【2】如 图在平行，四形边 ABDC 中，点E ,F 是对角 A线C上 两，点 AE且 CF． 求： 证EB  FDF ．E

【练 习】如3所图示．在平四行形边 ABC 中，DEA⊥B，CFC⊥ADD，N=BM，求 ：EF 与 证M 互相平N分

．

2

7

练习【4】 知已图如 在四边行： BCDA ， 中AD=C， BBA=C， 点 ED，F 别分在B 和C AD边上， AFCE， =EF 对角和 B线D 交于点 O相，求证：点 O B是D 中的。点

【

关总结过当】家大做在题，时到所看求证要论与结平四边行形的性质致大关，相此你时 提要醒己自考虑构辅造线，建助平行立四边，形来助辅我们行进解。题

2

8

【过

检测】

【T关isp

到目】为止，前你经已完了第四关内容的学习成从，师老的讲中，解信相收你获了多许 识，也知自己成完许了多练题。接习下来，我做一个们小测，如果试你正确的、能快的、速独立的完成 面的下测试题说明你，利顺过了通四关第

！【过关

件】

条

关此练习目正题确不率于 低8%0本次过关；检正确率 100%测. 【关试过题 】【】1一次数在学实践探活究中动小强，用两直条线把

平行边形四ABC D分割 成四部个分， 含使一组有对角顶的两个形图全；

等（

）根据小强1分的割方，你认为法平把行四形边割分成满足上全等以系的直线关有___ _____ _组；（2 请在图中）的三个行平边形中四画满足小出分强方法割直线； 的3（由上述实）验作过程，你发现所画的两操直线条什有规律？

么9

2

【2】

图，如知已边四 形ACDB 是行平边四形∠BC， D平分线 CF的交 AB边于 F∠，AD C平的分 DG 交边线A B 于.G( )求证1:A=GBF；( 2请)在已你知件的基条础再添上加一个条件，使得△FEG 是等直角腰角三,并说明理 由形.

3】【如 图，平行 边四形 BCD 中A， 、 F 是 EAC上 两，点且 A ECF= ，又点M、 N 分在 AB、别 D C上且， FM∥E ，NMN交 A C于 。O求：证E 与F MN 相平分互

。【4】图如示，已知所E 为 □BCD 中 AC D的延边长线上的一点， 且CEDC，=连接 A，E分别交BC，B D于点 F，，连接 AC G 交D 于点B O，连 接F，求O：A证=2BOF

．

30

【

级超挑战】【★★★★】

【练★习 1】 图如在，边四形 ABCD 中，D=BA，E、FC分别是 DCA、B的中 点直线，E F 别分 交C、BDA 长延于 线ST，、证：求∠TFA∠=SBF.

13

练【 2】在习△AB C，点 中 为P CB 中点． 的（1）如图 1，证求 ：AP 

1 ( AB

 C ) B ；2

2（）长延 AB D到 使得 ，BD

A C， 长延AC E到， 得使C E AB，连 结 E ．

D① 图，连2 B结E ， BAC若 6 00，请你探 线究段 EB 线与 A段P 之间的量关数系写． 你出结论的并加，证以明；②请 图在3 中 证明．B C

 D1 E

2

2

3