3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性

3-4试用劳斯判据确定具有下列特征方程是的系统稳定性。

(1)S3

20S

2

9S2000

解：S319S220200

S11

S

200

劳斯表第一列元的符合

变化两次，系统有两实

部根。不稳定。

2）S4

8S

3

18S

2

16S50

解：S4185

S3816S215

5

S113.5S

5

劳斯表第一列元的符合

没有变化两次，系统没

有有正部实根。所以系

3）S5

6S

4

3S32S

2

S10

解：S5131S4

621

S3

8536

S2

18

1

S1

1236S

1

劳斯表第一列元的符合

变化两次，系统有两实

部根。不稳定。

3-5设单位负反馈系统的开环传递函数为

G(S)

K

S(0.1S1)(0.21)

试确定系统稳定时k的取值范围。

统稳定。

（（

解:又开环传递函数的系统D(S)0.02SSSSS

32

3

的闭环特征方程为：

0.3S

2

SK0

0.020.3

1K0.3

K

1

0.30.02KK

于是系统稳定，则有

0.30.02K0

0K15

K0

3-6已知系统的闭环特征方程为

S1)(S1.5)(S2)K0

试由劳斯判据确定使得系统闭环特征根的实部均小于-1的最大k值。 解：根据题意可作线性ZS1

此时系统的闭环特征方D(S)ZZZZ

32

SZ1

变换

程为：

3

Z(Z0.5)(Z1)KZ1.5Z

2

0.5ZK0

11.5

0.5K

1

0.75K1.5K

0.75K0

依题意得0K0.75

K0K的最大值为0.75（临界稳定）。

3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数如下： (1) G(S)

10

(0.1S1)(0.21)

50s4S(S1)(s2s2)20s1S(0.51)

2

2

（2）G(S)

（３）G(S)

(1)解：根据误差系数公式有：

KPKVKa

lim

S0

G(S)

lim

S0S0

10

(0.1S1)(0.2S1)S

10

10

00

lim

S0

SG(S)

2

limlim

S0

(0.1S1)(0.2S1)

2

lim

S0

SG(S)S

10

(0.1S1)(0.2S1)

11Kp1Kv1Ka



1110

0.09

当输入为1t时，ess

当输入为t1t时，ess当输入为

2



1t时，ess

(2)解： KPKVKa

当输入为1t时，ess

11Kp1Kv1Ka

11

0

lim

S0

G(S)

lim

S0S0

50(S4)S(S1)(SS

2

2S2)

2



1000

lim

S0

SG(S)

2

limlim

S0

50(S4)S(S1)(S

2

2S2)

2

lim

S0

SG(S)S

50(S4)S(S1)(S

2S2)

当输入为t1t时，ess当输入为t1t时，ess

2

110010

0.01

(3)解： KPKVKa

当输入为1t时，ess

11Kp1Kv

1Ka

1

110120

0.050

lim

S0

G(S)

lim

S0S0

20(S1)S(0.5S1)S

2

2



20

lim

S0

SG(S)

2

limlim

S0

20(S1)S(0.5S1)

2

lim

S0

SG(S)S

20(S1)S(0.5S1)

2

当输入为t1t时，ess当输入为

t1t

2

2

时,ess

3-8 设控制系统如题图所示。是否可以选择一个合适的K1值，使系统在单位阶

跃扰动下的稳态误差1t，t1t和

t

1t

2

2

？

解：由题意得：特征方程为：

D(S)(0.1S1)(0.2S1)(0.5S1)10K10D(S)0.01S0.17S劳斯表为：SSSS

32

3

2

0.8S110K1S17S

32

80S1001000K10

117

80

1001000K11001000K1

17

1

80

1001000K1

1001000K180017

0K1.261001000K10

K01

10

(0.1S1)(0.2S1)(0.5S1)10K1S

1S

10

(0.1S1)(0.2S1)(0.5S1)10K1

10110K1

若系统稳，则

en(S)essn

lim

S0

en(S)lim

S0



essn0.009时，有解得K11111.26

10110K1

0.009

当K1111时，系统不稳定

3-9 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为Gs9

10s1。试计算当输入

信号分别为rt1t和rt2sin2t时，系统的稳态误差。

解：（1）

当r(t)1(t)时，Kpess

11Kp



119

lim

S0

G(S)

lim

S0

910S1

9

0.1

（2）当r(t)2sin2t时

由r(t)2sin2tA2 2 0essjAsintej其中j



2

0

2

2



2

254

1

ej90180

arctanarctan





2

即 ess2sin2t180



