实变函数与泛函分析课程教学大纲

《实变函数与泛函分析》课程教学大纲

一、课程基本信息

课程代码：110047

课程名称：实变函数与泛函分析

英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学 时：50

学 分：3

适用对象：信息与计算科学专业本科

考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数

二、课程简介

中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann 可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue 积分并克服了Riemann 积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。

英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.

三、课程性质与教学目的

本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下：

1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue 可测集的有关内容和性质。

2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。 3. 了解Lebesgue 积分的概念，掌握收敛定理。 4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。

5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。

四、教学内容及要求

第一章 集合与测度 （一）目的与要求

1．使学生认识集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合，度量空间的概念和度量空间中的点集，直线上的测度和可测集，Lebesgue 测度及相关理论；

2．本章要求学生了解集族的交并关系，了解度量空间的概念和测度及可测集的概念。

（二）教学内容

第一节 集合与映射 1．主要内容

集族的交并关系，映射及其性质，集的对等。

2．基本概念和知识点

集族的交并关系，映射，集的对等，可数集合。

3．问题与应用（能力要求） 了解集族的交并关系，理解映射，集的对等，可数集合。

第二节 度量空间

1．主要内容

度量空间的概念，度量空间中的点集。

2．基本概念和知识点

度量空间，收敛性，度量空间的拓扑。

3．问题与应用（能力要求）

理解度量空间的概念，理解度量空间的拓扑（包括了有关概念）。 第三节 Lebesgue可测集 1．主要内容

直线上点集的构造，Cantor 三分集，Lebesgue 可测集及测度的相关性质。

2．基本概念和知识点

构造区间，Cantor 三分集，Lebesgue 可测集，G δ型集和F σ型集。

3．问题与应用（能力要求）

了解直线上点集的构造区间，熟悉Cantor 三分集，了解Lebesgue 可

测集，G δ型集和F σ型集。

（三）课后练习 作业和思考题：

第一节课后练习 P19之1，2，3，6，8。

第二节课后练习 P20之9，11，13，14，16，17；抄题18—28。 第三节课后练习 P20之29 32，36，37；抄题36，37。

（四）教学方法与手段

本章教学主要采用课堂讲授的方法。

第二章 可测函数 （一）目的与要求 要让学生理解简单函数和可测函数，了解可测函数的性质和构造，了解可测函数列的极限。

（二）教学内容

第一节 简单函数与可测函数

1．主要内容

简单函数，简单函数的表示和运算，可测函数，可测函数的判定。

2．基本概念和知识点

简单函数，可测函数。

3．问题与应用（能力要求）

了解简单函数及其表示和运算，理解可测函数的概念。 第二节 可测函数的性质

1．主要内容

可测函数的运算，可测函数的构造，Lusin 定理。

2．基本概念和知识点

可测函数的运算，可测函数的构造，Lusin 定理。

3．问题与应用（能力要求）

了解可测函数的运算，了解可测函数的构造，理解Lusin 定理。 第三节 可测函数列的收敛性

1．主要内容

Egoroff定理，依测度收敛概念，Lebesgue 定理，Riesz 定理。 2．基本概念和知识点

Egoroff定理，依测度收敛概念，Lebesgue 定理，Riesz 定理。

3．问题与应用（能力要求）

了解三个定理和依测度收敛的概念。

（三）课后练习 作业和思考题：

第一节课后练习 P38之2，3，6；抄题

第二节课后练习 P38之7；抄题 10，12，13，14。 第三节课后练习 P38之23；抄题 25，26，27。

（四）教学方法与手段

本章教学主要采用课堂讲授的方法。

第三章 Lebesgue 积分 （一）目的与要求

1．本章介绍Lebesgue 积分的概念与性质，积分收敛定理，Lebesgue 积分与

Riemann 积分的关系，积分与微分， Fubini 定理； 2．要求学生理解Lebesgue 积分的概念与性质，掌握Fubini 定理。

（二）教学内容

第一节 Lebesgue积分的概念与性质

1．主要内容

逐步讲解了可测函数的积分，区分有积分和可积性，讲解了积分的性质。

2．基本概念和知识点

有积分和可积性，积分的性质。

3．问题与应用（能力要求）

了解积分的定义，了解积分的性质。

第二节 积分收敛定理 1．主要内容

Levi定理，Fatou 定理，逐项积分定理，Lebesgue 控制收敛定理。

2．基本概念和知识点

Levi定理，Fatou 定理，逐项积分定理，Lebesgue 控制收敛定理。

3．问题与应用（能力要求）

理解四个定理的作用。

第三节 Lebesgue积分与Riemann 积分的关系

1．主要内容

定理3.21和定理3.22，给出了Riemann 可积的充要条件。

2．基本概念和知识点 定理3.21和定理3.22。

3．问题与应用（能力要求）

了解定理3.21和定理3.22的内容。

第四节 积分与微分

1．主要内容

讲解有界变差函数和绝对连续函数及相互关系。

2．基本概念和知识点

有界变差函数，绝对连续函数。

3．问题与应用（能力要求）

了解有界变差函数和它的表示，理解绝对连续函数的作用。

第五节 Fubini定理

1．主要内容

讲解重积分交换积分次序的Fubini 定理。

2．基本概念和知识点

Fubini定理。

3．问题与应用（能力要求）

了解L (R 2) 及其上的测度，了解重积分和交换积分次序的Fubini 定理。

（三）课后练习 作业和思考题：

第一节课后练习 P68之1，2，3；抄题 5，6。 第二节课后练习 P69之10，11；抄题 7，8，9。 第三节课后练习 P69之12；抄题

第四节课后练习 P69之18；抄题 19，24，26。 第五节课后练习 P69之；抄题 （四）教学方法与手段

本章教学主要采用课堂讲授的方法。

第四章 线性赋范空间 （一）目的与要求

本章介绍线性赋范空间的各有关知识和概念，包括收敛性，完备性，列

紧性，不动点定理和拓扑空间简介。

（二）教学内容 第一节 线性空间

1．主要内容

介绍了线性空间，基和维数，子空间和凸集，空间的同构。

2．基本概念和知识点 线性空间，基和维数，子空间和凸集，空间的同构。

3．问题与应用（能力要求）

认识无穷维空间和凸集。

第二节 线性赋范空间

1．主要内容

范数，距离，Hölder 不等式和Minkowski 不等式。

2．基本概念和知识点

范数，距离，例，Hölder不等式和Minkowski 不等式。 3．问题与应用（能力要求） 理解线性空间的范数，距离，掌握Hölder不等式和Minkowski 不等式。

第三节 线性赋范空间中的收敛

1．主要内容

讲解收敛点列，等价范数，连续映射，稠密性和可分空间。

2．基本概念和知识点

收敛点列，等价范数，连续映射，稠密性和可分空间。 3．问题与应用（能力要求）

理解收敛点列，等价范数，连续映射，稠密性和可分空间。 第四节 空间的完备性

1．主要内容

讲解Cauchy 列，Banach 空间，子空间的完备性和赋范线性空间的完备化。

2．基本概念和知识点

Cauchy列，Banach 空间，子空间的完备性，赋范线性空间的完备化。

3．问题与应用（能力要求）

理解Cauchy 列，Banach 空间，子空间的完备性，掌握赋范线性空间的

完备化和嵌入过程。 第五节 列紧性与有限维空间

1．主要内容

讲解列紧的概念和性质，有限维空间的特征和Riesz 引理。

2．基本概念和知识点

列紧性，Riesz 引理。

3．问题与应用（能力要求）

理解集的列紧性，掌握Riesz 引理。

第六节 不动点定理

1．主要内容

讲解Banach 压缩映像原理，Brouwer 不动点定理，Schauder 不动点定理。 2．基本概念和知识点

Banach压缩映像原理，Brouwer 不动点定理，Schauder 不动点定理。

3．问题与应用（能力要求）

理解Banach 压缩映像原理，了解Brouwer 不动点定理和Schauder 不

动点定理及其应用。

第七节 拓扑空间简介

1．主要内容

讲解开集，闭集，邻域，拓扑。

2．基本概念和知识点

开集，闭集，邻域，拓扑，极限点。

3．问题与应用（能力要求）

理解开集，闭集，邻域，拓扑，极限点。

（三）课后练习 作业和思考题：

第一节课后练习 P95之1；抄题 第二节课后练习 P95之2；抄题 第三节课后练习 P95之4；抄题 第四节课后练习 P95之3；抄题 第五节课后练习 P95之8；抄题 第六节课后练习 P95之10；抄题

第七节课后练习

（四）教学方法与手段

本章教学主要采用课堂讲授的方法。

第五章 内积空间 （一）目的与要求

1．本章讲解内积空间与Hilbert 空间，正交与正交补，正交分解定理，内积空

间中的Fourier 级数；

2．要求学生理解内积和内积空间的定义，理解Hilbert 空间，了解正交与正交

补，了解正交分解定理，了解内积空间中的Fourier 级数。 （二）教学内容

第一节 内积空间与Hilbert 空间

1．主要内容

讲解内积和内积空间，常见Hilbert 空间。

2．基本概念和知识点

内积，内积空间，Hilbert 空间。

3．问题与应用（能力要求）

理解内积和内积空间的定义，理解Hilber 空间，了解几个常见Hilbert 空间。

第二节 正交与正交补

1．主要内容

讲解正交的概念，讲解子空间的正交补概念。

2．基本概念和知识点

正交，正交补。

3．问题与应用（能力要求）

了解正交性和子空间的正交补。

第三节 正交分解定理

1．主要内容

讲解变分引理和正交分解定理。

2．基本概念和知识点

变分引理，正交分解定理。

3．问题与应用（能力要求）

了解变分引理和正交分解定理。

第四节 内积空间中的Fourier 级数

1．主要内容

讲解正交化方法和过程，讲解Fourier 级数。

2．基本概念和知识点

正交化方法， Fourier级数。

3．问题与应用（能力要求）

了解正交化方法和Fourier 级数。

（三）课后练习 作业和思考题：

第一节课后练习 P107之4，5；抄题

第二节课后练习 P106之1，2，3；抄题 第三节课后练习 P107之5，6，7；抄题

第四节课后练习 P107之9，10；抄题

（四）教学方法与手段

本章教学主要采用课堂讲授的方法。

第六章 有界线性算子与有界线性泛函 （一）目的与要求

1．本章介绍空间的有界线性算子，泛函三大定理，共轭空间与共轭算子以及几种收敛性；

2．要求学生理解有界线性算子的概念，共轭空间与共轭算子的概念，以及几种收敛性，理解泛函三大定理。

（二）教学内容

第一节 有界线性算子

1．主要内容

讲解线性算子和线性泛函，连续性与有界性，算子范数和算子空间。

2．基本概念和知识点

线性算子和线性泛函，连续性与有界性，算子范数和算子空间。

3．问题与应用（能力要求）

理解线性算子和线性泛函的概念，理解连续性与有界性的等价，理解

算子范数和算子空间。

第二节 三大定理

1．主要内容

讲解开映射定理和逆算子定理，共鸣定理和Hahn-Banach 定理。

2．基本概念和知识点 映射定理和逆算子定理，共鸣定理，Hahn-Banach 定理。

3．问题与应用（能力要求）

理解三大定理的内容。

第三节 共轭空间与共轭算子

1．主要内容

讲解共轭空间的概念及几个共轭空间，共轭算子，Riesz 表示定理，

Hilbert 空间上的共轭算子。 2．基本概念和知识点

共轭空间，共轭算子，Riesz 表示定理，Hilbert 空间上的共轭算子。

3．问题与应用（能力要求） 理解共轭空间，共轭算子，Riesz 表示定理，Hilbert 空间的共轭算子。

第四节 几种收敛性

1．主要内容

讲解强收敛性，弱收敛性。

2．基本概念和知识点

强收敛，弱收敛，泛函序列的收敛性。

3．问题与应用（能力要求）

理解强收敛性，弱收敛性，泛函序列的收敛性。

（三）课后练习 作业和思考题：

第一节课后练习 P137之1，2，3，4；抄题 第二节课后练习 P137之5，6，7，9；抄题 第三节课后练习 P137之10；抄题

第四节课后练习 P137之12，13；抄题

（四）教学方法与手段

本章教学主要采用课堂讲授的方法。

六、推荐教材和教学参考资源 1. 教材：

宋叔尼，张国伟，王晓敏编著，实变函数与泛函分析，科学出版社，2007。 2. 教学参考资源：

（1）程其襄等，实变函数论与泛函分析基础，高等教育出版社，1983。 （2）郭大钧等，实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986。 （3）胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999。 （4）胡适耕，泛函分析，高等教育出版社，2001。

（5）江泽坚，吴智泉，实变函数论，高等教育出版社，1994。 （6）江泽坚，孙善利，泛函分析，高等教育出版社，1994。

（7）夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1987。

（8）郑维行，王声望，实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1989。