对数函数与指数函数的导数1
3. 5 对数函数与指数函数的导数（1）
教学目标： ⒈掌握函数 的导数公式；
⒉能应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．
教学重点：结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则，应用对数函
数的求导公式求简单的初等函数的导数．．
教学难点：对数函数求导公式的灵活运用．
教学过程：
一、复习引入
1. 几种常见函数的导数公式．
⑴C ' =0(C 为常数) ； ⑵(x n )' =nx n -1(n ∈Q ) ；
⑶(sinx )' =cos x ； ⑷(cosx )' =-sin x ； ⑸(tanx )' =1122=sec x (cotx )' =-=-csc x ． ； ⑹22sin x cos x
' 2. 两个可导函数的和、差、积、商的导数计算法则. ⎛u ⎫u ' v -uv ' ⑴(u ±v )' =u ' ±v ' ； ⑵(uv )' =u ' v +uv ' ； ⑶ ⎪=(v ≠0) ． 2v ⎝v ⎭
3. 对于复合函数的导数.
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．即：y ' x =y ' u ⋅u ' x ．
二、新课讲授
⒈对数函数的导数
我们首先研究自然对数y =ln x 的导数． 1根据重要极限lim (1+) x =e 或lim (1+x ) x =e ，我们可以得到下面的公式：
x →∞x →0x 1
证明：∵ y =f (x ) =ln x
∴ ∆y =ln(x +∆x ) -ln x =ln x +∆x ∆x =l n 1(+) ， x x
∆y 1∆x 1x ∆x 1∆x =l n 1(+) =ln(1+) =ln(1+) ∆x ∴ ∆x ∆x x x ∆x x x x
∆y 11∆x ∆x ∴ y ' =l i =l i m l n 1(+) ∆x =ln[lim (1+) ∆x ] ∆x →0∆x x ∆x →0x x ∆x →0x x x x
=11ln e =． x x
1． x 即 (lnx )' =
根据上面证明的公式，我们还可以得到下面的公式：
证明：根据对数的换底公式
ln x 111)' =⋅=l o a g e ． (loga x )' =(ln a ln a x x
三、例题
例1求y =ln(2x 2+3x +1) 的导数．
例2求y =lg -x 2的导数．
说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导． 实际上，解法1中y =lg u ，u =，v =1-x 2，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中y =
简单，不易出错．
例3 求下列函数的导数： 1lg u ，u =1-x 2，仅有一次复合，所以其解法显得2+x 2
⑴y =log 2(x ++x ) ； ⑵y =ln ； 21-x 2
⑶y =ln sin 2x ； ⑷y =ln sin 2(e -x ) ． x
三、课堂练习
求下列函数的导数：
1.y=xlnx; 2.y=lg(sinx)
3.y=loga (x2
-2); 4.y =
四、课时小结：
⑴要记住并用熟对数函数的两个求导公式；
⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便．
五、作业 同步练习 X03051