点到平面距离,二面角的平面角精选例题
点线、点面距离，二面角平面角复习
点线距离一般求解方法 一、直接求解
点到直线和平面的距离由该点向平面作垂线，直接计算垂线段的长，用此法的关键在于如何找到这一垂线的位置及垂足的位置．
B 是M 例1求点易证∴ HG=评注：本题首先利用线面的平行关系将点B 到平面的距离转化为另一点到平面的距离，然后利用面面垂直的性质确定点到面的距离。
例2．如图PA ⊥正方形ABCD 所在的平面, 且PA=AB=4, E、F 分别是AB 、PC 的中点，求B 点到平面DEF 的距离。
分析：延长DE 交CB 的延长线于M ，由于E 是AB 的中点，∴BE=到平面DEF 的距离是B 到平面DEF 的距离的2倍
.
1
取PD 的中点G,GF ∥＝DC ∴GF ∥＝AE, ∴四边形AEFG 是平行
2
1
DC ，∴B 是MC 的中点，即C 2
D
四边形
而PA=AD=4, ∴AG ⊥PD ，由题设可知DC ⊥AG ，∴AG ⊥面而EF ∥AG ∴EF ⊥面PCD 即面EFD ⊥面PCD
B C
过C 作CH ⊥FD 于H, 则CH 即为C 到平面EFD 的距离, ∵PA=AD=4 CD=4 ∴PD=42, CF=DF=2, CH=
例3463PA =2c , Q 是求 (1)(2)解 (1)连结QE ∵QA ∴QE 在矩形∴AE =
ab a +b
2
2
1
2
在Rt △QAE 中，QA =PA =c
a 2b 2
∴QE =c +22
a +b
2
a 2b 2
∴Q 到BD 距离为c +22
a +b
2
(2)解法一 ∵平面BQD 经过线段PA 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足
∵BD ⊥AE , BD ⊥QE , ∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离 在Rt △AQE 中，∵AQ =c , AE =
abc (a +b ) c +a b
2
2
2
22
ab a +b
2
2
∴AH =
abc (a +b ) c +a b
2
2
2
22
∴P 到平面BD 的距离为
解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由
V A —BQD =V
Q —h =
一、例4
L p
S ∆ABD ⋅AQ S ∆BQD
B
H
A
二、补全法
例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ， PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
例6
AP ＝BP ＝AB ，
PC ⊥(1)(2)求二面角B －AP －C 的平面角余弦值； (3)求点C 到平面APB 的距离．
【解析】 (1)证明：如图(1)所示，取AB 中点D ，连结PD ，CD . ∵AP ＝BP ，∴PD ⊥AB . ∵AC ＝BC ，∴CD ⊥AB . ∵PD ∩CD ＝D ， ∴AB ⊥平面PCD .
∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥AB .
(2)∵AC ＝BC ，AP ＝BP ，PC ＝PC ， ∴△APC ≌△BPC . 又PC ⊥AC ，∴PC ⊥BC . 又∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC ， 且AC ∩PC ＝C ，
∴BC ⊥平面PAC . 如图(2)所示，取AP 中点E ，连结BE ，CE . ∵AB ＝BP ，∴BE ⊥AP .
∵EC 是BE 在平面PAC 内的射影，
∴
CE ⊥AP .
∴∠BEC 是二面角B —AP —C 的平面角． 在△BCE BE ＝
3
AB 2
∴sin ∠BEC ∴二面角B (3)由(1)知∴平面APB 如图(3)∵平面APB ∴CH ⊥平面∴CH 由(1)知PC ⊥AB ，又PC ⊥AC ， 且AB ∩AC ＝A ，∴PC ⊥平面ABC . ∵CD ⊂平面ABC ，∴PC ⊥CD .
13
在Rt △PCD 中，CD ＝AB ＝2，PD ＝6，
22∴PC PD 2－CD 2＝2. ∴CH ＝
PC ·CD 23
PD 3
3
∴点C 到平面APB 的距离为.
3
解：（Ⅰ）证略
（Ⅱ） AC =BC ，AP =BP ，∴△APC ≌△BPC ． 又PC ⊥AC ，∴PC ⊥BC ．
又∠ACB =90，即AC ⊥BC ，且AC PC =C ，
P E A
B
∴BC ⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE ，CE ． AB =BP ，∴BE ⊥AP ．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影， ∴CE ⊥AP ．
∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影，
于是可求得：
AB =BP =AP =AC 2+CB 2=2，BE ==EC =2则
S 射=S ∆ACE =S 原=S ∆ABE
11AE ∙CE =2∙2=1，
22=设二面角B -∴二面角B -
课后作业
1．在正三棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a ，则点P 到平面ABC 的距离为( ) A ．a B.
23
C. D.3a 23
【解析】 作PH ⊥平面ABC 于H ，连结CH 并延长，交AB 于D ，连结PD ，由PH ·CD ＝PC ·PD ，求得PH ＝
3
. 3
【答案】 C
2．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，
且A 1G ＝λ(0≤λ≤1) ，则点G 到平面D 1EF 的距离为( ) A. 3 B.
22λ5
235
【解析】 A 1B 1∥面D 1EF ，∴G 到面D 1EF 的距离为A 1到面D 1EF 的距离．在△A 1D 1E 中，过A 1作A 1H ⊥D 1E 交D 1E 于H ，显然A 1H ⊥面D 1EF ，则A 1H 即为所求，在Rt△A 1D 1E
中，A 1H ＝
A 1D 1·A 1E D 1E
11×2⎛1⎫21＋ ⎝2⎭
＝
5. 5
3．(2008年全国Ⅰ) 已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线ABD 折起，使二面角A —BD —C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离等于【解析】 如图所示，取BD 中点E ，连接AE 、CE . ∵△ABD 、△BCD 均为等腰三角形，∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD ， ∴BD
∴∠AEC ∴∠AEC 在平面AEC ∵BD ∴BD ⊥AH . ∴AH ∵∠BAD
∴cos∠又∠AEH 【答案】
Ａ′Ｈ Ａ ′
4．如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′ 的距离
分析:（法１）在正方体ABCD--A ′B ′C ′D ′中, ∵A ′B ′= A′D ′= A′A, ∴点A ′在 平面AB ′D ′的射影是等边△AB ′D ′的外心, 连接A ′C ′、B ′D ′交点E ，连接
Ｃ′
Ｂ
AE ，则A ′在平面AB ′D ′的射影H 在中线AE 上，由于等边三角形 的“五心”合一，即H 是重心，在AE 的三等分点且靠近E 点， 在等边三角形AB ′D ′中，AE=
3２⋅2a ，AH=ＡＥ＝2３３
a 3
在直角三角形A ′ＨＡ中，A ′Ｈ＝A' A 2-AH 2=
3a 3
即A ′到平面AB ′D ′的距离为
（法２）由A ′C 在平面A ′B ′C ′D ′的射影为A ′C ′，而A ′B ′，由三垂线定理（及逆定理）可知A ′C ⊥D ′B ′，同理可证A ′C ⊥AB ′、A ′C ⊥′C ⊥面AD ′B ′ 即面A ′ACC ′⊥面AB ′D ′ 连接A ′C 与AE 交H A ′H 的长即5为【解析】 ∠C 1DC 在△CDC 1中，由图可知CO 11
1D ·CO 223∴CO ＝43
【答案】 4
6. ΔABC 一点P —AC —B 的大小；（2