导数的概念及性质

第2 导数的概念及性质（两课时）

1． 函数的单调性

⑴ 函数y ＝f (x ) 在某个区间内可导，若f '(x ) ＞0，则f (x ) 为 ；若f '(x ) ＜0，则f (x ) 为 .（逆命题不成立）

(2) 如果在某个区间内恒有f '(x ) =0，则f (x ) .

注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数f (x ) 的 ；

② 求f '(x ) ，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

③ 把函数f (x ) 的间断点（即f (x ) 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x ) 的定义区间分成若干个小区间；

④ 确定f '(x ) 在各小开区间内的 ，根据f '(x ) 的符号判定函数f (x ) 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念

设函数f (x ) 在点x 0附近有定义，且对x 0附近的所有点都有（或f (x 0) 为函数的一个极大（小）值．称x 0为极大（小）值点.

⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数f '(x ) ；

② 求方程f '(x ) ＝0的 ；

③ 检验f '(x ) 在方程f '(x ) ＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝f (x ) 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝f (x ) 在这个根处取

得 .

3．函数的最大值与最小值：

⑴ 设y ＝f (x ) 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝f (x ) 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝f (x ) 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：

① 求y ＝f (x ) 在(a ,b )内的 值；

② 将y ＝f (x ) 的各 值与f (a ) 、f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (3) 若函数y ＝f (x ) 在[a ,b ]上单调递增，则f (a ) 为函数的 ，f (b ) 为函数的 ；若函数y ＝f (x ) 在[a ,b ]上单调递减，则f (a ) 为函数的 ，f (b ) 为函数的 .

x

例1. 已知f(x)=e-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；

（3）是否存在a, 使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

x

解：f '(x ) =e-a.

x

（1）若a≤0，f '(x ) =e-a≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.

若a>0,e-a≥0,∴e≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f（x ）在R 内单调递增，∴f '(x ) ≥0在R 上恒成立. ∴e-a≥0，即a≤e在R 上恒成立.

x x

∴a≤（e ）min ，又∵e>0，∴a≤0.

x

x

x

x

（3）方法一 由题意知e -a≤0在（-∞，0］上恒成立.

x x

∴a≥e在（-∞，0］上恒成立.∵e在（-∞，0］上为增函数.

x x

∴x=0时，e 最大为1.∴a≥1.同理可知e -a≥0在［0，+∞）上恒成立.

x

∴a≤e在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.

方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴f '(0) =0,即e -a=0,∴a=1.

变式训练1. 已知函数f(x)=x-ax-1.

（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数a, 使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；

3

（3）证明：f(x)=x-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.

2

（1）解 由已知f '(x ) =3x-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，

22

∴f '(x ) =3x-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x对x∈R 恒成立.

22

∵3x≥0,∴只需a≤0,又a=0时，f '(x ) =3x≥0,

故f(x)=x-1在R 上是增函数，则a≤0.

22

（2）解 由f '(x ) =3x-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x,x∈(-1,1) 恒成立.

22

∵-1

在x∈(-1,1) 上，f '(x )

（3）证明 ∵f(-1)=a-2

例2. 已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.

（1）求a,b,c 的值；

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.

322

解 （1）由f(x)=x+ax+bx+c,得f '(x ) =3x+2ax+b,

当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①

22⎫当x=时，y=f(x)有极值，则f '⎛ ⎪=0,可得4a+3b+4=0 ②

3

3

2

3

3

x

2

3

⎝3⎭

由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.

322

（2）由（1）可得f(x)=x+2x-4x+5,∴f '(x ) =3x+4x-4, 令f '(x ) =0,得x=-2,x=.

当x 变化时，y,y′的取值及变化如下表：

x

-3 (-3,-2)

-2 -2, 3⎪

⎝

⎭⎛

2⎫

2 3

23

⎛2⎫ , 1⎪ ⎝3⎭

1

y′ y

8

+ 0 - 0 + 单调递增 单调递减 95单调递增

13 4 27

95

. 27

∴y=f（x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为

4

2

变式训练2. 函数y=x-2x +5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.

33

解 先求导数, 得y′=4x-4x, 令y′=0,即4x -4x=0.解得x 1=-1,x2=0,x3=1. 导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表:

x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) y′ - 0 + 0 - 0 +

2

y 13 4 5 4 13

从上表知, 当x=±2时, 函数有最大值13, 当x=±1时, 函数有最小值4.

2-ax

例3. 已知函数f(x)=xe (a＞0), 求函数在［1，2］上的最大值.

2-ax -ax 2-ax -ax 2

解 ∵f（x ）=xe （a ＞0）,∴f '(x ) =2xe+x·（-a)e =e(-ax+2x).

-ax 2

令f '(x ) >0,即e (-ax+2x)>0,得0

2. a

2⎫⎛2⎫

∴f(x)在（-∞,0),⎛ , +∞⎪上是减函数，在 0, ⎪上是增函数.

⎝a

⎭

⎝

a ⎭

①当0

2-a

2时,f(x）在（1，2）上是减函数, ∴f （x ）max =f（1）=e. a

22⎫⎛2⎫≤2,即1≤a≤2时，f(x)在⎛ 1, ⎪上是增函数，在 , 2⎪上是减函数， a ⎝a ⎭⎝a ⎭

②当1≤

2⎫-2-2

∴f(x)max =f⎛ ⎪=4ae .

⎝a ⎭

③当

2-2a

>2时，即0

-2a

综上所述，当0

-2-2

当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a e ,

-a

当a>2时，f(x)的最大值为e .

2

变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)(x∈R ), 其中a∈R .

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.

2322

解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)=-x+2x-x,f(2)=-2,f '(x ) =-3x+4x-1,f '(2) =-12+8-1=-5, ∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为5x+y-8=0.

2322

（2）f(x)=-x(x-a)=-x+2ax-a x,

f '(x ) =-3x

2

2

+4ax-a=-(3x-a)(x-a),令f '(x ) =0,解得x=

a

或x=a. 3

由于a≠0，以下分两种情况讨论.

①若a>0，当x 变化时，f '(x ) 的正负如下表： x

f '(x )

(-∞,-

a ) 3a 3

(

a

,a) 3

a 0 0

(a,+∞) -

-43a 27

+

f(x)

因此，函数f(x)在x=

a a a 4

处取得极小值f （），且f （）=-a 3;

27333

函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.

②若a

f '(x )

(-∞,a) -

a 0 0

(a,+

a ) 3a 3

(

a

,+∞) 3

0 -43a 27

-

f(x)

因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x=

a a a 4

处取得极大值f （）, 且f （）=-a 3.

27333

例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a≤5）

2

的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）. 解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：

2

L=(x-3-a)(12-x),x∈［9,11］.

2

(2)L '(x ) =(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x). 令L '=0得x=6+a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤

23

23

282

. 在x=6+a 两侧L′的值由正变负.

33

2

3

所以①当8≤6+a ＜9即3≤a＜时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)=9(6-a). ②当9≤6+a≤

23

128922223

，即≤a≤5时，L max =L(6+a)=(6+a-3-a) ［12-(6+a) ］=4(3-a) .

233333

3≤a

9

, 2

92

2

⎧

⎪9(6-a ), ⎪

所以Q (a ) =⎨3

1⎫⎪4⎛ 3-a ⎪, ⎪3⎭⎩⎝

9

≤a ≤5. 2

答 若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；

1⎫29⎛

若≤a≤5，则当每件售价为(6+a) 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=4 3-a ⎪ (万元).

3⎭23⎝

3

9

2

变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x-10x （单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).

（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

32*

解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x+45x+3 240x-5 000(x∈N ，且1≤x≤20);

2*

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x+60x+3 275 (x∈N , 且1≤x≤19).

2

（2）P '(x ) =-30x+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴P '(x ) =0时,x=12，

∴当00,当x>12时，P '(x )

∴x=12时，P(x)有最大值.

即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.

22

（3）MP(x)=-30x+60x+3 275=-30(x-1)+3 305.所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，

*

所以单调减区间为［1，19］，且x∈N .

MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.

研究可导函数f (x ) 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数f (x ) 的导函数f ' (x ) ，再找出f ' (x ) ＝0的x 取值或f ' (x ) >0(f ' (x )

23