水上行走机器人腿部静力学分析

2010年10月第36卷第10期北京航空航天大学学报

Journa l o f Be iji ng U nivers it y of A eronauti cs and A stronauti cs O ctober 2010V o. l 36 N o 10

水上行走机器人腿部静力学分析

王淑慧

(北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院, 北京100191)

吴立成

(中央民族大学信息工程学院, 北京100081)

摘 要:水上行走机器人仿生水黾, 利用腿部产生的表面张力在液体表面站立和行走. 通过静力学分析可计算机器人载重能力, 并给出腿部形状设计准则. 建立了水上行走机器人支撑腿的静力学模型, 分析了表面张力最大值条件即水面打破条件, 提出了腿部支撑力及其

最大允许入水深度的计算方法. 采用该方法, 使用M atlab 计算得到了几种不同材料的表面张力与接触角关系曲线, 计算了几种材料支撑腿的支撑力及其允许入水深度的最大值, 并通过与实验数据相比较, 验证了计算方法和结果的正确性.

关 键 词:水上行走机器人; 表面张力; 静力学

中图分类号:TP 242

文献标识码:A 文章编号:1001 5965(2010) 10 1176 04

S t ati c s anal y sis on t he l e g of wat er stri d er robot

W ang Shuhui

(S chool of Auto m ati on S ci en ce and E lectricalE ngi neeri ng , B eiji ng Un i vers i ty ofA eronau tics and A stron auti cs , Beiji ng 100191, Ch i na)

W u L icheng

(College of I n for m ation Eng i neeri ng , Cen tralUn ivers i ty f or Nati onali ti es , Beiji ng 100081, Ch i n a)

Abstr act :As a bion ic robot of the w ater strider , wa ter stri d er r obo t stays afloat and stri d e on w ater sur

face relies on surface tensi o n prov i d ed by the leg s . Stati c s ana l y sis cou l d be used to calcu late the robo t s l o ad capacity and then to defi n e t h e criteri o ns for design i n g the supporti n g leg . A static m odel of the supporti n g leg w as bu ilt first and t h e surface break i n g cond ition , na m ely the condition for getti n g m ax i m um surface tension , w as ana l y zed . Then the m ethods for calcu lati n g the supporti n g fo rce and the m ax i m u m a ll o w ed dept h that the leg pushes the w ater w ere proposed respecti v e l y . U tilizi n g the proposed m odel and m ethods , the curves be t w een surface tension and contact ang le of severa l k i n ds o fm ateria ls were fi g ured by usi n g o f the M atlab pro gra m . The suppo rti n g force and the m ax i m um allo w ed depth of the l e g w it h severa lk i n ds ofm aterialsw ere cal culated . The validity o f the proposed m odels and m e t h odsw ere verified by co m paring the ca lculation w ith so m e experi m ental values .

Key wor ds :w ater stri d er robo; t surface tension ; statics

文献[1]最早介绍了W ater S trider 机器人有6条腿, 均由 0. 2mm 规格的不锈钢丝制成, 其结构简陋, 运动能力有限, 但作为全世界第1个能够在水面站立和移动的机器人备受关注, 其相关理论研究和实验结果在 Nature 上发表并配发了评论文章. 文献[3]W a ter W a l k er 机器人腿部由8条2英寸长涂有防水塑料的钢丝构成. 文献

收稿日期:2009 08 27

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60875062)

[2]

[4]提出新的电机驱动水面漂浮机器人原型, 为提高支撑能力, 有12条支撑腿. 文献[5]W ater Dancer 和本文的W ater Dancer ! , 腿部均由 0. 2mm 规格的不锈钢丝制成, 其中W ater Dancer ! 采用双电机驱动, 自带能源和控制器, 可通过红外信号实现遥控转向和调速.

水上行走机器人主要依靠表面张力在水面上

(-), 女, , , ellenw @bu . . cn .

第10期 王淑慧等:水上行走机器人腿部静力学分析1177

站立和行走, 详细分析腿部的受力情况对机器人的设计非常必要. 建立水上行走机器人腿部的静态模型, 分析计算腿部支撑力大小以及支撑力与接触角关系曲线, 对于机器人支撑腿设计以及载重能力分析至关重要. 文献[6]只给出了支撑力与接触角关系曲线仿真结果, 没有计算支撑力大小. 文献[7]只给出计算支撑力大小的实验结果, 缺乏必要的理论计算, 设计所需要的计算方法和数据都没有阐述. 本文建立了水上行走机器人支撑腿的数学模型, 根据Young Laplace 方程建立了接触面的控制方程, 分析了表面张力最大值条件即水面打破条件. 提出了腿部支撑力及其最大允许入水深度的计算方法, 并进行了仿真分析.

触面上的积分. F s 为! 的垂直分量, 可简称为表面张力支撑力. 文献[8]证明了F b 和F s 分别等于z =0以下, 物体和空气与水的接触面以上部分水的重量, 也就是说, F b 和F s 分别与S 1和S 2成正比, 即

F b =

p cos ∃r d =∀gS #

2

2

1

=

(3)

∀g (-2z 0r sin +r -r sin cos ) (2) F s =2! sin gS 20=∀

式中, ∀为水的密度; g 为重力加速度. 由Y oung Laplace 方程上的某一点处p 可表示为

[9]

, 空气和水的接触面

(4)

p =! (1/R1+1/R2)

式中, R 2为接触面在该点处的曲率半径. 由于腿

部与水面接触部分的长度远大于腿的截面直径, 腿是直的圆柱体, 可知R 2=%, 则式(4) 可以简化为

∀gh(x ) =-=-R 1

h(x ) 1+

h(x ) d x

1 支撑腿的数学模型

为分析计算机器人支撑腿与水面接触产生的表面张力, 计算机器人的支撑力大小, 建立了支撑腿及其与水面接触情况的数学模型. 1. 1 问题描述

水上行走机器人为仿生水黾, 其支撑腿一般为不锈钢或碳纤维材料的圆截面细丝, 与水面接触部分呈直线形状. 因此假设支撑腿是刚性的细长圆柱体, 与水的接触角 c , 不失一般性取单位长度进行分析. 支撑腿与水面接触, 并将水面下压一定深度, 圆柱体中心轴保持水平, 由于腿的长度远大于腿的截面直径, 可假设圆柱体两端没有复杂的边缘效应, 则可以简化为二维求解, 如图1.

2

(5)

式中, z =h (x) 为空气和水接触面的曲线方程, 由于z

d x

x =x

=tan 0

(6)

h (%) =0(7)

式中, x 0为水、空气和圆柱体的三相交界点的x 坐标值, 因此有如下关系:

x 0=r si n =#+ 0- c

式中, c 为腿部材料与水的接触角.

(8) (9)

若已知 值, 则由式(8) 和式(9) 求出x 0和 0, 可由式(3) 得到F s . 再由式(5) ~式(7) 解出

z =0∀水面; S 1∀z =0以下, 物体与水接触面之上的面积; S 2∀z =0以下, 空气与水接触面之上的面积; x 0∀三相接触点的横坐标; z 0∀腿部从水面下降的深度; r ∀圆柱体半径; R 1∀接触面某点的曲率半径; ∀接触面某点的倾斜角; 0∀三相接触点的 值; ∀物体下降角度; ! ∀水的表面张力; p ∀静态水压.

h(x ), 求出z 0=h (x 0), 由式(2) 可得F b . 因此给定 值, 即可计算出F. 下文通过对水面打破条件的分析, 讨论 值的计算问题.

1. 2 最大表面张力支撑力

由图1可见, 当腿部压入水面越来越深, 即圆柱体沿z 方向不断下降时, 固液气三相交界点沿着腿部表面不断上移. 当腿部两边的固液气三相交界点相遇在腿部顶端(即 =180() 时, 两边液面相遇, 腿部被水淹没, 即水面被打破. 随着腿部压入水面越深, 腿部作用于液体表面的压力越大. 当这一压力达到极限, 即支撑力取得最大值时, 即使腿部两边的液面还未相遇, 水面也可能被直接刺破, 此时 达到某个临界值. 水面打破时 的 c 有关2.

图1 支撑腿模型示意图

物体置于液面且未打破液面时, 同时受到液体的表面张力和浮力的作用撑力为

F =F b +F s

(1)

, 即p [8]

. 令F b 和F s 分别为

浮力和表面张力产生的支撑力, 则物体获得的支

1178北京航空航天大学学报 2010年

随着支撑腿从平静水面压入深度的增加, 0

从零不断增大, 角亦然. 对于 的材料如c 90(0=90(时, 由式(3) 可知表面张力支撑力取得最大值, 由式(9) 可知此时 =270(- c . 由于水上行走机器人的腿部为细丝, 自身重量和浮力都很小, 支撑力

[10]

主要就是表面张力支撑力. 因此认为此时F 也取得最大值, 水面处于打破前的极限状态

.

∀gz =-=-R 1

1+

d

2f (z) f (z ) d z

2

2

(12)

对式(12) 从0到z 积分, 可以得到

2=1-=1-cos 2!

+d z

(13)

定义a =

则有

z =-a z 0=-a

2

2

(14) (15)

在固液气三相交界点处即为

化简式(13) 可得=再积分d z z 2a -z

a c

b 0(c =9

c c >90(

一次即可求得空气和水接触面的曲线方程为

x =arco -2a -z +c (16)

-2

式中, c 为积分常数. 利用边界条件式(8) 和式

图2 水面打破前极限位置示意图

根据上述对水面打破条件的分析, 可以定义水面打破时的 值为

max =

180(270(- c

c

(10)

(15), 可解得c 为

c =r si n -a +2-z 2a

z 0

-2a

(17)

将式(9) 代入式(15) 可得腿部压入水面的深度z 0和 之间的关系式为

z 0=-a

c (18)

因此给定z 0或已知 , 即可由式(16) ~式

(18) 求得气液界面方程, 并可由式(2) 求得F b . 由式(10) 可知 的取值范围为[0, m ax ],因此腿部不打破水面的最大入水深度可由式(18) 求得为

z 0, max =

-a -a

1-co s c

c

(19)

即 可以在0到 m ax 之间取值. 代入式(9) 可知, 对于 的材料, c

2! si n c 2!

, c

(11)

, c ) 90(0=90(

根据式(11), 若已知腿部材料和长度, 即可计算出机器人能获得的F s , m ax . 因此该式可用于机器人支撑能力的估算, 并作为支撑腿材料和长度等参数的设计依据. 该式也说明, 对于 的c ) 90(材料, 单位长度能获得的F s , 与 , max 均为2! c 的具体值无关.

水上行走机器人为仿生水黾, 减少水面运动阻力, 要求驱动腿在划水时也不能打破水面. 为设计驱动腿, 还需要分析计算驱动腿不打破水面的最大吃水深度.

式(19) 进一步说明:对于 的材料, c ) 90(z 0, max 也与 c 的具体值无关.

3 仿真计算与分析

本文仿真均取水在常温20∗时的参数:! =

223

0. 072N /m, g =9. 81m /s, ∀=9. 98+10kg /m. 设腿部为直径0. 2mm 的无限长圆截面直线形状. 3. 1 气液界面求解仿真

针对不同接触角的材料, 计算得到水面即将, m 3. 由

2 界面方程及最大入水深度求解

理论上对式(5) 积分即可求得方程z =h (x ). 但为求解方便, 本文根据其反函数形式x =f(z) 来, )

第10期 王淑慧等:水上行走机器人腿部静力学分析1179

图3可知, 对于 的材料, 水面打破前空气c >90(与水之间的接触面几乎是一样的. 仿真验证了本文气液界面方程求解方法及相关分析的有效性

.

机器人设计为10条7c m 长不锈钢丝支撑腿, 由表1数据可计算得F 约为70m ∃N, 则有效载荷约为7g . 实验中机器人站立和行走状况良

好, 可见本文计算方法和计算结果的正确性.

4 结 论

本文根据Young Laplace 方程对水上行走机器人进行了静力学分析, 建立了腿部与水的接触面控制方程, 分析了表面张力最大值条件即水面打破条件, 提出了腿部支撑力及其最大允许入水

图3 不同材料在即将打破水面时的气液界面曲线

深度的计算方法. 使用M atlab 编程仿真计算了几种不同材料的表面张力与接触角关系曲线, 并对水面打破条件进行了数值验证. 计算了几种材料支撑腿的支撑力及其允许入水深度的最大值, 并通过与实验数据相比较, 验证了本文计算方法和结果的正确性. 本文方法和结果可用于指导水上行走机器人腿部设计.

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3. 2 支撑力与允许入水深度计算

若机器人支撑腿采用直径D 为0. 2mm 的不锈钢丝, 不具有疏水性, . 为增加F s , 可c 约为60(通过喷漆、涂蜡等方法使其成为 的防c 超过90(水钢丝. 分别对这两种腿部材料计算, 各参数值如表1(L为腿长度).

仿真表明采用本文模型和算法, 可估算机器人支撑力和腿部最大允许入水深度等参数, 作为

机器人设计的依据. 由表1的计算结果可见, 水上行走机器人采用疏水性材料制作腿部, 将可以大大提高支撑能力和驱动腿的允许吃水深度.

表1 水上行走机器人钢丝腿部支撑力(L =10mm )

腿部材料 c /(() 不锈钢丝防水钢丝

60, 120

D /mm 0. 20. 2

z 0, m ax /mm -2. 70-3. 86

F /

(m∃N ) (m ∃N) (m∃N ) 1. 181. 44

0. 09

0. 04

1. 271. 48

F s /

F b /

以文献[6]采用的具有良好疏水性的Teflon 材料为例, , D 为0. 33mm . F s 越过最大c 为112(值( . 由表2可见, 若0>90() 时, 计算结果见表2腿部在取得F s , m ax 之后继续增加入水深度, F s , F b 和F 都不增反降. 这意味着腿部将因支撑力小于载荷而打破水面下沉, 验证了1. 2节的假设.

表2 T eflon 材料支撑腿 > m ax 时的支撑力(L =10mm )

c /(() /(() F s /(m ∃N) F b /(m∃N ) F /(m ∃N) 9090. 192

158158. 1160

1. 441. 43991. 439

0. 060. 05620. 053

1. 51. 4961. 492

z 0/mm3. 863. 8673. 995

本文W al k Dancer ! 机器人如图4所示

.

a l k (编 辑:刘登敏)