弹性力学简明教程习题提示和参答案

《弹性力学简明教程》

习题提示和参考答案

第二章 习题的提示与答案

2－1 是

2－2 是

2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在 的条件中，将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完

全相同。

2－6 同上题。在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相

同。其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理

想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按

照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，

这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量 必须满足

（1）平衡微分方程，

（2）相容方程，

（3）应力边界条件（假设 )。

2－14 见教科书。

2－15 2－16 见教科书。 见教科书。

2－17 取

它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和 的应力边界条件，因此，它们是该问题的正

确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量 和 ，及转动量 ，再令 ,便可得出。

第三章 习题的提示与答案

3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：

（1）校核相容条件是否满足，

（2）求应力，

（3）推求出每一边上的面力 从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小

边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。首先校核 是否满足相容方程。再由求出应力后，并

求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是：

主要边界：

所以在 边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力； 上边界有向下的法向面力q。

次要边界：

x=0面上无剪切面力作用； 但其主矢量和主矩在 x=0 面上均为零。

因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。

3－5 按半逆解法步骤求解。

（1）可假设

（2）可推出

（3）代入相容方程可解出f、 ，得到

（4）由 求应力。

（5）主要边界x=0,b上的条件为

次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为

读者也可以按 或 的假设进行计算。

3－6 本题已给出了应力函数 ，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考

察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件，即

而在次要边界 y=0 上， 已满足，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0，使本题无解），

可用积分条件代替：

3－7 见例题2。

3－8 同样，在 的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。

3－9 本题也应先考虑对称性条件进行简化。

3－10 应力函数 中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程，系数之间必须满足一定

的条件。

3－11 见例题3。

3－12 见圣维南原理。

3－13 m个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式(2-15)所示。n个次要

边界上，每边可以用三个积分的条件代替。

3－14 见教科书。

3－15 严格地说，不成立。

第四章 习题的提示和答案

4－1 参见§4-1，§4-2。

4－2 参见图4-3。

4－3 采用按位移求解的方法，可设代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得

出用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第

一式得出求的基本方程。

4－4 按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下， ，只有 为基

本未知函数，且它们仅为的函数。求解应力的基本方程是：(1)平衡微分方程(其中第二式自

然满足)，(2)相容方程。相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得

再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。

4－5 参见§4-3。

4－6 参见§4-3。

4－7 参见§4-7。

4－8 见例题1。

4－9 见例题2。

4－10 见答案。

4－11 由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。

4－12 见提示。

4－13 内外半径的改变分别为 两者之差为圆筒厚度的改变。

4－14 为位移边界条件。

4－15 求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。

4－16 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。

4－17 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。

4－18 见例题3。

4－19 见例题4。

第五章 习题提示和答案

5－1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。

5－2 参见书中的方程。

5－3 注意对称性的利用，取基点A如图。答案见书中。

5－4 注意对称性的利用,并相应选取基点A。答案见书中。

5－5 注意对称性的利用，本题有一个对称轴。

5－6 注意对称性的利用，本题有二个对称轴。

5－7 按位移求微分方程的解法中，位移应满足：(1) 上的位移边界条件，(2) 上的应

力边界条件，(3)区域A中的平衡微分方程。用瑞利-里茨变分法求解时，设定的位移试函数

应预先满足(1)上的位移边界条件，而(2)和(3)的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。

5－8 在拉伸和弯曲情况下，引用 的表达式，再代入书中的公式。在

扭转和弯曲情况下，引用 的表达式，再代入书中的公式。

5－9 对于书中图5-15的问题，可假设

对于书中图5-16的问题中，y轴是其对称轴，x轴是其反对称轴，在设定u、v试函数时，为

满足全部约束边界条件，应包含公共因子。此外，其余的乘积项中，应考虑：u应为x和y

的奇函数，v应为x和y的偶函数。

5－10 答案见书中。

5－11 在u,v 中各取一项,并设 时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是

代入 后,上两式方程是

解出

位移分量的解答为

应力分量为

第六章 习题的提示和答案

6－1 提示：分别代入 的公式进行运算。

6－2 （3）中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动，均不会产生应力。其余见书 中答案。

6－3 求i结点的连杆反力时，可应用公式

为对围绕i结点的单元求和。

6－4 求支座反力的方法同上题。

6－5 单元的劲度矩阵k，可采用书中P.124式（g）的结果，并应用公式求 出整体劲度矩阵的子矩阵。

6－6 求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中P.127的结果。

6－7 求劲度矩阵元素可参见P.124式（g）的结果，再求出整体劲度矩阵元素 答案见书中。

6－8 当单元的形状和局部编号与书中图6－10相同时，可采用P.124式（g） 的单元劲度矩阵。

答案：中心线上的上结点位移 下结点位移

6－9 能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变，还在单

元的边界上，保持了相邻单元的位移连续性。

第七章 习题的提示和答案

7－1 答案：

7－2 提示：

原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六

面体和椭球面方程。

7－3 见本书的叙述。

7－4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。

7－5 对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在，且它们均为 的函数。在列方程时 应考虑它们的贡献。

第八章 习题的提示和答案

8－1 提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设 )。柱体的侧面，在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（n=0,l,m为任意的），并应用一般的应力边界条件。

8－2 提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设 若为多连体，还应满足位移单值条件。

由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（7-5）：法线的方向余弦为 l,m,n，边界面为任意斜面，受到法向压力q作用。为了考虑多连体中的位移单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。

8－3 见§8-2的讨论。

8－4 从书中式（8-2）和（8-12）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。

8－5 为了求o点以下h处的位移，取出书中式（8-6）的 ，并作如下代换

，

然后从o→a 对 积分。

8－6 引用布西内斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是

（1）求矩形中心点的沉陷，采用图8-9（a）的坐标系， 代入并积分，

再应用部分积分得到，

。

（2）求矩形角点处的沉陷，采用图8-9(b)的坐标系，

8－7 题中 已满足边界条件 再由

便可求出切应力及扭角等。

8－8 题中 能满足两个圆弧处的边界条件 然后，相似于上题进行求式解 为 的两倍。 8－9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由 ，得出代入后进行比较即可得出。

8－10 参见§8-8的讨论。

第九章 习题提示和答案

9－1 挠度w应满足弹性曲面的微分方程，x=0的简支边条件，以及椭圆边界上的固定边条件，。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见例题4。

求挠度及弯矩等的最大值时，应考虑函数的极值点（其导数为0）和边界点，从中找出其最大值。

9－2 在重三角级数中只取一项 可以满足 的弹性曲面微分方程，并可以求出系数m。而四个简支边的条件已经满足。

关于角点反力的方向、符号的规定，可参见§9－4中的图9－5。

9－3 本题中无横向荷载，q= 0，只有在角点B有集中力F的作用。注意w =mxy应满足：弹性曲面的微分方程，x =0和y =0的简支边条件, x =a和y =b的自由边条件，以及角点的条件（见图9－5中关于角点反力的符号规定）。

在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时，这个解答可以用来处理有两个自由边相交的问题，以满足角点的条件。因此，常应用这个解答于上述这类问题，作为其解答的一部分。读者可参考§9－6中图9-9的例题。

9－4 本题中也无横向荷载，q= 0，但在边界上均有弯矩作用。x= 0,a 是广义的简支边，其边界条件是

而y= 0,b为广义的自由边，其边界条件是

将w=f(x)代入弹性曲面微分方程，求出f(x)。再校核上述边界条件并求出其中的待定系数。 9－5 参见§9－7及例题1，2。

9－6 应用纳维解法，取w为重三角级数，可以满足四边简支的条件。在求重三角级数的系数中，其中对荷载的积分

只有在 的区域有均布荷载 作用，应进行积分；而其余区域 ，积分必然为零。

9－7 对于无孔圆板，由 的挠度和内力的有限值条件，得出书中§9－9 式(d)的解中， ，然后再校核简支边的条件，求出。

求最大值时，应考虑从函数的极值点和边界点中选取最大的值。

9－8 本题也是无孔圆板，由有限值条件，取 。相应于荷载 的特解，可根据书中§9－9 的式(c) 求出。然后再校核 的固定边的条件。

求最大值时，应从函数的极值点和边界点的函数值中选取。

9－9 由 ，代入 及 的公式，两边相比便可得出 等用 等表示的表达式。

由，将w对x,y的导数转换为对 的导数。然后再与式(a)相比， 便可得出 等用挠度 表示的公式。

9－10 参见上题，可以用类似的方法出。