2015年高考函数的图像专题讲义
2015年高考函数的图像专题讲义
河南省三门峡市卢氏县第一高级中学 山永峰
图像是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径,是研究函数性质的一种常用方法,是数形结合的基础和依据。在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度。主要以选择题、填空题的形式出现,属于中偏高档题。主要考查形式有:知图选式、知式选图、图像变换(平移、对称、翻折、伸缩变换),以及自觉的运用图像解题。因此要注意识图、读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用。笔者以近几年高考题为载体,结合自己的教学经验整理如下,不足之处敬请斧正!
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合]
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.
首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等) .
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等) ,描点,连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换:
a >0,右移a 个单位y =f (x ) ―――――――――――→y =f (x -a ) ; a
b >0,上移b 个单位y =f (x ) b ―――――――――→y =f (x ) +b .
(2)伸缩变换:
ωy =f (x ) −−−−−−−−1→ y =f (ωx) ; ω>1,缩短为原来的ω10<ω<1,伸长为原来的倍
A ―>1,伸为原来的A 倍y =Af (x ) . y =f (x ) 0
(3)对称变换:
x 轴对称关于y 轴对称y =f (x ) 关于―――――→y =-f (x ) ; y =f (x ) ――― ― ―→y =f (-x ) ;
y =f (x ) 关于原点对称―――――→y =-f (-x ) . ―
(4)翻折变换:
y ―轴左边图,保留y 轴右边图y =f (x ) 去掉―――――――――――――→y =f (|x |); 将y 轴右边的图象翻折到左边去
留下x ―轴上方图y =f (x ) 将――――――――→y =|f (x )|. x 轴下方图翻折上去
[探究] 1. 函数y =f (x ) 的图象关于原点对称与函数y =f (x ) 与y =-f (-x ) 的图象关于原点对称一致吗?
2.一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称有何区别?
提示:一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称不是一回事.函数y =f (x ) 的图象关于y 轴对称是自身对称,说明该函数为偶函数;而函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于y 轴对称,是两个函数的图象对称.
3.若函数y =f (x ) 的图象关于点(a, 0)(a >0)对称,那么其图象如何变换才能使它变为奇函数?其解析式变为什么?
提示:向左平移a 个单位即可;解析式变为y =f (x +a ) .
[自测·牛刀小试]
1.(教材习题改编) 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车行驶的路程s 看作时间t 的函数,其图象可能是(
)
2.函数y =x |x |的图象经描点确定后的形状大致是(
)
3.函数y =ln(1-x ) 的图象大致为(
)
4.已知下图(1)中的图象对应的函数为y =f (x ) ,则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中,可能是________(填序号) .
①y =f (|x |);②y =|f (x )|;③y =-f (|x |);④y =f (-|x |).
5.(2012·镇江模拟) 函数f (x ) 是定义在[-4,4]上的偶
f (x )函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式cos x 的解集为
________.
考点一:作函数的图象
[例1] 分别画出下列函数的图象:
(1)y =|lg(x -1)|; (2)y =2x +1-1; (3)y =x 2-|x |-2.
画函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式) 是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时,可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法. 为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论. 强化训练:
1.分别画出下列函数的图象.
2x +1(1)y =|x -4x +3|;(2)y =(3)y =10|lg x |. x +12
考点二:识图与辨图
cos 6x [例2] (1)(2012·山东高考) 函数y 的图象大致为(
) 2-2-
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y =f (x ) 的图象如图所示,则y =
-f (2-x ) 的图象为( )
例3:[2014年福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1) 的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是(
)
图1-1 A B
C D
寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
(1)知图选式:
①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;
②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;
③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;
④从图象的循环往复,观察函数的周期性.
利用上述方法,排除错误选项,筛选正确的选项.
(2)知式选图:
①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;结合图像的特殊点(极值点、与坐标轴的交点等)。
②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
③从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
④从函数的周期性,判断图象的循环往复.
利用上述方法,排除错误选项,筛选正确选项.
注意联系基本函数图象和模型,当选项无法排除时,代特殊值,或从某些量上寻找突破口. 强化训练:
x 2.函数y 22sin x 的图象大致是(
)
3.(2013·杭州模拟) 已知函数f (x ) 的图象如图所示,则
f (x ) 的解析式可能是( )
A .f (x ) =x 2-2ln |x | B .f (x ) =x 2-ln |x |
C .f (x ) =|x |-2ln |x | D .f (x ) =|x |-ln |x |
4.[2014年浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x ) =x a (x >0),g (x )
=log a x 的图像可能是(
)
A
C 考点三:函数图象的应用
|x 2-1| [例4] (2012·天津高考) 已知函数y =y =kx -2x -1
的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是
________.
互动探究:
若将“y =kx -2”改为“y =kx ”,k 的取值范围
是什么?
[例5]:[2013·江西卷] 如图1-3所示,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1,l 2之间,l ∥l 1,l 与半圆相交于F ,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E ,D 两点.设弧FG 的长为x(0
)
1-3
1. 利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
2. 利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数;利用此法也可由解的个数求参数值. 强化训练:
⎧⎪a ,a -b ≤1, 5.对实数a 和b ,定义运算“⊗”:a ⊗b =⎨设函⎪b ,a -b >1.⎩
数f (x )=(x 2-2) ⊗(x -1) ,x ∈R . 若函数y =f (x ) -c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )
A .(-1,1]∪(2,+∞) B .(-2,-1]∪(1,2]
C .(-∞,-2) ∪(1,2] D .[-2,-1]
16.已知a >0,且a ≠1,f (x ) =x 2-a x ,当x ∈(-1,1) 时,均有f (x )
1个易错点——图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的x ,y 变换”的原则,写出每一次的变换所得图象对应的解析式,这样
才能避免出错.
3个关键点——正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象,必须做到以下三点:
(1)正确求出函数的定义域;
(2)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、
1指数函数、对数函数、幂函数、形如y =x x 的函数;
(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程.
3种方法——识图的方法
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息,解决这类问题的常用方法有:(1)定性分析法,也就是通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降) 的趋势,利用这一特征来分析解决问题;(2)定量计算法,也就是通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法,也就是由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
易误警示——作图不准确或数与形不吻合致误
1[典例6] (2011·新课标全国卷) 函数y =的图象与函数y =1-x
2sin πx (-2≤x ≤4) 的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A .2 B .4 C .6
[易误辨析]
1.如果作出的函数图象比较粗糙,极易造成区间(1,2)上的两个交点遗漏,从而误选B.
12.如果作函数y =的图象不够准确,只注意到图象过点1-x
D .8
⎛3⎫⎛3⎫
,-1⎪,极易忽视区间 ,2⎪上的交点,从而误选C. ⎝2⎭⎝2⎭
1
3.如果不能正确地挖掘函数y y =2sin πx (-2≤x ≤4) 的
1-x 图象均关于点(1,0)对称,从而无法求出交点横坐标的和.
4.解决此类问题,避免在解题过程中出现失误,应关注以下几点:
(1)平时涉及函数图象的问题时,要规范准确地画出图象,切忌不用尺规草草完成.
(2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力.
(3)训练由图分析其函数性质的解题技巧.
强化训练:
x
⎧|2-1|,x
1.已知函数f (x ) =⎨3
x ≥2,⎪⎩x -1
若方程f (x ) -a =0有三个不同
的实数根,则实数a 的取值范围为( )
A .(1,3) B .(0,3) C .(0,2) D.(0,1)
1
2.已知a ,b ,c 依次是方程2+x =0,log 2x =2-x 和log 2=x
x
的实数根,则a ,b ,c 的大小关系是________.
2015届高考函数的图像专题检测题
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
2⎧⎪x (x
1.函数y =⎨x 的图象大致是(
)
⎪⎩2-1(x ≥0)
log |x |
2.函数y x (
)
3.(2013·太原模拟) 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x ) =3x +m (m 为常数) ,则函数f (x ) 的大致图象为(
)
4.已知函数y =f (x ) 与y =g (x ) 的图象如图所示,则函数y =f (x )·g (x ) 的图象可能是(
)
5.已知函数f (x ) 的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称,
⎛1⎫
当x 2>x 1>1时,[f (x 2) -f (x 1)](x 2-x 1)
⎝⎭
c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( )
A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >b D.b >a >c
⎧⎪x -[x ],x ≥0,
6.设函数f (x ) =⎨其中[x ]表示不超过x 的最大整
⎪⎩f (x +1),x
数,如[-1.5]=-2,[1.5]=1,若直线y =k (x +1)(k >0)与函数y =f (x ) 的图象有三个不同的交点,则k 的取值范围是( )
1⎤⎛11⎤⎛⎡11⎤⎡11⎫
⎥ ⎥⎢⎥A. 43 B. 0,4 C. 43 D. ⎢4,3 ⎝⎦⎝⎦⎣⎦⎣⎭7.[2013·四川卷] 函数y =
( )
3-1
x
x 3
二、填空题
8.函数
⎧ax +b ,x ≤0,f (x ) =⎨1⎫⎛
x +9⎪,x >0⎩log c ⎝⎭
的图象如图所示,则a +b +c
=________.
9.(2013·盐城模拟) 若关于x 的不等式2-x 2>|x -a |至少有一个负数解,则实数a 的取值范围是________.
10.已知函数y =f (x )(x ∈R ) 满足f (x +1) =f (x -1) ,且x ∈[-1,1]时,f (x ) =x 2,则函数y =f (x ) 与y =log 5x 的图象交点的个数为________.
三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 11.已知函数f (x ) =x |m -x |(x ∈R ) ,且f (4)=0.
(1)求实数m 的值;(2)作出函数f (x ) 的图象;(3)根据图象指出f (x ) 的单调递减区间;(4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集;(5)求当x ∈[1,5)时函数的值域.
12.当x ∈(1,2)时,不等式(x -1) 2
13.(1)已知函数y =f (x ) 的定义域为R ,且当x ∈R 时,f (m +x ) =f (m -x ) 恒成立,求证y =f (x ) 的图象关于直线x =m 对称;
(2)若函数y =log 2|ax -1|的图象的对称轴是x =2,求非零实数a 的值.
教师复习备选题
1.为了得到函数y =4·2x 的图象,可以把函数y =2x 的图象上所有的点( )
A .向上平移2个单位长度 B .向下平移2个单位长度 C .向左平移2个单位长度 D .向右平移2个单位长度 2.已知a 是实数,则函数f (x ) =1+a sin ax 的图象不可能是( )
3.作出下列函数的图象.
(1)y =|x -2|(x +1) ;(2)y =|x 2-2|x |-3|.
2015届高考函数的图像专题复习讲义答案
π⎫⎛π⎫⎛
⎪ -,-11,前侧:1.B 2.A 3.C 4.④ 5.:2∪2⎭ ⎝⎭⎝
例1:
变式1:
例2::[答案] (1)D (2)B 例3:B 变式:2.C 3.B 4. D
3. 解析:选B 由函数图象可得,函数f (x ) 为偶函数,且x >0时,函数f (x ) 的单调性为先减后增,最小值为正,极小值点小于1,分别对选项中各个函数求导,并求其导函数等于0的正根,2
可分别得12,2,1,由此可得仅函数f (x ) =x 2-ln |x |符合条件.
例4:[答案] (0,1)∪(1,4) 互动:解:函数可表示为y =
⎧⎪x +1,x >1或x
线部分,数形结合可知,要使两函数图象有两个交点,则k ∈(0,1)∪(1,2).
变式5:B
11
6. 解析:由题知,当x ∈(-1,1) 时,f (x ) =x 2-a x
1
在同一坐标系中分别作出二次函数y =x -2,指数
2
函数y =a x 的图象,如图,当x ∈(-1,1) 时,要使指1
数函数的图象均在二次函数图象的上方,需21
≤a ≤2且a ≠1. 故实数a 的取值范围是2≤a <1或1
⎡1⎫⎢<a ≤2. 答案:21⎪∪(1,2] ⎣⎭
2
典例5:D [解析] 设l ,l 2距离为t ,cos x=2t -1,得t =
cos x+1
2
2BE 1-t 2
△ABC ,2=1BE (1-t) ,则y =2BE +BC
33
32243=2×-t) =23-3
33
cos x+1
x ∈(0,π) 时,非线2
π
性单调递增,排除A ,B ,求证x 2的情况可知选D.
-11
典例6:[解析] 由题意知y =且关
1-x x -12π
于点(1,0)成中心对称,又y =2sin πx 的周期为T =π2,且也关于点(1,0)成中心对称;因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称,再结合图象(如图所示) 可知两图象在[-2,4]上有8个交点,因此8个交点的横坐标之和x 1+x 2+„+x 8=4×2=8 [答案] D
变式:1. D 2. 答案:a
检测题答案
1-7:BCBADD C
⎧⎪x -[x ],x ≥0,
6. 解析:选D 依题意作出函数f (x ) =⎨与直线
⎪f (x +1),x
11
y =3x +1) ,y =4(x +1) 的部分图象,如下图所示.从图象中我们可以11
看出当k =4f (x ) 与直线y =4x +1) 的图象有三个交点,当k 1111=3函数f (x ) 与直线y =3x +1) 的图象有两个交点,所以当4k
13
8. 3 9. 解析:在同一坐标系中画出函数f (x ) =2-x 2,g (x ) =|x -a |的图象,如图所示.若a ≤0,则其临界情况为折线g (x ) =|x -a |与抛物线
f (x ) =2-x 2相切,由2-x 2=x -a 可得x 2+x -a -2=0,由Δ=1+4·(a 9
+2) =0,解得a =-4;若a >0,则其临界情况为两函数图象的交点
⎛9⎫
为(0,2),此时a =2. 结合图象可知,实数a 的取值范围是 -4,2⎪.
⎝⎭
10. 4 11. 解:(1)∵f (4)=0,∴4|m -4|=0,即m =4.
2
⎧⎪x (x -4)=(x -2)-4,x ≥4,
(2)f (x ) =x |4-x |=⎨ 2
⎪-x (x -4)=-(x -2)+4,x
f (x ) 的图象如图所示.(3)f (x ) 的单调递减区间是[2,4]. (4)由图象可知,f (x )>0的解集为{x |04}.
(5)∵f (5)=5>4,∴由图象知,函数在[1,5)上的值域为[0,5).
12. 解:设f (x ) =(x -1) 2,g (x ) =log a x ,在同一直角坐标系中画出f (x ) 与g (x ) 的图象,要使x ∈(1,2)时,不等式(x -1) 2图象知,显然不成立;
当a >1时,如图,使x ∈(1,2)时,不等式(x -1) 213. 解:(1)设P (x 0,y 0) 是y =f (x ) 图象上任意一点,则y 0=f (x 0) . 又P 点关于x =m 的对称点为P ′,则P ′的坐标为(2m -x 0,y 0) . 由已知f (x +m ) =f (m -x ) ,得f (2m -x 0) =f [m +(m -x 0)] =f [m -(m -x 0)]=f (x 0) =y 0.
即P ′(2m -x 0,y 0) 在y =f (x ) 的图象上. ∴y =f (x ) 的图象关于直线x =m 对称.
(2)对定义域内的任意x ,有f (2-x ) =f (2+x ) 恒成立.
∴|a (2-x ) -1|=|a (2+x ) -1|恒成立,即|-ax +(2a -1)|=|ax +(2a -1)|1恒成立.又∵a ≠0,∴2a -1=0,得a =2备选题:1. C 2. D 3.解:(1)函数化为 1⎫9⎛⎧ x -⎪2-(x ≥2),⎪⎝2⎭4y =⎨1⎫9⎛
x -2+x
图象如图(1)所示.
(2)y =x 2-2x -3→y =x 2-2|x |-3→y =|x 2-2|x |-3|.图象变换如图(2)所示.