2014初中数学二次函数讲义
一、定义：我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。一般的，形如y=ax^2+bx+c（a ≠0）的函数叫二次函数。
二、表示方式：
1. 通式
二次函数的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三个点 将三个点的坐标代
入也就是说三个方程解三个未知数 解出a,b,c 就可以了 。 如果知道过x 轴的两个坐标(y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根) 也可以用对称轴公式x=-b/2a算 。 或者使用韦达定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0) 中 。 设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1•X2=c/a 已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，设y=a(x-1)2+2,把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2
2. 一般式
y=ax^2+bx+c(a≠0,a 、b 、c 为常数) ，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b^2/4a)
3. 顶点式
y=a(x-h)^2+k(a≠0,a 、h 、k 为常数) , 顶点坐标为（h,k ）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
4. 交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x 轴即y=0有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0]
由一般式变为交点式的步骤： ∵X1+x2=-b/a x1•x2=c/a ∴
y=ax^2+bx+c=a（x^2+b/ax+c/a） =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a
牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x
2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1•x2)(y1为截距)
三、求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
x 是自变量，y 是x 的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a (即一元二次方程求根公式） 求根的方法还有因式分解法和配方法 二次函数与X 轴交点的情况 当△=b^2-4ac>0时， 函数图像与x 轴有两个交点。 当△=b^2-4ac=0时, 函数图像与x 轴有一个交点。 当△=b^2-4ac
四、图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形
准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a） 3与X 轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，与Y 轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
1. 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P 。 特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y 轴（即直线x=0） a,b 同号，对称轴在y 轴左侧 b=0,对称轴是y 轴 a,b 异号，对称轴在y 轴右侧
顶点
2. 二次函数图像有一个顶点P ，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P 在y 轴上；当k=0时，P 在x 轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2;+k h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
开口
3. 二次项系数a 决定二次函数图像的开口方向和大
当a>0时，二次函数图像向上开口；当a
下开口。 |a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的
当a>0,与b 同号时（即ab>0），对称轴在y 轴左； 因位置。
为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0,与b 异号时（即ab
右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a 、b 要异号 可简单记忆为同左异右，即当a 与b 同号时（即ab>0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab
5. 常数项c 决定二次函数图像与y 轴交点。 二次函数图像与y 轴交于（0,C ） 注意：顶点坐标为（h,k) 与y 轴交于（0,C)
二次函数图像与x 轴交点个数
6. 二次函数图像与x 轴交点个数 a0或a>0;k0,k>0时，二次函数图像与X 轴无交点 _______ 当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y 随x 的变大而变小），二次函数图像的开口向 上，函数的值域是y>k 当ah范围内事增函数，在 x
特殊值的形式
7. 特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+ah2+2ah+k ②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k ③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k ④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k
二次函数的性质
8. 定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a 大于0的情况，a 小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a， 正无穷）；②[t，正无穷） 奇偶性：当b=0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 。 周期性：无 解析式： ①y=ax^2;+bx+c[一般式] ⑴a ≠0 ⑵a>0，则抛物线开口朝上；a
增减性
五、二次函数的平移
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h 个单位得到， 当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象
y=ax^2+bx+c（其中a ，b ，c 是常数，a ≠0）平移：纵向平移a 时y-a ，横向平移a 时x-a