一元二次方程及应用题

一、知识体系

1.一元二次方程的概念：形如. 2.一元二次方程的解法：

（1） （2） （3） （4）

3.一元二次方程的根的判别式：

（1）当 时，方程有两个不相等的实数根； ．．．．．（2）当 时，方程有两个相等的实数根； ．．．．（3）当 时，方程没有实数根。 ．．．．．

bc如果x1，x2是一元二次方程ax2bxc0的两根，那么有x1x2,x1x2.

aa

这是一元二次方程根与系数的关系 4、一元二次方程应用： （1）一般步骤： （2）验根： 二、基础训练

一元二次方程的概念 1.下列关于x的方程： 3222322(1)2xx30,(2)x5,(3)x2x0,(4)xy1

x

其中是一元二次方程的有（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 根的判别式

2

（1）关于x的一元二次方程x-4x+2m=0无实数根，求m的取值范围

2

（2）关于x的一元二次方程mx-4x+2=0有实数根，求m的取值范围.

应用题类型

一、增长率问题

（最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：

n

M=a(1±x) n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率 或降低率 增长率和时间相关，必须弄清楚从何时到何时的增长或降低率。） 练习

1、某厂一月生产50件产品，三月生产72件，求平均每月增加百分率？

2、某厂一月生产50件产品，第一季度共生产180件，求平均一至三月增加百分率？ 3、某商品连续两次提价共提高了69%，求平均每次提价的百分率

4、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元，剩下本利又按一年定期存入银行，到期后取出本利共计1320元，求一年期存款的利率？（只列不解）

5、某厂一月生产50件产品，三月比二月增产百分率，比二月较一月增产的百分率多2%个百分点，第一季度共生产180件求二月的增产率（只列不解）

6、某电脑公司2003年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%．该公司预计2005年经营总收入要达到2160万元，且计划从2003年到2005年，每年经营总收入的年增长率相同，问2004年预计经营总收入为多少万元？

7、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工出花生油132千克，其中花生的出油率的增长率是亩产量增长率的一半，求新品种花生亩产量的增长率。

二、每每问题

1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

2、某化工原料公司新购进一批化工原料，购进价格是每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元；市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．据统计，再销售过程中，每天还要支出其它费用500元，为了使日均销售利润达到1500元，销售单价应定为多少元？

三、面积问题

2

1、如图3-9-2所示要建一个面积为150m的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为am,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.

(1)求鸡场的长与宽各为多少米?

(2)题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?

四、握手问题

1、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

五、动点问题

1、已知：如图3-9-3所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

（1）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm？

2

（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于10cm?说明理由

（3）. 如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于29cm？

2

六、其他类型

1、一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽．

2、如图，某小区规划在一个长40m，宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144㎡，求甬路的宽度． A D B 3、（曲靖）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为。为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时（即任一时刻的车速都不能超过110千米/时。以下是张师傅和李师傅行驶完这段全程为400千米的高速公路时的对话片断。张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，少用我一个小时就跑完了全程，还是慢点。”李：“虽然我的时速快，但最大时速不超过我平均时速的10，可没有超速违法啊。”李师傅超速违法吗？为什么？ 4、

5、某市供电公司规定，本公司职工，每户一个月用电量若不超过A千瓦·时，则一个月的电费只要交10元，若超过A千瓦·时，则除了交10元外，超过部分每千瓦/时还要交

A

元.一户职工三月份用电80千瓦·时，交电费25元；四100

月份用电5千瓦·时，交电费10元，试求A的值.

6、新疆乌鲁木齐有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器： （1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？

（2）若此单位恰好花费7 500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？

一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）

1．用22cm的铁丝，折成一个面积为30cm的矩形，则这个矩形的两边长为( ). (A)5cm和6cm (B)6cm和7cm (C)4cm和7cm (D)4cm和5cm 2.一个多边形的对角线有9条，则这个多边形的边数是（ ）. (A)6 (B)7 (C) 8 (D) 9

3. 某超市一月份的营业额为100万元，一、二、三月份的营业额共500万元，若平均每月的增长率为x，则依题意列方程为( ).

(A)100(1x)2500 (B) 1001002x500

(C)1001003x500 (D) 100[1(1x)(1x)2]500 4．某商品按标价的八折出售，可获利20%；若按标价的七折出售，则( ).

(A)可获利10% (B)可获利5% (C)亏损10% (D)亏损5%

5．元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有( )人 (A)11 (B)12 (C)13 (D)14

6. 从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm，则截去小正方形的边长为（ ）.

(A)1cm (B)2cm (C) 3cm (D) 4cm

7．某公司向银行贷款20万元，约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的12%，

该公司用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金、利息外，还盈利6.4万元，若经营期间的资金增长率的百分数相同，则这个百分数是（ ）.

(A) 22% (B)10% (C)20% (D)15%

8.2005年《武汉市政府工作报告》预计今年我市农民人均纯收入将比上年增长6%；又

据武汉统计信息网资料表明2004年我市农民人均纯收入为3955元，比上年增长13.1%．则下列说法：①2003年我市农民人均纯收入为

3955

元；②预计2005年我市农民人均纯收入将达到3955×（1+6%）元；③预计2005年我市农

113.1%

2

2

民人均纯收入比2003年增长19.1%．其中正确的是（ ）.

(A)①②③ (B)①② (C)①③ (D)②③

二、填一填

9.两个数的和为15，积为56，则这两个数是 .

10.

直角三角形的周长为21，则它的面积为 .

11.某市政府为了申办2010年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划两年时间绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率为 .

12.小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期1年，年利率为1.98%，到期后应缴纳所得利息的20%的利息税，则小明父亲的存款到期交利息税后共得款 .

三、做一做

13.一辆汽车从静止开始启动到达到最大速度20m/s时，汽车前行了25米. (1) 汽车从静止开始启动到达到最大速度时用了多少时间？

(2) 汽车从静止开始启动到达到最大速度时平均每秒车速增加多少？ (3) 汽车前行了15米时用了多少时间？

14.有一种电子工件上有一些焊接点，要在每两个焊接点间连上漆包线，一共用了45条漆包线，问共有多少个焊接点？

15.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与的x关系式分别为R50030x，P1702x．

⑴ 当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？ ⑵ 若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？

四、试一试

16.如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=2，点P从A点出发，沿射线AB运动，点Q从C点 出发，以相同的速度沿BC的延长线运动，PQ与直线AC交于点D.

(1)当AP的长为何值时，△PCQ与△ABC的面积相等？

(2)作PE⊥AC于点E，当P、Q运动时，线段DE

的长度是否改变？证明你的结论Q

C

D

E

BAP

22.3 实际问题与一元二次方程

一、1.A 2.A 3.D 4.B 5.B 6.D 7.C 8.B 二、9.7和8； 10.1 11.20％ 12.20316.8元 三、13.(1) 2.5秒; (2)8(m/s); (3)

5s. 14.10个 2

15.(1)解:依据题意有:(1702x)x(50030x)1750解之得x125,x245(舍去) 即日产量为25只时,每月获得的利润为1750元.

(2)同理有(1702x)x(50030x)1950解之得x35,即日产量为35只时,每月获得的利润为1950元. 16.(1)设AP=x, 依题意有:S△PCQ=

1

x(x2)2,解得x1即AP=12

(2)过P点做BC的平行线交AC于F点,过P点做AC的垂线交AC于E点.易证△PFD≌△QCD,从而有FD=DC.同理AE=EF,∴ED=

1

AC即长度不变. 2

（2009，广东省）已知：关于x的方程2xkx10. （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.

2

（2009，北京）若把代数式x2x3化为xmk的形式，其中m,k为常数，则mk

2

2

（2009，芜湖）当m满足 时，关于x的方程x4xm

2

1

0有两个不相等的实数根． 2

（2009，安徽）某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是…………………………【 】D A．12%7%x% C．12%7%2x%

B．(112%)(17%)2(1x%)

2

D．(112%)(17%)(1x%)2（2009，丽水）用配方法解方程x4x5

时，方程的两边同加上 ▲ ，使得方程左边配成一个完全平方式．

2

（2009，温州）方程(x-1)=4的解是 ；

（2009，湖州）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.

（1） 若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？

（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. （2009，衢州）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日

日本2009年5月16日至5月21日

本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示．

人数(人) 甲型H1N1流感疫情数据统计图

(1) 在5月17日至5月21日这5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？该天增加了多少人？ (2) 在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加

甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确

诊病例将会达到多少人？ (3) 甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型．．H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个．．

16

17

个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？

（2009，天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成

18

19 20

21

人？如果按照这

本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．

如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果

图① 3，可设每个横彩条的宽为图② 2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．

结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示： AB =____________________________cm； AD=____________________________cm； 矩形ABCD的面积为_____________cm；

列出方程并完成本题解答．

EDF绕D点旋，(2009年牡丹江市)已知Rt△ABC中，ACBC，∠C90，

D为AB边的中点，EDF90°

转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图

1），易证S△DEFS△CEF是

否

成

立

2

1

S△ABC．当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论2

若

成

立

，

请给

予

证

明

；

若

不

成

立

，

？

S△D

E

、

E C

B

E C

图2

F

B

C E

图3

F

F 图1

S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

BCAC，（09大兴安岭）已知：在ABC中，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC．过

AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

Q

D C D

AEA

P

B

N恰好与点（1）如图1，当点图D1 旋转到BC的延长线上时，点图2 图F3 重合，取AC的中点

H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE

AMF与BNE有何数量关系？（不需证明）．（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，

请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=2，点P从A点出发，沿射线AB运动，点Q从C点 出发，以相同的速度沿BC的延长线运动，PQ与直线AC交于点D.

(1)当AP的长为何值时，△PCQ与△ABC的面积相等？

(2)作PE⊥AC于点E，当P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.

（09哈尔滨）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．

（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，

求证：FG＋DC＝AD；

（2）如图 2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是 ；