过极点圆的点弦(切)距公式及其应用
２０１４年第１０期
中学数学研究
［Ｊ］．中学数学教学，２０１１（１）：１６—１７．［２］刘希栋．寻求本源
（２）：５—８．
・４７・
一戈。＜以ｘ：）一戈：．令ｇ（戈）＝以戈）一ｚ，贝０ｇ（菇）在尺上为减函数．所以，ｇ’（菇）＝厂（石）一ｌ＝一３算２＋２口并一１≤０在Ｒ上恒成立，由△＝４口２—１２≤０ｊ
由惑到知［Ｊ］．数学教学研究，２０１２
一万≤口≤压
［３］杨飞．交流中激活思维，探究中绽放精彩［Ｊ］．中学数学
（高中版），２０１１（４）：２１—２３．
［４］兰诗全．巧设“陷阱”问题激活学生思维［Ｊ］．中国数学
教育（高中版），２０１４（１—２）：５４—５６．
参考文献
［１］曾志平．一道流行的数学题错误解法探讨改进及应用
过极点圆的点弦（切）距公式及其应用
江苏省姜堰第二中学
高中数学新课程标准又把《坐标系与参数方程》列入了选修系列４，使得极坐标这一传统教学内容又回到了高中数学之中．为说明极坐标在解题中的应用，本文给出过极点圆的点弦（切）距公式，并通过解高中数学问题介绍公式的应用，供高中数学
老师阅读时参考．
１
（２２５５００）高海燕
当ｐ。—，如，即Ｐ。与Ｐ：重合时，这时割线（弦）Ｐ。Ｐ２转化为过点Ｐ２的切线，故ｐ，＝Ｉ
ＰｒＩ＝
２口ｃｏｓｐｌｃｏｓ如＝２口ｃｏｓ口２ｃｏｓ吼＝２口ｃｏｓｊ巩，口ｒ＝ａｌ＋
吼＝ｐ：＋如＝２如，所以垂足丁点的坐标为
（２口ｃｏｓ２日２，２眈）．
２．应用
过极点圆的点弦（切）距公式
如图１，已知
先约定，以下例题中的线段均为正值，略去绝对
值记号．
２．１
定理
Ｐｌ，Ｐ２是圆ｐ＝２０ｃｏｓ口上两
点弦距公式的应用
由△Ａ曰Ｃ的外接圆弧ＢＣ上一点Ｐ作
点，它们的极角分别为ｐ，和以
巩，从极点Ｐ作ＰＱ上Ｐ。Ｐ：，作Ｐ丁上过Ｐ２点的切线，Ｑ、丁为垂足．则有
１．ｐｏ＝Ｉ
例ｌ
Ｂｃ，ｃＡ与ＡＢ边上的高胀，咒，跗，求证：篾＝瓮
图１
ＰＱ
Ｉ＝
＋等（２００７年江苏省宿迁市高中数学竞赛题）
证明：如图２，以Ｐ点为极点建立极坐标系．设００的方程为ｐ
２
２口ｃｏｓ巩ｃｏｓ口２（点弦距公式）；
２．ｐｒ＝Ｉ
Ｐｒｌ＝２口ｃｏｓ２吼（点切距公式）；
３．Ｑ（２口ｃｏｓｐｌｃｏｓ日２，ｐ１＋巩），ｒ（２口ｃｏｓ２如，２如）
２口ｃｏｓ口，令Ａ（２口ｃｏｓａ，
（垂足坐标公式）．
证明：设Ｐｉ（２口ｃｏｓｐｉ，ｐｉ）（ｉ＝ｌ，２），ｐｉ∈（Ｏ，
ｄ），曰（２口ｃｏ够，卢），Ｃ（２口ｃｏｓ７，ｙ）．则Ｐ肘＝２口ｃｏｓａｃｏ印，ＰＫ＝２口ｃｏ啦ｃｏｓｙ，ＰＬ＝２口ｃｏｓｙ・
图２
２仃），则Ｐ。Ｐ：两点的直线方程为堕丛皇Ｌ二盟：
ｐ
兰ｉ掣＋兰ｉ掣，有ｐ［。ｉｎ（以一口）ｃ。。如＋
２口ｃｏｓｐｌ
２０ｃｏｓ巩
’Ｎ
ｃｏｓ∞又由正弦定理知召Ｃ＝２口ｓｉｎ（卢一ｙ），ＣＡ＝
２口ｓｉｎ（ａ一７），ＡＢ＝２口ｓｉｎ（卢一ａ）．所以
ｒ。…‘、。２
”７…。ｚ’
ｓｉｎ（ｐ一９１）ｃｏｓｅｌ］＝２０ｓｉｎ（口２一ｅ１）ｃｏｓ９１ｃｏｓ８２，所以
ｐｓｉｎ（如一ｐ１）ｃｏｓ（ｐ—ｐｌ一如）
＝２口ｓｉｎ（如一
一十一＝一十一
丝＋笪：２生翌（垡二ｚ）＋至型翌ｆ昼＝型咒
’蹦
２口ｃｏｓａｃｏｓ７
２口ｃｏｓａｃｏ啦
’
一！ｉ里（垡二ｚ２竺竺塑±！ｉ望（星二垡２１旦！ｚ
一
日１）ｃｏｓｐｌｃｏｓ日２，因为ｓｉｎ（如一口１）≠０，贝０得ｐｃｏｓ［９一（口ｌ＋如）］＝２ｎｃｏｓ巩ｃｏｓ如．这是ＰｌＰ２的法线式方
程，故知法线垂足Ｑ的坐标为（２口ｃｏｓ口。ｃｏｓ如，９，＋ｐ２），即ｐＱ＝ＩＰＱＩ＝２口ｃｏｓ臼ｌｃｏｓ如，９Ｑ＝９ｌ＋吼．
ｃｏｓｄｃｏ印ｃｏｓｙ
一！ｉ翌（垡±昼二ｚ！±！ｉ翌（星＝垡＝１２
。
２ｃｏｓａｃｏ印ｃｏｓ７
・４８・
中学数学研究
点切距公式的应用
正三角形Ａ曰Ｃ的内切圆Ｄ与曰Ｃ，ｃＡ，Ａ曰
／ｏ、
２０１４年第１０期
２．２
例２
点共线．（西摩松ｓｉｍｓｏｎ线）．（２００４年河北省石家庄高中数学竞赛题）
证明：如图５，建立极坐标系．设００的方程为ｐ＝２０ｃｏｓ日，令顶点按逆时针方向依次为Ａｉ（２口ｃｏｓｐｉ，日ｉ）ｐｉ∈（０，２仃）（ｉ＝１，２，３），则Ｃ。，
相切于Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ为ｏＤ的劣弧ＥＦ上任意一点，Ｐ在
Ｂｃ，甜，ＡＢ上的射影为￡，Ｍ，Ⅳ．求证：／瓦＝何＋厕（２００８年云南省大理市高中数学竞赛题）
证明：如图３，以Ｐ点为极
点建立极坐标系．设ｏＤ的方
程为ｐ＝２０ｃｏｓｐ．设三切点的坐标分另０为Ｄ（２０ｃｏｓ口，ｐ），Ｅ（２０ｃｏｓ（ｐ＋６００），ｐ＋６０。），Ｆ（２Ⅱｃｏｓ（ｐ一６００），ｐ一６０。）．所以Ｐ￡＝２口ｃｏｓ２ｐ，ＰＭ＝
图３
ｃ：，Ｃ，三垂足的坐标分别为
Ｃｌ（２０ｃｏｓ９１ｃｏｓ如，ｐ１＋ｐ２），Ｃ２（２口ｃｏｓｐ２ｃｏｓ９３，ｐ２
图５
＋
＋日３），Ｃ３（２０ｃｏｓｐ３ｃｏｓｐｌ，ｐ３
ｐ。）．显然Ｃ。，Ｇ，Ｇ三点的坐标满足法线式方程Ｚ：ｐｃｏｓ（ｐ—ｐｌ一如一岛）＝２血ｃｏｓｐｌｃｏｓ９２ｃｏｓ９３，所以Ｃ１，Ｃ，，Ｃ，三点共线．
２口ｃｏｓ２（９＋６００），ＰⅣ＝２口ｃｏｓ２（口一６００）．所以／ＰＭ
２以蕊ｏｓ６０。＝以磊面＝∥云
２．３
＋√ＰⅣ＝￣／７互口［ｃｏｓ（ｐ＋６０。）＋ｃｏｓ（口一６００）］＝
点弦（切）距公式的应用
由圆Ｄ外一点Ｐ引切线ＰＥ和ＰＦ，Ｅ，Ｆ为
，ｏ、
教学实践证明：引导学生学习高中选修内容，并对其应用进行研究，有利于帮助学生全面理解高中平面解析几何的知识，有利于培养学生的探索精神和创新意识，这既符合新课程改革关于“以课程标准为指导，以教材为基础，合理使用课本，加强教学科研”的理念要求，又能指导学生感悟数学、掌握基础知识和基本技能及方法，提高综合解题水平，启迪思维、开拓视野，利于学生数学思维能力和综合运用知识的解题能力的提高．
总之，我们要注意这一新内容的研究，要引导学生通过专题讲座的探究，使学生更加热爱数学，对数
学产生浓厚的兴趣．
例３
切点．在劣弧ＥＦ上任取一点Ｍ，作胍上ＥＦ，枷ｊ．ＰＦ，ＭＣ上ＰＥ，Ａ，Ｂ，Ｃ分别为垂足．求证：删２＝邶
・Ｍｃ．（２００６年山东泰安市高中数学竞赛题）
证明：如图４，以Ｍ点为极点建立极坐标系．设ｏＯ的方程为ｐ＝２口ｃｏｓ鼠令Ｅ（２口ｃｏｓ０ｃ，ａ），Ｆ（２口ｃｏ印，卢），
则由点弦距公式得，舰：
２口ｃｏｓｏｃｃｏ邮，枷
ＭＣ＝２口ｃｏｓ２ｄ，
图４
＝
２口ｃｏｓ２口，参考文献
＝ＭＢ
・ＭＣ
＝
所以脱２
［１］于志洪．点线距公式及其应用．中学数学教学，１９９０（２）．２．于志洪．极坐标证一定理及其推广．数学通报，１９９０（１１）．３．于志洪．极坐标法证ｓｉｍｓｏｎ线．阜阳师院学报（自然科学
版），１９８５（２）．
４０２ｃｏｓ２ａｃｏｓ疆
２．４
垂足坐标公式的应用
例４△４，Ａ：Ａ，内接于ｏＤ，圆上一点Ｐ向三边
作垂线，设垂足依次为Ｃ。，Ｃ：，ｃ３．求证：Ｃ。，Ｃ：，Ｃ，三
圆形潜入题润题细无声
——谈谈构造圆证明代数不等式
江苏省泰州市民兴实验中学中英文部
有些代数不等式的证明用纯代数法相当繁杂，
一格．
现以部分高中数学竞赛题为例，谈谈如何构造
（２２５３００）
翟丽君
若能根据题目的特点，构造出有助于证明不等式的图形来，则往往能使证明简洁明了、新颖独特、别具
圆形证明不等式，供高中师生教学参考．