历年陕西中考数学试题汇编第25题

历年陕西中考数学试题汇编第25题

25、（本题满分12分08年）

某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。

如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB 段和CD 段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所中学。点B 在点M 的北偏西30°的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60

°的处。

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案： 方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道铺设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（线段AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

图②

图①

25．（本题满分12分09年） 问题探究

（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使∠APB =90°的一个点P ，并说明理由． ．．（2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使∠APB =60°的所有的点P ，并说明理．．由． 问题解决

（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD ，AB =4，BC =3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP 'D 钢板，且∠APB =∠CP 'D =60°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出△APB 的面积（结果保留根号）． D C D C D C

A B A B A B

③ ② ① （第25题图）

25. （本题满分12分10年） 问题探究

(1)请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； ．．

（2）如图②点M 是矩形ABCD 内一点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。 问题解决

（1） 如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开

发区用地示意图，其中DC ∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线l 是否存在？若存在求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由

25．（本题满分12分11年）

如图①、在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于F, 然后展开铺平，则以B 、E 、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF ”是一个_________三角形

(2)如图②、甲在矩形ABCD, 当它的“折痕△BEF ”的顶点E 位于AD 的中点时，画出这个“折痕△BEF ”，并求出点F 的坐标； （3）、如图③，在矩形ABCD 中， AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF ”？ 若存在，说明理由，并求出此时点E 的坐标？若不存在，为什么？

25．（本题满分12分12年）

如图，正三角形ABC

的边长为．

（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E ' F ' P ' N ' ，且使正方形E ' F ' P ' N ' 的面积最大（不要求写作法）；

（2）求（1）中作出的正方形E ' F ' P ' N ' 的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

25. （本题满分12分13年） 问题探究

（1） 请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2） 如图②，M 是正方形ABCD

内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线

必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.

问题解决 （3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC，点P 是AD 的中点. 如果AB=a ，CD=b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.

① ② ③ （第25题图） 25、（本题满分12分14年） 问题探究 （1）如图①，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果BC 边上存在点P , 使△APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰△APD ，并求出此时BP 的长；

（2）如图②，在△ABC 中，∠ABC=60°，BC=12，AD 是BC 边上的高，E,F 分别为边AB 、AC 的中点，当AD=6时，BC 边上存在一点Q ，使∠EQF=90°。求此时BQ 的长； 问题解决

（3）有一山庄，它的平面为③的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使∠AMB 大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳。已知∠A=∠E=∠D=90°。AB=270m。AE=400m，ED=285m,CD=340m,问在线段CD 上是否存在点M ，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM 的长；若不存在，请说明理

A 由。

E A

E F ┓

② ③ C C B B D A A A

25．（12分）（2015•陕西）如图，在每一个四边形ABCD 中，均有AD ∥BC ，CD ⊥BC ，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．

（1）如图①，点M 是四边形ABCD 边AD 上的一点，则△BMC 的面积为 ； （2）如图②，点N 是四边形ABCD 边AD 上的任意一点，请你求出△BNC 周长的最小值； （3）如图③，在四边形ABCD 的边AD 上，是否存在一点P ，使得cos ∠BPC 的值最小？若存在，求出此时cos ∠BPC 的值；若不存在，请说明理由．

25. （本题满分12分16年）问题提出

（1）如图①，已知△ABC ，请画出△ABC 关于直线AC 对称的三角形。 问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，使得四边形EFGH 的周长最小？若存在，请说明理由。

问题解决

(3)如图③，有一矩形板材ABCD ，AB=3米，AD=6米，现想从板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH 部件，使∠EFG=900 ，EF=FG=5米, ∠EHG=450. 经研究，只有当点E 、F 、G 分别在边AD 、AB 、BC 上，且AF

25．（17年）问题提出

（1）如图①∆ABC 是等边三角形，AB =12．若点O 是∆ABC 的内心，则OA 的长为___________； 问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB =12，AD =18．如果点P 是AD 边上一点，且AP =3，那么BC 边上是否存在一点Q ，使得线段PQ 将矩形ABCD 的面积平分? 若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由∆ABM 草地和弦AB 与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M 处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头．．．．．．来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水．于是，他主喷灌龙头的转角正好等于∠AMB (即每次喷灌时喷灌龙头由MA 转到MB ，然后再转回，这样往复喷灌) ，同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

2

如图③，已测出AB =24m ，MB =10m ，∆ABM 的面积为96m ；过弦AB 的中点D 作

DE ⊥AB 交弧AB 于点E ，又测得DE =8m ．

请你根据以上提供的信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法? 为什么? （结果保留根号或精确到0.01米）