张齐华[交换律]课堂实录与评析

张齐华 《加法交换律》课堂实录

师：喜欢听故事吗？

生：喜欢。

师：那就给大家讲一个“朝三暮四”的故事吧。听完故事，想说些什么？（结合生发言板书：3+4=4+3）

师：观察这一等式，你有什么发现？

生1：我发现，交换两个加数的位置和不变。(教师板书这句话)

师：其他同学呢？(见没有补充) 老师的发现和他很相似，但略有不同。(教师出示：交换3和4的位置和不变) 比较我们俩给出的结论，你想说些什么？

生2：我觉得您(老师) 给出的结论只代表了一个特例，但他(生1) 给出的结论能代表许多情况。

生3：我也同意他(生2) 的观点，但我觉得单就黑板上的这一个式子，就得出“交换两个加数的位置和不变”好像不太好。万一其它两个数相加的时候，交换它们的位置和不等呢！我还是觉得您的观点更准确、更科学一些。

师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当作一个猜想(教师将生1结论中的“。”改为“？”)。既然是猜想，那么我们还得——

生：验证。

师：怎么验证呢？

生1：我觉得可以再举一些这样的例子？

师：怎样的例子，能否具体说说？

生1：比如再列一些加法算式，然后交换加数的位置，看看和是不是跟原来一样。（学生普遍认可）

师：那你们觉得需要举多少个这样的例子呢？

生2：五、六个吧。

生3：至少要十个以上。

生4：我觉得应该举无数个例子才行。不然，永远没有说服力。万一你没有举到的例子中，正好有一个加法算式，交换他们的位置和变了呢？（有人点头赞同）

生5：我反对！举无数个例子，那得举到什么时候才好？如果每次验证都需要这样的话，那我们永远都别想得到结论！

师：我个人赞同你（生5）的观点，但觉得他（生4）的想法也有一定道理。综合两人的观点，我觉得是不是可以这样，我们每人都来举三、四个例子，全班合起来那就多了。同时大家也留心一下，看能不能找到“交换加数位置和发生变化”的情况，如果有及时告诉大家行吗？（学生赞同，随后在作业纸上尝试举例。）

师：正式交流前，老师想给大家展示同学们在刚才举例过程中出现的两种不同的情况。

（教师展示：1．先写出12＋23和23＋12，计算后，再在两个算式之间添上“＝”。2．不计算，直接从左往右依次写下“12＋23＝23＋12”。）

师：比较两种举例的情况，想说些什么？

生6：我觉得第二种情况根本不能算举例。他连算都没算，就直接将等号写上去了。这叫不负责任。（生笑）

生7：我觉得举例的目的就是为了看看交换两个加数的位置和到底等不等，但这位同学只是照样子写了一个等式而已，至于两边是不是相等，他想都没想。这样举例是不对的，不能验证我们的猜想。（大家对生6、生7的发言表示赞同。）

师：哪些同学是这样举例的，能举手示意一下吗？

师：明白问题出在哪儿了吗？（生点头）为了验证猜想，举例可不能乱举。这样，再给你们几位一次补救的机会，迅速看看你们写出的算式，左右两边是不是真的相等。

师：其余同学，你们举了哪些例子，又有怎样的发现？

生8：我举了三个例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。从这些例子来看，交换两个加数的位置和不变。

生9：我也举了三个例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也觉得，交换两个加数的位置和不变。

（注：事实上，选生8、生9进行交流，是教师有意而为之。）

师：两位同学举的例子略有不同，一个全是一位数加一位数，另一个则有一位数加一位数、二位数加两位数、三位数加三位数。比较而言，你更欣赏谁？

生10：我更欣赏第一位同学，他举的例子很简单，一看就明白。

生11：我不同意。如果举得例子都是一位数加一位数，那么我们最多只能说，交换两个一位数的位置和不变。至于加数是两位数、三位数、四位数等等，就不知道了。我更喜欢第二位同学的。

生12：我也更喜欢第二位同学的，她举的例子更全面。我觉得，举例就应该这样，要考虑到方方面面。（多数学生表示赞同。）

师：如果这样的话，那你们觉得下面这位同学的举例，又给了你哪些新的启迪？

教师出示作业纸：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。

生：我们在举例时，都没考虑到0的问题，但他考虑到了。

生：他还举到了分数的例子，让我明白了，不但交换两个整数的位置和不变，交换两个分数的位置和也不变。

师：没错，因为我们不只是要说明“交换两个整数的位置和不变”，而是要说明，交换——

生：任意两个加数的位置和不变。

师：看来，举例验证猜想，还有不少的学问。现在，有了这么多例子，能得出“交换两个加数的位置和不变”这个结论了吗？（学生均认同）有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是交换两个加数位置和变了？这样看来，我们能验证刚才的猜想吗？

生：能。

（教师重新将“？”改成“。”，并补充成为：“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”）

师：回顾刚才的学习，除了得到这一结论外，你还有其它收获吗？

生：我发现，只举一、两个例子，是没法验证某个猜想的，应该多举一些例子才行。

生：举的例子尽可能不要雷同，最好能把各种情况都举到。

师：从“朝三暮四”的寓言中，我们得出“3+4＝4+3”，进而形成猜想。随后，又通过举例，验证了猜想，得到了这一规律。该给这一规律起什么名称呢？（学生交流后，教师揭示“加法交换律”，并板书。）

师：在这一规律中，变化的是两个加数的――（板书：变）

生：位置。

师：但不变的是――

生：它们的和。（板书：不变）

师：原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。

结论，是终点还是新的起点？

师：从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如（教师指读刚才的结论，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”那么，在——

生1：减法中，交换两个数的位置，差会不会也不变呢？（学生中随即有人作出回应，“不可能，差肯定会变。”）

师：不急于发表意见。这是他（生1）通过联想给出的猜想。

（板书：“猜想一：减法中，交换两个数的位置差不变？”）

生2：同样，乘法中，交换两个乘数的位置积会不会也不变？

（板书：“猜想二：乘法中，交换两个数的位置积不变？”）

生3：除法中，交换两个数的位置商会不变吗？

（教师板书：“猜想三：除法中，交换两个数的位置商不变？”）

师：通过联想，同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法，这是一种很有价值的思考。除此以外，还能通过其它变换，形成不一样的新猜想吗？

生4：我在想，如果把加法交换律中“两个加数”换成“三个加数”、“四个加数”或更多个加数，不知道和还会不会不变？

师：这是一个与众不同的、全新的猜想! 如果猜想成立，它将大大丰富我们对“加法交换律”的认识。(教师板书“猜想四：在加法中，交换几个加数的位置和不变？”)现在，同学们又有了不少新的猜想。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择你最感兴趣的一个，用合适的方法试着进行验证。

（学生选择猜想，举例验证。教师参与，适当时给予必要的指导。然后全班交流。）

师：哪些同学选择了“猜想一”，又是怎样验证的？

生5：我举了两个例子，结果发现8－6＝2，但6－8却不够减；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5却不够减。所以我认为，减法中交换两个数的位置差会变的，也就是减法中没有交换律。

师：根据他举的例子，你们觉得他得出的结论有道理吗？

生：有。

师：但老师举的例子中，交换两数位置，差明明没变嘛。你看，3－3＝0，交换两数的位置后，3－3还是得0；还有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，这样的例子多着呢。

生6：我反对，老师您举的例子都很特殊，如果被减数和减数不一样，那就不行了。

生7：我还有补充，我只举了一个例子，2－1≠1－2，我就没有继续往下再举例。

师：哪又是为什么呢？

生7：因为我觉得，只要有一个例子不符合猜想，那猜想就错了。

师：同学们怎么理解他的观点。

生8：（略。）

生9：我突然发现，要想说明某个猜想是对的，我们必须举好多例子来证明，但要想说明某个猜想是错的，只要举出一个不符合的例子就可以了。

师：瞧，多深刻的认识！事实上，你们刚才所提到的符合猜想的例子，数学上我们就称作“正例”，至于不符合猜想的例子，数学上我们就称作――

生：反例。（有略。）

师：关于其它几个猜想，你们又有怎样的发现？

生10：我研究的是乘法。通过举例，我发现乘法中交换两数的位置积也不变。

师：能给大家说说你举的例子吗？

生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。

（另有数名同学交流自己举的例子，都局限在整数范围内。）

师：那你们都得出了怎样的结论？

生11：在乘法中，交换两数的位置积不变。

生12：我想补充。应该是，在整数乘法中，交换两数的位置积不变，这样说更保险一些。

师：你的思考很严密。在目前的学习范围内，我们暂且先得出这样的结论吧，等学完分数乘法、小数乘法后，再补充举些例子试试，到时候，我们再来完善这一结论，你们看行吗？（对猜想三、四的讨论略。）

随后，教师引导学生选择完成教材中的部分习题（略），从正、反两面巩固对加法、乘法交换律的理解，并借助实际问题，沟通“交换律”与以往算法多样化之间的联系。

怎样的收获更有价值？

师：通过今天的学习，你有哪些收获？

生：我明白了，加法和乘法中有交换律，但却没有减法交换律或除法交换律。 生：我发现，有了猜想，还需要举许多例子来验证，这样得出的结论才准确。 生：我还发现，只要能举出一个反例，那我们就能肯定猜想是错误的。

生：举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论才更可靠。

师：只有一个例子，行吗？

生：不行，万一遇到特殊情况就不好了。

（作为补充，教师给学生介绍了如下故事：三位学者由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊。“真有意思，”天文学家说：“苏格兰的羊都是黑的。”“不对吧。”物理学家说，“我们只能得出这样的结论：在苏格兰有一些羊是黑色的。”数学家马上接着说：“我觉得下面的结论可能更准确，那就是：在苏格兰，至少有一个地方，有至少一只羊，它是黑色的。”）

必要的拓展：让结论增殖！

师：在本课将结束时，依然有一些问题需要留给大家进一步思考。

（教师出示：20－8－6○20－6－8 ;60÷2÷3○60÷3÷2）

师：观察这两组算式，你发现什么变化了吗？

生：我发现，第一组算式中，两个减数交换了位置，第二组算式中，两个除数也交换了位置。

师：交换两个减数或除数，结果又会怎样？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本课所掌握的方法，你能通过进一步的举例验证猜想并得出结论吗？这些结论和我们今天得出的结论有冲突吗，又该如何去认识？

专家评析张齐华教学的《交换律》一课

曹一鸣 转贴：人民教育

一堂有价值的数学课，给予学生的影响应该是多元而立体的。有知识的丰厚、技能的纯熟，更有方法的领悟、思想的启迪、精神的熏陶。事实上，数学的确拥有这一切，而且，也可能传递这一切。然而，出于对知识与技能的盲目追逐，当今数学课堂忽视了本该拥有的文化气度和从容姿态。知识化、技巧化、功利化思想的不断弥散，让数学思想、方法和精神失却了可能生长的土壤，并逐渐为数学课堂所遗忘，这不能不说是当今众多数学课堂的悲哀。近年来，在观念层面的探讨不少，真正落实到课堂教学实践的却不多。可喜的是，在张老师的这一

节课中，我们看到了另一种努力，以及由此而带来的变化。透过课堂，我们似乎触及到了数学更为丰厚的内涵，感受到数学教学可能呈现的更为开阔的景象。

对于“交换律”，一贯的教学思路是：结合具体情境，得出某一具有交换律特征的实例，由此引发猜想，并借助举例验证猜想、形成结论，进而在解释和应用的过程中进一步深化认识。本课，在宏观架构上并未作太大开拓。然而，在保持其整体架构的基础上，这一堂课在更多细节上所给予的突破却是十分显见。我们不妨重历课堂，去找寻这些细节，并探寻细节背后的意蕴所在。由“3+4=4+3”得出“交换两数的位置，和不变”的猜想，似乎再自然不过了。然而，教师略显突兀的介入，以“交换的位置，和不变”的细微变化，确又发人于深思。正如案例中所提及的，“一个例子究竟能说明什么”，是得出结论？还是仅仅是触发猜想和验证的一根引线？这里关乎知识的习得，更关乎方法的生成，关乎学生对于如何从事数学思考的思考。 “验证猜想，需要怎样的例子”的探讨，更是折射出了张老师独特的教学智慧。曾经，在太多的课堂里，我们目睹这样的情形：学生举例三、四，教师引导学生匆匆过场，似乎也有观察、也有比较、也有提炼。然而，我们却很少琢磨：观察也好、提炼也罢，它究竟该建立在怎样的基石之上，再换言之，在“简洁”和“丰富”之间，谁才是“举例验证猜想”时应该遵循的规则。张老师的尝试与表达无疑是对传统教学的一种突破。“举例”不应只追求简约，例子的多元化、特殊性恰恰是结论准确和完整的前提。没有老师适时的点拨与引导，学生如何才能有此深度体验？无此体验，我们如何能说，学生已经历过程，并已感悟思想与方法？

触及我深思的问题还在于，是什么原因触发了这一节课将原来的“加法交换律”置换成了“交换律”？是内容的简单扩张？是教学结构的适度调整？随后的课堂，给了我清晰的答复。“加法结合律”只是一个触点，“减法中是否也会有交换律？”“乘法、除法中呢？”等新问题，则是原有触点中诞生的一个个新的生长点。统整到一起时，作为某一特定运算的“交换律知识”被弱化了，而“交换律”本身、“变与不变”的辩证关系、“猜想－实验－验证”的思考路线、由“此知”及“彼知”的数学联想等却一一获得突显，成为超越于知识之上的更高的数学课堂追求。这何尝不是一种有意义、有价值的探索？

课堂的结尾，我们依然看到了教师对传统保守思路的背叛。确定的、可靠的结论已经不再是这一堂课的终极追求，结论的可增殖性、结论的重新表达、问题的不断生成和卷入，仿佛成为了这堂课最后的价值取向。即便是颠覆原有的

结论，也在所不惜。在这里，我们再一次看到了教师对于数学知识的“战略性”忽视，因为，教师心有大气象。

数学是什么，数学可以留下些什么，数学可以形成怎样的影响力？答案并不唯一。但我以为，数学可以在人的内心深处培植理性的种子，她可以让你拥有一颗数学的大脑，学会数学地思考，学会理性、审慎地看待问题、关注周遭、理解世界，这恰是这节课给予我们的最大启迪。而数学的文化特性，恰也在于此。 阅读(2121)| 评论(0)