冲激偶函数
三、单位冲激偶信号
(1) 冲激函数δ(t ) 的导数定义为(单位)冲激偶函数,用δ'(t ) 或δ(t ) 表示。
δ'(t ) =d δ(t )
d t (1.3-16)
式(1.3-16)可从极限的角度理解,δ'(t ) =lim δˆ'(t ) τ→0,由图1.3-6,δ(t ) 的导数ˆˆ'(t ) δ如图1.3-11(a)所示,用公式表示为
ˆ'(t ) =1δ(t +τ) -1δ(t -τ) δτ2τ2
ˆ当τ→0时,δ'(t ) 由两个在时间上无限靠近,而强度趋于无限大的冲激构成。
故称它为冲激偶函数,用图1.3-11(b)表示。
(a ) (b )
图1.3-11 冲激偶函数
设x (t ) 为常规函数,其导数x '(t ) 在t =t 0处连续,则积分
⎰∞
-∞x (t ) δ'(t -t 0) d t =⎰∞
-∞x (t ) d δ(t -t 0)
∞=x (t ) δ(t -t 0)-∞-
=-⎰∞-∞x '(t ) δ(t -t 0) d t ⎰∞
-∞x '(t ) δ(t -t 0) d t
利用冲激函数的抽样性质,从上式得
⎰∞
-∞x (t ) δ'(t -t 0) d t =-x '(t 0)
(1.3-17)
该式称为δ'(t ) 的抽样性质。
采用对x (t ) δ(t ) 分步求导的方法,或利用式(1.3-17),还可得 x (t ) δ'(t ) =x (0) δ'(t ) -x '(0) δ(t ) (1.3-18)注意x (t ) δ'(t ) ≠x (0) δ'(t ) 。再来考虑δ'(t ) 的对称性。
δ'(-t ) =d δ(τ)
d ττ=-t
由于δ(t ) 为偶对称函数,则有 δ'(-t ) =d δ(t )
-d t =-δ'(t )
19)
可见,δ'(t ) 为奇对称函数。故
⎰∞'-∞δ(t ) d t =0
当然,令式(1.3-17)中的x (t ) =1,也可得上式结果 。 1.3- (
函数δ(t ) 的各阶导数统称为高阶冲激。特别指出,在同一时刻出现的单
2δ位冲激函数、高阶冲激函数间的乘积,如(t ) ,δ(t ) δ'(t ) 等没有意义。