2015云南中考数学试卷
2015年云南省初中学业水平考试
数学试题卷
(全卷三个大题,共23个小题,共8页;满分100分,考试用时120分钟)
注意事项:
1.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上,在试题卷、草稿纸上作答无效.
2.考试结束后,请将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共8个小题,每小题只有一个正确选项,每小题3分,满分24分) 1.(2015云南省,1,3分) -2的相反数是
11
A .-2 B .2 C .- D .
22
【答案】B
【解析】相反数:a 的相反数是-a ,特别地,0的相反数是0.
2.(2015云南省,2,3分) 不等式2x -6>0的解集是
A .x >1 B .x <-3 C .x >3 D .x <3 【答案】C
【解析】依照不等式的性质解题即可.步骤和解方程一样.
1.不等式的两边都加上(或减去) 同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.用式子表示:如果a >b ,那a +c >b +c (或a -c >b -c ) .
2.不等式两边都乘(或除以) 同一个正数,不等号的方向不变.用式子表示:如果a >b ,且c >0,那
a b
么ac >bc (或>) .
c c
3.不等式两边都乘(或除以) 同一个负数,不等号的方向改变.用式子表示:如果a >b ,且c <0,那
a b
么ac <bc (或<)
c c
3.(2015云南省,3,3分) 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是正方形,则这个几何体是 A .正方体 B .圆锥 C .圆柱 D .球 【答案】A
【解析】正方体由六个正方形面组成,所以三视图都是正方形.
(1)从正面观察物体时,看到的图叫做主视图; (2)从左面观察物体时,看到的图叫做左视图; (3)从上面观察物体时,看到的图叫做俯视图.
4.(2015云南省,4,3分) 2011年国家启动实施农村义务教育学生营养改善计划,截至2014年4月,我省开展营养改善试点中小学达17580所.17580这个数用科学记数法可表示为
A .17. 58×103 B .175. 8×104 C .1. 758×105 D .1. 758×104 【答案】D
【解析】科学记数法:把一个数表示成a ×10n 的形式,其中1≤|a |<10,n 是整数;
5.(2015云南省,5,3分) 下列运算正确的是
A .a 2-a 5=a 10 B .(π-3. 14) 0=0
C
-
D .(a +b ) 2=a 2+b 2 【答案】C 【解析】A 选项不能合并;B 选项是0次幂的规定,等于1;C 要先化简二次根式,再合并同类二次根式.D
222
选项是完全平方公式(a +b ) =a +2ab +b .
6.(2015云南省,6,3分) 下列一元二次方程中,没有实数根的是 A .4x 2-5x +2=0 B .x 2-6x +9=0 C .5x 2-4x -1=0 D .3x 2-4x +1=0
1
【答案】A 【解析】
关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根的判别式Δ=b 2-4ac . (1)Δ>0⇔方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两个不相等的实数根; (2)Δ=0⇔方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有两个相等的实数根; (1)Δ<0⇔方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 没有实数根;
7.(2015云南省,7,3分) 为加快新农村试点示范建设,我省开展了“美丽乡村”的评选活动,下表是我
A .42,43. 5 B .42,42 C .31,
42 D .36,54 【答案】B 【解析】
x +x +x 3+…+x n
(1)定义:如果有n 个数x 1,x 2,x 3,„,x n ,那么x =12叫做这n
个数的平均数.
n
(2)将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列,把处在最中间的数据(或最中间两个数据的平均数) 叫做这组数据的中位数;
8.(2015云南省,8,3分) 若扇形的面积为3π,圆心角为60°,则该扇形的半径为
A .3 B .9 C .D .【答案】D
n πr 260πr 21
【解析】扇形面积为S ==lr .代入得=3π.解得r =
2360360
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分
)
9.(2015云南省,9,3分) 分解因式:3x 2-12=
. 【答案】3(x +2)(x -2)
【解析】根据公式法:a 2-b
2=(a +b )(a -b ) 即可解答.因式分解的方法:(1) 提公因式法;(2) 公式法.(3) .公因式的确定:第一,确定系数(取各项整数系数的最大公约数) ;第二,确定字母或因式底数(取各项的相同字母) ;第三,确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂) .
10.(2015云南省,10,3分) 函数y x 的取值范围是 . 【答案】x ≥7
a ≥0)叫做二次根式.所以只要a ≥0x -7≥0;解得x ≥7.
11.(2015云南省,11,3分) 如图,直线l 1∥l 2,并且被直线l 3、l 4所截,则∠a = .
l 3 °
α
l 2 l 1
【答案】64°
【解析】两直线平行,内错角相等;所以∠α=120°-56°=64°
12.(2015云南省,12,3分) 一台电视机原价是2500元,现按原价的8折出售,则购买a 台这样的电视机需要 元. 【答案】2000a
2
【解析】代数式:用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
13.(2015云南省,13,3分) 如图,点、A 、B 、C 是⊙O 上的点,OA =AB ,则∠C 的度数为 .
【解析】OA =AB 可知证明△ABO 是等边三角形,所以∠AOB =60°,在同圆中同弧所对的圆周角等于所
1
对圆心角的一半.所以∠ACB =∠AOB =30°.
2
14.(2015云南省,14,3分) 如图,在△ABC 中,BC =1,点P 1、M 1分别是AB 、AC 边的中点,点P 2、M 2分别是AP 1、AM 1的中点,点P 3、M 3分别是AP 2、AM 2的中点,按这样的规律下去,P n M n 的长为 (n 为正整数) .
A
A
P P M 1
P P 2 1
P P M 3 2
1
„„
B C B
图1
C
B
图2
C B
图3
C
【答案】
1 2n
2
3
11⎛1⎫⎛1⎫
【解析】考察的是中位线定理,BC =1,所以P 1M 1=;P 2M 2= ⎪;P 3M 3= ⎪;„„所以P n M n =n .
22⎝2⎭⎝2⎭
三、解答题(本大题共9个小题,满分58分)
⎡x +21⎤x
15.(2015云南省,15,5分) (本小题5分) 化简求值:⎢其中x 1. -⎥x x -1x -1x -1⎢⎥⎣⎦
【答案】
x +2-x x
解:原式=
x x -1x -1==
2x
x x -1x -1
2
(x -1)
2
当x 1.
2
原式=
1-1
)
2
=
2
2
=1
【解析】先异分母分式相加减,找最简公分母,分子相加减.最后约分.代入值计算.
16.(2015云南省,16,5分) (本小题5分) 如图,∠B =∠D ,请添加一个条件(不得添加辅助线) ,使得△
3
ABC ≌△ADC ,并说明理由.
A
D
【答案】答案不唯一.如: 解:加∠BAC =∠DAC ; 证明:在△ABC 和△ADC , ⎧∠B =∠D ⎪
⎨∠BAC =∠DAC ⎪AC =AC ⎩
∴△ABC ≌△DC (AAS)
【解析】有一边和一个角对应相等,可以有:(SAS) (ASA) (AAS)来证明全等. 判定三角形全等的方法:
边角边(SAS):有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 角边角(ASA):有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 角角边(AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.
HL 公理:两直角三角形中斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
17.(2015云南省,17,7分) (本小题7分) 为有效开展阳光体育活动,云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛,每场比赛都要决出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.已知九年级一班在8场比赛中得到13分,问九年级一班胜、负场数分别是多少? 【答案】
解:设九年级一班胜x 场,则负(8-x ) 场,根据题意得 2x +(8-x ) =13 解之得x =4
负:8-x =8-4=4
答:九年级一班胜4场,负4场.
【解析】此题比较简单,胜场的分数加负场的分数等于总分13分即可求解.
18.(2015云南省,18,5分) (本小题5分) 已知A 、B 两地相距200千米,一辆汽车以每小时60千米的速度从A 地匀速驶往B 地,到达B 地后不再行驶.设汽车行驶的时间为x 小时,汽车与B 地的距离为y 千米. (1) 求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2) 当汽车行驶了2小时时,求汽车距地有多少千米? 【答案】
10
解:(1)根据题意得:y =200-60x (0≤x ≤)
3
(2)当x =2时 y =200-60×2 =80
则当汽车行驶了2小时时,求汽车距地有80千米.
【解析】(1)根据总路程-所走路程=汽车与B 地的距离.得:y =200-60x 而时间从0开始,走到B 地
10
为止.所以是0≤x ≤.
3
(2)当x =2时,代入y =200-60x 即可计算得y =80.
19.(2015云南省,19,6分) (本小题6分) 为解决江北学校学生上学过河难的问题,乡政府决定修建一座
C
4
桥.建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离) .在测量时,选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端,在河岸点A 处,测得∠CAB =30°,沿河岸AB 前行30米后到达B 处,在B 处测得∠CBA =60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度.(
1. 41
1. 73;结果保留整数)
M
A B
【答案】
解:过点C 作CD ⊥AB ,垂足为D , ∵∠CAB =30°,
∴AD
∵∠CBA =60°.
∴DB
CD
∵AB =AD +DB =30
CD =30
15
∴CD
×1. 73≈13
2所以河的宽度为13米.
【解析】过点C 作CD ⊥AB ,垂足为D ,就有了两个直角三角形,知道直角三角形的一个锐角,就可以得到边与边的关系,CD 与AD ;CD 与BC ;转换为AB 即可.
20.(2015云南省,20,7分) (本小题7分) 现有一个六面分别标有数字1,2,3,4,5,6且质地均匀的正
方体骰子,另有三张正面分别标有数字1,2,3的卡片(卡片除数字外,其它都相同) .先由小明投骰子一次,记下骰子向上一面出现的数字,然后由小王从三张背面朝上放置桌面上 的卡片中随机抽取一张,记下卡片上的数字.
(1) 请用列表或画树形图(树状图) 的方法,求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率; (2) 小明和小王做游戏,约定游戏规则如下:若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7,则
小明贏;若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7,则小王赢.问小明和小王谁赢的可能性更大?请说明理由. 【答案】
1 2 3 1 2 3 1 2 3 积 1 2 3 2 4 6 3 6 9 4 8 12 5 10 15 6 12 18
有表(树状图) 可知,骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积有18种,并且他们出现的可能性相等.
A
B
5
(1) 出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6(记为事件A ) 的结果有3种.即:(2,3) ;(3,2) ;
31
(6,1) ,所以:P (A ) ==.
186
(2) 骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7(记为事件B ) ,的结果有7种.即:(3,3) ;(4,
7
2) ;(4,3) ;(5,2) ;(5,3) ;(6,2) ;(6,3) ,所以P (B ) =.
18
骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7(记为事件C ) ,的结果有11种.即:(1,1) ;(1,2) ;
11
(1,3) ;(2,1) ;(2,2) ;(2,3) ;(3,1) ;(3,2) ;(4,1) ;(5,1) ;(6,1) ,所以P (C ) =.
18
因为P (B ) <P (C ) .所以小王赢的可能性更大.
【解析】列表或者画树状图可知总的有18中等可能结果,再找到每个事件出现的等可能结果数,求出比值即是概率.
21.(2015云南省,21,7分) (本小题7分)2015年某省为加快建设综合交通体系,对铁路、公路、机场三
个重大项目加大了建设资金的投入.
(1) 机场建设项目中所有6个机场投入的建设资金金额统计如下图,已知机场E 投入的建设资金金额是机
场C 、D 所投入建设资金金额之和的三分之二,求机场E 投入的建设资金金额是多少亿元?并补全条形统计图.
6个机场投入建设资金金额条形码统计图 资金金额
(2) 将铁路、公路、机场三项建设所投入的资金金额绘制成如下扇形统计图以及统计表,根据扇形统计图
及统计表中的信息,求得a = ;b = ;c = ;d = ;m = .(请直
解:(1)C 金额为2亿元、D 金额为4亿元;而机场E 投入的建设资金金额是机场C 、D 所投入建设资金金
2
额之和的三分之二,所以机场E 投入的建设资金金额为6×=4亿元.
3
补全条形图如图所示:
6
6个机场投入建设资金金额条形码统计图 资金金额
(2) a=170;b =30;c =60%;d =122. 4;m =500.
【解析】解题时要充分利用数形结合,能正确读图与识图是解决问题的关键.要注意条形统计图能显示某项的具体数量,而统计表显示各项所占的百分比的大小,统计表中所有百分数之和为1,某项的具体数量除以其所占的百分比即可得到总体的数量.从统计图中获取信息时,应认真观察图形,并联系所给图形及数据之间关系,整理获取的数据,将其带入相关公式进行计算,分析所得结果,并做出合理、科学、有效的决策.还有所有圆心角之和为360°.
22.(2015云南省,22,7分) (本小题7分) 如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =6.M ,N 分别是AB 、CD 边的中点,P 是AD 上的点,∠PNB =3∠CBN . (1) 求证:∠PNM =2∠CBN . (2) 求线段AP 的长.
A
C
【答案】
(1) 证明:∵M ,N 分别是AB 、CD 边的中点, ∴MN ∥BC
∴∠MNB =∠NBC ∵∠PNB =3∠CBN .
∴∠PNB -∠MNB =3∠CBN -∠NBC . 即:∠PNM =2∠CBN .
A
C
(2) 解:连接AN ,
∵M ,N 分别是AB 、CD 边的中点,AB =4, ∴∠MNB =∠NBC =∠ANM =∠NAD ,DN =2 ∵∠PNM =2∠CBN . ∴∠DAN =∠PNA ∴AP =PN ∵AD =6.
7
∴AP =PN =6-PD 即PD =6-PN 在Rt △PDN 中 PD 2+DN 2=PN 2
∴(6-PN ) 2+22=PN 2
10
∴AP =PN =.
3
【解析】(1) 有中点得到平行,进而得到两直线平行,内错角相等即可证明.
(2) 下边矩形对角线,想到上边矩形对角线,角相等关系一找到,就可以把边的关系转化到直角三角形中,利用勾股定理即可求解.
23.(2015云南省,23,9分) (本小题9分) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与;
与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,直线;y =kx +n (k ≠0) 经过B 、C 两点.已知A (1,0) ,C (0,3) ,且BC =5.
(1) 分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式) ;
(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使得以B 、C 、P 三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请
求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵C (0,3) , ∴OC =3 ∵BC =5,
∴OB 4 ∴B (4,0)
把C (0,3) ,B (4,0) 代入y =kx +n .得:
⎧n =3
⎧n =3⎪
解得:⎨⎨3
4k +n =0k =-⎩⎪⎩4
3
∴y =-x +3.
4
把A (1,0) ,B (4,0) ,C (0,3) 代入y =ax 2+bx +c .得:
3⎧a =⎪4⎧a +b +c =0⎪
15⎪⎪
⎨16a +4b +c =0解得:⎨b =-
4⎪c =3⎪
⎩⎪c =3
⎪⎩
315
∴y =x 2-x +3.
44
8
(2)存在 ∵抛物线y =
即F (
32155
x -x +3的对称轴为x =.E 为对称轴与直线BC 的交点,F 为对称轴与x 轴的交点,442
5
,0) 255
∴可设P (,y 1) ;E (,y 2)
22539把E (,y 2) 代入y =-x +3.得y 2=.
24859∴E (,)
289
∴EF =
8
∵△BEF ∽△BCO EF BE ∴= OC BC
15
∴BE =
825
∴CE =
8
如图有三种情况:
①以点C 为直角顶点的P 1;
②以点P 为直角顶点的P 2,P 3;(即以BC 的中点N 为圆心,BC 为直径画圆,与对称轴交于P 2,P 3) ③以点B 为直角顶点的P 4; ①∵△BEF ∽△P 1EC
BE EF
∴=
EP EC 1159
即:8=
EP 18125EP 1=
2419
∴FP 1=
3519∴P 1(,) ;
233
②N (2,)
2
1
∵NP 2=NP 3=BC
2222
3⎫⎛5⎫⎛5⎫⎛
∴ -2⎪+ y -⎪= ⎪
2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝15
化简:y -3y -=0
4
3
y =2
5353
∴P 2(,;P 3(,;
22
22
③∵△BEF ∽△P 4EB
9
BE EF = EP 4EB
159
即:8=
EP 4825EP 4=
8
∴FP 4=2
5
∴P 4(,-2) ;
∴
先求出B 点的坐标,即可求出直线BC 和抛物线的解析式.
(2)分别以三个顶点为直角顶点,分别考虑.用到三角形相似的相关知识,还有两点间的距离公式,学生可从直角三角形中的勾股定理来理解.
10