导数及其应用高考题精选(含答案)
导数及其应用高考题精选
1. (2010 ·海南高考·理科T3)曲线y =程为( )
(A )y =2x +1 (B )y =2x -1 (C )y =-2x -3 (D )y =-2x -2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A. 因为 y '=率k =y '
x =-1=
x
在点(-1, -1)处的切线方x +2
2
,所以,在点(-1, -1)处的切线斜(x +2) 2
2
=2,y +1=2(x +1) ,y =2x +1,所以,切线方程为即2
(-1+2)
故选A.
2. (2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润y (单位:
3
万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y =-x +81x -234,
13
则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) (A) 13万件 (B) 11万件 (C) 9万件 (D) 7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值.
【规范解答】选C ,y ' =-x 2+81, 令y '=0得x =9或x =-9(舍去),当x 0;当x >9时y '
选C.
3. (2010·山东高考理科·T7)由曲线y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( ) (A )
1 12
2
3
(B)
1 4
(C)
1 3
(D)
7 12
【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积, 考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线y=x 2,y=x 3的交点坐标,再利用定积分求面积.
【规范解答】选A, 由题意得: 曲线y=x 2,y=x 3的交点坐标为(0,0),
1
, 故选A. 12
4
4. (2010·辽宁高考理科·T10)已知点P 在曲线y=x 上,α为
e +1
23
⨯1-⨯1=((1,1),故所求封闭图形的面积为⎰10x -x )dx=
1314
曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) (A)[0,) (B)[, ) (,
2
π4ππ42
π3π
4
] (D) [
3π
, π) 4
【命题立意】本题考查了导数的几何意义,考查了基本等式,函数的值域,直线的倾斜角与斜率。
【思路点拨】先求导数的值域,即tan α的范围,再根据正切函数的性质求α的范围。 【规范解答】选D.
y =
4, x
e +1-4e x -4e x -4∴y ' =x ==≥=-1
(e +1) 2(e x ) 2+2e x +1e x +1+2x
e 1
当且仅当e x =x ,即x =0时“=”成立。
e
又y '
设倾斜角为α,则-1≤tan α
3π
≤α
4
5. (2010·湖南高考理科·T4)⎰2等于( )
A 、-2ln 2 B 、2ln 2 C 、-ln 2 D 、ln 2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
1
【思路点拨】记住的原函数.
x 41
【规范解答】选D .⎰2=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
x
1x
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6. (2010·江苏高考·T8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak ,a k 2) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1, 其中k ∈N *,若a 1=16,则a 1+a3+a5的值是________
【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率,然后求得切线方程,再由y =0,即可求得切线与x 轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x>0)得,y '=2x ,
2
y -a =2a k (x -a k ), k 所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为:
当y =0时,解得x =所以a k +1=
a k
, 2
a k
, a 1+a 3+a 5=16+4+1=21. 2
【答案】21
7. (2010·江苏高考·T14)将边长为1m 正三角形薄片沿一条平
2
(梯形的周长)
, 则行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S =
梯形的面积
S 的最小值是____ ____。
【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用,以及等价转化思想。
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x ,然后用x 分别表示梯形的周长和面积,从而将S 用x 表示,利用函数的观点解决. 【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x ,
2(3-x ) 2
S ==(0
则:1-x
方法一:利用导数的方法求最小值。
(3-x ) 2(2x -6) ⋅(1-x 2) -(3-x ) 2⋅(-2x )
S (x ) =S '(x ) = 2,(1-
x 2) 21-
x (2x -6) ⋅(1-x 2) -(3-x ) 2⋅(-2x ) -2(3x -1)(x -3) == 2222
(1-x ) (1-x ) 1
S '(x ) =0,0
3
11
'S (x ) 0, 递增; 当时,递减;当
33
故当x =
1时,S
的最小值是。 33
方法二:利用函数的方法求最小值
t 21
111S =2=令3-x =t , t ∈(2,3),∈
(, ) ,则:-t +6t -8-8+6-1 t 32
t 2t 131=, x =故当时,S
。
t 83 【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一,高考不但在填空题中考查,还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段,常见的求函数的最值的常用方法有:换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。
8. (2010·陕西高考理科·T13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x,y ), 则点M 取自阴影部分的概率为 ;
【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算,属送分题。 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可
【规范解答】阴影部分的面积为S 阴影=⎰03x 2dx =x 30=1. 所以点M 取自阴影部分的概率为P =
1
答案:
3
1
S 阴影11
== S 长方形3⨯13
9.(2010 ·海南高考·理科T13)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函
数,且恒有0≤f(x) ≤1, 可以用随机模拟方法近似计算积分⎰0f (x ) dx , 先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1, x 2„, x N 和
y 1, y 2„, y N , 由此得到N 个点(x i , y i ) (i=1,2,„,N ), 在数出其中满足y 1≤f (x 1) ((i=1,2,„,N ))的点数N 1,那么由随机模拟方法可得积分
1
⎰
1
f (x ) dx 的近似值为 .
【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.
【思路点拨】由随机模拟想到几何概型,然后结合定积分的几何意义进行求解.
【规范解答】由题意可知,x , y 所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形,而满足y i ≤f (x i ) 的点(x i , y i ) 落在y=f(x)、y =0以及x =1、
x =0围成的区域内,由几何概型的计算公式可知⎰f (x ) dx 的近似值为
01
N 1
. N
答案:
N 1
N
2
k
10. (2010·北京高考理科·T18)已知函数f (x )=In(1+x )-x +x 2,
(k ≥0) 。
(Ⅰ) 当k =2时,求曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ) 求f (x ) 的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用,考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】(1)求出f '(1),再代入点斜式方程即可得到切线方程;(2)由k 讨论f '(x ) 的正负,从而确定单调区间。
【规范解答】(I )当k =2时,f (x ) =ln(1+x ) -x +x 2,f '(x ) = 由于f (1)=ln 2,f '(1)=,
所以曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程为 y -ln 2=(x -1)
-2=3 即 3x -2y +2l n
1x (kx +k -1)
-1+kx =,x ∈(-1, +∞) . 1+x 1+x
x
f '(x ) =-k =0. 当时,
1+x
32
32
1
-1+2x 1+x
(II )f '(x ) =
所以,在区间(-1,0) 上,f '(x ) >0;在区间(0,+∞) 上,f '(x )
1-k
1-k )
x =0x =>0 当0
k
1+x 1-k 1-k
f '(x )>0;f '(x )
k k
1-k 1-k
f (x ) (-1,0) (, +∞) (0,) . 故的单调递增区间是和,单调递减区间是
k k
kx (x -
x 2
当k =1时,f '(x ) =1+x
故f (x ) 的单调递增区间是(-1, +∞) .
1-k
1-k )
x =∈(-1,0) ,x 2=0. k >1当时,f '(x ) ==0,得1
k
1+x 1-k 1-k
) 和(0,+∞) 上,f '(x ) >0;,0) 上,f '(x )
1-k 1-k
) 和(0,+∞) ,单调递减区间是(,0) 故f (x ) 得单调递增区间是(-1, k k
kx (x -
【方法技巧】
(1)y =f (x ) 过(x 0, f (x 0)) 的切线方程为y -f (x 0) =f '(x 0)(x -x 0) 。 (2)求单调区间时要在定义域内讨论f '(x ) 内的正负。
11. (2010·安徽高考文科·T20)设函数f (x )=sin x -cos x +x +1,
0
【命题立意】
本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查考生运算能
力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。 【思路点拨】
对函数f (x ) 求导,分析导数f '(x ) 的符号情况,从而确定f (x ) 的单调区间和极值。 【规范解答】
解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0
(x +)
4
π
π3π
令f '(x )=0,从面sin (x +)=x=π,或x=,
42
当x 变化时,f '(x ) ,f(x)变化情况如下表:
x
(0, π) π
⎛3π π,
2⎝⎫3π
⎪ 2⎭⎛3π⎫
, 2π ⎪ ⎝2⎭
f '(x ) + -
0 极小
+
极大
f (x )
值 值
3π3π,2π),单调递减区间是(π) 22
因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,π)与(极小值为f(
3π3π
)=,极大值为f(π)=π+2 22
【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法,
简单易行,具体操作流程如下: (1)求导数f ' (x ) ;
(2)求方程f ' (x ) =0的全部实根;
(3)列表,检查f ' (x ) 在方程f ' (x ) =0的根左、右的值的符号; (4)判断单调区间和极值。
12. (2010·北京高考文科·T18) 设定函数f (x ) =
(a >0) ,且方程f ' (x ) -9x =0的两个根分别为1,4。
a 3
x +bx 2+cx +d ,(a 0) 3
(Ⅰ)当a=3且曲线y =f (x ) 过原点时,求f (x ) 的解析式; (Ⅱ)若f (x ) 在(-∞, +∞) 无极值点,求a 的取值范围。
【命题立意】本题考查了导数的求法,函数的极值,二次函数等知识。
【思路点拨】(1)由f ' (x ) -9x =0的两个根及y =f (x ) 过原点,列出三个方程可解出b , c , d ;(2)f '(x ) 是开口向上的二次函数,f (x ) 无极值点,则f '(x ) ≥0恒成立。
32
【规范解答】由f (x ) =x +bx +cx +d 得 f '(x ) =ax 2+2bx +c
a 3
a x +2b +x -c 9的=x 0两个根分别为1,4,所以因为f '(x ) -9x =2
⎧a +2b +c -9=0
(*) ⎨
16a +8b +c -36=0⎩
⎧2b +c -6=0
a =3 (Ⅰ)当时,(*)式为⎨
8b +c +12=0⎩
解得b =-3, c =12
又因为曲线y =f (x ) 过原点,所以d =0 故f (x ) =x 3-3x 2+12x
32
(Ⅱ)由于a>0,所以“f (x ) =x +bx +cx +d 在(-∞,+∞)内无极值
a 3
点”等价于“f '(x ) =ax 2+2bx +c ≥0在(-∞,+∞)内恒成立”。 由(*)式得2b =9-5a , c =4a 。 又∆=(2b ) 2-4ac =9(a -1)(a -9)
⎧a >0
得a ∈[1,9] 解⎨
⎩∆=9(a -1)(a -9) ≤0
即a 的取值范围[1,9]
【方法技巧】(1)当f '(x ) 在x 0的左侧为正,右侧为负时,x 0为极大值点;当f '(x ) 在x 0的左侧为负,右侧为正时,x 0为极小值点 (2)二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。
⎧a >0⎧a
∆
2
13. (2010·安徽高考理科·T17)设a 为实数,函数
f (x )=e x -2x +2a , x ∈R 。
(1)求f (x )的单调区间与极值;
(2)求证:当a >ln 2-1且x >0时,e x >x 2-2ax +1。
【命题立意】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式,考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。 【思路点拨】
(1)先分析f (x ) 的导数f '(x ) 的符号情况,从而确定f (x ) 的单调区间和极值;
(2) 设g (x ) =e x -x 2+2ax -1,把问题转化为:求证:当a >ln 2-1且x >0
时,g (x ) >0。
【规范解答】(1) f (x ) =e x -2x +2a ,∴f '(x ) =e x -2
令f '(x ) =0,得x =ln 2,
∴f (x ) 在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2, +∞)上单调递增;
当x =ln 2时,f (x ) 取得极小值为2-2ln 2+2a
(2)设g (x ) =e x -x 2+2ax -1,∴g '(x ) =e x -2x +2a =f (x )
由(1)问可知,g '(x ) ≥2-2ln 2+2a 恒成立,
当a >ln 2-1时,则g '(x ) >0恒成立,所以g (x ) 在R 上单调递增, 所以当x >0时,g (x ) >g (0)=0,
即当a >ln 2-1且x >0时,e x >x 2-2ax +1。
【方法技巧】
1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法,简单易行;
2、证明函数不等式问题,如证f 1(x ) >f 2(x ) ,通常令g (x ) =f 1(x ) -f 2(x ) ,转化为证明:g (x ) >0。
14. (2010·天津高考文科·T20)已知函数f (x )=ax 3-x 2+1(x ∈R ) ,其中a>0.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x )在点(2,f (2))处的切线方程; 32
⎡⎤(Ⅱ)若在区间⎢-, ⎥上,f (x )>0恒成立,求a 的取值范围. ⎣22⎦11
【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。
【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。
【规范解答】
32(Ⅰ)当a=1时,f (x )=x -x +1,f (2)=3;f ’(x)=3x 2-3x , f’(2)=6.3
2
所以曲线y=f(x )在点(2,f (2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(Ⅱ)f ’(x)=3ax 2-3x =3x (ax -1) . 令f ’(x)=0,解得x=0或x=. 以下分两种情况讨论: 110
,则≥,当x 变化时,f ’(x),f (x )的变化情况如下表: 若1a
1⎧5-a ⎧>0, f (-) >0, ⎪⎪11⎪⎪8⎡⎤2即⎨ 当x ∈⎢-⎥时,f (x )>0等价于⎨ 15+a ⎣22⎦⎪f () >0, ⎪>0. ⎪⎪⎩2⎩8
解不等式组得-5
若a>2,则0
11
⎧5-a ⎧1>0,f(-) >0,⎪⎪⎪2⎪8⎡11⎤ 当x ∈⎢-⎥时,f (x )>0等价于⎨1即⎨122⎣⎦⎪f()>0,⎪1->0.⎪⎪⎩a ⎩2a 2
解不等式组得. 因此2
综合(1)和(2),可知a 的取值范围为0