函数的奇偶性与周期性教案
函数的性质
周期性
(1)周期函数:对于函数y =f (x ) ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T ) =f (x ) ,那么就称函数y =f (x ) 为周期函数,称T 为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f (x ) 就叫做f (x ) 的最小正周期. 注意:
周期为T =2a ;
b |.
例一:►已知函数f (x ) 是(-∞,+∞) 上的奇函数,且f (x ) 的图象关于x =1对称,当x ∈[0,1]
时,f (x ) =2x -1,
(1)求证:f (x ) 是周期函数; (2)当x ∈[1,2]时,求f (x ) 的解析式; (3)计算f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2013)的值.
变式训练: 已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数,g (x ) 是定义在R 上的奇函数,且g (x ) =f (x -1) ,则f (2 013)+f (2 015)的值为( ) . A .-1 B .1 C .0 D .无法计算
f (x +a ) =-,那么函数f (x ) 是周期函数,其中一个
例二:►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟) 设f (x ) 是(-∞,+∞) 上的奇函数,f (x +2) =-f (x ) ,当0≤x ≤1时,f (x ) =x . (1)求f (π)的值;
(2)当-4≤x ≤4时,求f (x ) 的图象与x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞) 内函数f (x ) 的单调增(或减) 区间.
变式训练: 已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x -4) =-f (x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,则( ) .
A .f (-25) <f (11)<f (80) C .f (11)<f (80)<f (-25)
函数的基本性质--综合训练
一、选择题
1.下列判断正确的是( )
x 2-2x A .函数f (x ) =是奇函数 B
.函数f (x ) =(1-x 是偶函数
x -2B .f (80)<f (11)<f (-25) D .f (-25) <f (80)<f (11)
C
.函数f (x ) =x D .函数f (x ) =1既是奇函数又是偶函数
2.若函数f (x ) =4x 2-kx -8在[5,8]上是单调函数,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,40] B .[40,64] C .(-∞,40] [64, +∞) D .[64, +∞)
3
.函数y )
(](]C .2, +∞) D .[0, +∞)
A .-∞, 2 B .0, 2
4.已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞, 4]上是减函数, 则实数a 的取值范围是( )
A .a ≤-3 B .a ≥-3 C .a ≤5 D .a ≥3
5.下列四个命题:(1)函数f (x ) 在x >0时是增函数,x 0;(3) y =x 2-2x -3的递增区间为[1, +∞);(4) y =1+
x 和y =
其中正确命题的个数是( )
A .0 B .1 C .2 D .3
6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( )
1.函数f (x ) =x 2-x 的单调递减区间是____________________。
2.已知定
义在R 上的奇函数f (x ) ,当x >0时,f (x )
=x 2+|x |-1,那么x
3.若函数f (x ) =
x +a
在[-1,1]上是奇函数, 则f (x ) 的解析式为________. 2
x +bx +1
4.奇函数f (x ) 在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则
2f (-6) +f (-3) =__________。
5.若函数f (x ) =(k 2-3k +2) x +b 在R 上是减函数,则k 的取值范围为__________。 三、解答题
1.判断下列函数的奇偶性(1
)f (x ) = (2)f (x ) =0, x ∈[-6, -2] [2,6]
2.已知函数y =f (x ) 的定义域为R ,且对任意a , b ∈R ,都有f (a +b ) =f (a ) +f (b ) ,且当x >0时,(1)函数y =f (x ) 是R 上的减函数;(2)函数y =f (x ) 是奇函数。 f (x )
3.设函数f (x ) 与g (x ) 的定义域是x ∈R 且x ≠±1, f (x ) 是偶函数, g (x ) 是奇函数, 且
1
f (x ) +g (x ) =, 求f (x ) 和g (x ) 的解析式.
x -1
4.设a 为实数,函数f (x ) =x 2+|x -a |+1,x ∈R (1)讨论f (x ) 的奇偶性; (2)求f (x ) 的最小值。
参考答案
一、选择题
1. C 选项A 中的x ≠2, 而x =-2有意义,非关于原点对称,选项B 中的x ≠1, 而x =-1有意义,非关于原点对称,选项D 中的函数仅为偶函数;
k k k
2. C 对称轴x =,则≤5,或≥8,得k ≤40,或k ≥64
8883. B
y =
x ≥1, y 是x
的减函数,当x =1, y =
1;(2)不一定a >0,开口向下也可;(3)画出图象 x
可知,递增区间有[-1,0]和[1, +∞);(4)对应法则不同
6. B 刚刚开始时,离学校最远,取最大值,先跑步,图象下降得快!
二、填空题
11
1. (-∞, -],[0,] 画出图象
222. -x 2-x +1 (设x 0,f (-x ) =x 2+x -1,
∵f (-x ) =-f (x ) ∴-f (x ) =x 2+x -1, f (x ) =-x 2-x +1)
3. f (x ) =
x a
f (-0) =-f (0),f (0)=0, =0, a =0 f (-x ) =-f (x ) ( ∵∴2
x +11
x -11
, f (-1) =-f (1),=-, b =0) 即f (x ) =2
x +bx +12-b 2+b
4. -15 (f (x ) 在区间[3,6]上也为递增函数,即f (6)=8, f (3)=-1
2f (-6) +f (-3) =-2f (6)-f (3)=-15) 5. (1,2) (k 2-3k +2
1.解:(1)定义域为[-1,0) (0,1],则x +2-2=
x ,f (x ) =
x
∵f (-x ) =-
f (x ) ∴f (x ) =为奇函数。
x
(2)∵f (-x ) =-f (x ) 且f (-x ) =f (x ) ∴f (x ) 既是奇函数又是偶函数。
2.证明:(1)设x 1>x 2,则x 1-x 2>0,而f (a +b ) =f (a ) +f (b )
∴f (x 1) =f (x 1-x 2+x 2) =f (x 1-x 2) +f (x 2)
∴函数y =f (x ) 是R 上的减函数;
(2)由f (a +b ) =f (a ) +f (b ) 得f (x -x ) =f (x ) +f (-x ) 即f (x ) +f (-x ) =f (0),而f (0)=0
∴f (-x ) =-f (x ) ,即函数y =f (x ) 是奇函数。
3.解:∵f (x ) 是偶函数, g (x ) 是奇函数,∴f (-x ) =f (x ) ,且g (-x ) =-g (x )
11, 得f (-x ) +g (-x ) =, x -1-x -111
=-即f (x ) -g (x ) =, -x -1x +11x
∴f (x ) =2,g (x ) =2。
x -1x -1
而f (x ) +g (x ) =
4.解:(1)当a =0时,f (x ) =x 2+|x |+1为偶函数,
当a ≠0时,f (x ) =x 2+|x -a |+1为非奇非偶函数;
13
(2)当x
24
113
当a >时,f (x ) min =f () =a +,
2241
当a ≤时,f (x ) min 不存在;
2
13
当x ≥a 时,f (x ) =x 2+x -a +1=(x +) 2-a +,
24
1
当a >-时,f (x ) =f (a ) =2a +,1 m i n
2113
当a ≤-时,f (x ) min =f (-) =-a +。
224