周期性与对称性

周期性与对称性

1．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -2)=f (x +2)，且当x ∈-2,0时，f (x )=3-1，则f (9)=（） x []

A. -2 B. 2

C.

D. 22．设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )=x -

x

A.

B.

C.

D. 3

f (-4)=

（）．

A.

B.

C.

D. 4．已知定义在R 上f(x)满足f(x＋2) ＝f(x)，且f(0)=8,则f(10)＝( )

A ．10 B．-6C ．8D ．9

5．已知定义在R上的奇函数，f(x) 满足f(x+2) =−f(x) ，则f(8)的值为（）

A. −1 B. 0 C. 1 D. 2

6．若函数y=f(x) 是定义在R上的周期为2的奇函数，则f(2017)=（）

A. -2017 B. 0 C. 1 D. 2017

7．奇函数f(x) 的定义域为R. 若f(x+3) 为偶函数，且f(1)=1，则f(6)+f(11)=（）

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 8．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (8)的值为__________．

9．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (2+x )=f (2-x )，当x ∈0, 2

__________．

10．已知f (x

) 是定义在实数集R

[]时，f (x )=x 2-2x ，则f (-5)= 则f (2007)=__________．

11．已知f(x) 是定义域为R的偶函数，且f(2+x) =f(2−x) ，当x∈[0,2]时，f(x) =x2−2x，则f(−5) =__________．

12．已知定义在R 上的函数f (x ) 满足f(x) =−f(x+2) ，且f (1)＝2，f (2)＝3， 3

则f (2017)＝________.

-4x 2+2, -1≤x

0, 13．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[-1,1)时，f (x )={x , 0≤x

____________.

1

参考答案

1．D

【解析】由f (x -2)=f (x +2)得函数是周期为4的周期函数，且为奇函数，故

2．C

【解析】解：由题意可知： 本题选择C 选项.

3．A

故选A. 4．C

【解析】∵义在R 上f(x)满足f(x＋2) ＝f(x)，

∴T=2，

∴f(10)＝f(0)=8,

5．B

【解析】由f x =−f x+2 =− −f x+4 =f(x+4) .

所以f x 是周期为4的函数.

f 8 =f(0).

又f(x) 在R上的奇函数，所以f 0 =0.

故选B.

6．B

【解析】因为周期为2，所以f(−1) =f(1)=−f(1)，所以f(1)=0，而f(2017)=f(1+2×1008) =f(1)=0，故选B.

7．B

【解析】由f(x) 为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，又f(x+3) 为偶函数，则f(−x+3) =f(x+3) ，f(6)=f(3+

3) =f(−3+3) =f(0)=0，f(11)=f(−8+3) =f(−5) =−f(5)=−[f(−2+3)]=−f(1)=−1，所以f(6)+f(11)=−1，故选B.

8．0

【解析】由f (x )为奇函数, 得f (-0)=-f (0)，所以f (0)=0，由f (x +2)=-(f )x ，得f (x +4)=-f (x +2)=-⎡⎣-f (x )⎤⎦=f (x )

所以f (x ) 的周期为4，所以f (8)=? f (0)=0，

故答案为：0

9．-1

【解析】f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (2+x )=f (2-x )，f (x +4)=f ⎡⎣2-(2+x )⎤⎦=f (-x )=f (x )，f (x +4)=f (x )

2

∴函数f (x )是以4为周期的周期函数，当x ∈0,2时，f (x )=x -2x ， 2[]

则f (-5)=f (-1)=f (1)=1-2⨯1=-1，故答案为-1. 2

10．8

【解析】

由

即函数f (x ) 是以4为周期的函数

，11．-1

【解析】f(x) 是定义域为R的偶函数，且f(2+x) =f(2−x) ，f(x+4) =f[2−(2+x)]=f(−x) =f(x) ，f(x+4) =f(x)

∴函数f(x) 是以4为周期的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x) =x2−2x，

则f(−5) =f(−1) =f(1)=12−2×1=−1，故答案为−1.

12．2

【解析】由f(x) =−f(x+) ⇒T=3⇒f(2017)=f(672×3+1) =f(1)=2 2313．1

【解析】解：由题意可得：

点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a )) 的形式时，应从内到外依次求值．

当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 3