14一元一次方程及其解法
14一元一次方程及其解法
1.(2015年广州中考) 已知2是关于x 的方程x -2mx +3m =0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长,则三角形ABC 的周长为( ) A.10 B.14 C.10或14 D.8或10
【考查内容】一元二次方程;三角形三边关系;等腰三角形的性质. 【答案】B
2
【解析】将x =2代入方程x -2mx +3m =0中可得m =4,方程化简后为
2
x 2-8x +12=0,解得x 1=2, x 2=6. 因此等腰三角形的三边长分别为2,2,6(舍去) 或者
2,6,6. 因此计算可得周长为14,故选B. 2.(2015年广州中考) 解方程:5x =3(x -4). 【考查内容】解一元一次方程.
【解】原方程解得5x =3(x -4),5x =3x -12,12=3x -5x , 12=-2x ,x =-6. 3. (2015年广东深圳中考) 某商品的标价为200元,8折销售仍赚40元,则商品进价为( ) 元.
A. 140 B. 120 C. 160 D. 100 【考查内容】一元一次方程的应用. 【答案】B
【解析】设商品的进价为每件x 元,售价为每件0.8×200元,由题意,得 0.8×200-x =40,解得:x =120.故选B.
/m3).
(1)(2)在(1)的前提下,该用户5月份交水费71元,请问该用户用水多少立方米? 【考查内容】一元一次方程的应用.
【解】(1)由题意可得:10a =23,解得:a =2.3, 答:a 的值为2.3;
(2)设用户用水量为x 立方米,∵用水22立方米时,水费为:22×2.3=50.6<71,∴x >22,∴22×2.3+(x -22)×(2.3+1.1)=71,解得:x =28. 答:该用户用水28立方米.
5.(2015年泰州中考) 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件, 并以每件120元的价格销售了400件. 商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售. 请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标? 【考查内容】一元一次方程的应用.
【解】设降价x 元,则 400⨯120+100(120-x )=500⨯80⨯(1+45%) ,解得x =20. 答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.
6.(2015年无锡中考) 方程2x -1=3x +2的解为 ( )
A .x =1 B .x =-1 C .x =3 D .x =-3 【考查内容】解一元一次方程. 【答案】D
【解析】方程2x -1=3x +2,移项得:2x -3x =2+1,合并得:-x =3,解得:x =-3,故选D. 7.(2015年大连中考) 方程3x +2(1-x ) =4的解是( ) A. x =
25
B. x = C. x =2 D. x =1 56
【考查内容】解一元一次方程. 【答案】C
【解析】3x +2(1-x ) =4,去括号得:3x +2-2x =4,移项合并得:x =2. 故选C. 8.(2015年大连中考) 甲乙两人制作某种机械零件. 已知甲每小时比乙多做3个,甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等,求甲乙两人每小时各做多少个零件? 【考查内容】一元一次方程应用.
【解】设乙每小时做x 个零件, 则甲每小时做(x +3)个零件,经检验x =21是方程的解,x +3=24.
答:甲乙两人每小时各做24个和21个零件. 9.(2015年山东济南) 若代数式4x -5与A.1 B.
9684
=,解得x =21,x +3x
2x -1
的值相等,则x 的值是( ) 2
32
C. D.2 23 3
2
2x -13
8x -10=2x -1,6x =9,x =
2. 2,
【考查内容】解一元一次方程. 【答案】x =
【解析】4x -5=
10.(2015年嘉兴中考) 公元前1700年的古埃及纸草书中,记载着一个数学问题:“它的全部,
加上它的七分之一,其和等于19.”此问题中“它”的值为________. 【考查内容】一元一次方程的应用.
【答案】
133
8
1133133x =19,解得:x =,则“它”的值为,故答788
【解析】设“它”为x ,根据题意得:x +案为:
133
. 8
11. (2015年宁波中考) 宁波火车站北广场将于2015年底投入使用,计划在广场内种植A 、B
两种花木共6600棵,若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵. (1)A 、B 两种花木的数量分别是多少棵?
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木,每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵,应分别安排多少人种植A 花木和B 花木,才能确保同时完成各自的任务? 【考查内容】一元一次方程和分式方程的应用.
【解】(1)设B 种花木的数量是x 棵,则A 种花木的数量是(2x -600)棵. 根据题意,可得
=x +(2x -600)=6600,解得x =2400, 2x -600
42 0. 0
答: A 种花木的数量是4200棵,B 种花木的数量是2400棵.
(2)设安排y 人种植A 种花木,则安排(26-y )人种植B 种花木. 根据题意,得
42002400
,解得y =14. 经检验,y =14是原方程的根,且符合题=
60y 4026-y 意. 26-y =12.
答:安排14人种植A 种花木,安排12人种植B 种花木,才能确保同时完成各自的任务.
12.(2015年绍兴中考) 实验室里,水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高) ,底
面半径之比为1:2:1,用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通(即管子底端离容器底5cm) ,现三个容器中,只有甲中有水,水位高1cm ,如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水,开始注水1分钟,乙的水位上升量后,甲与乙的水位高度之差是
0.5cm.
5
cm ,则开始注入分钟的水6
第12
【考查内容】一元一次方程的应用. 【答案】
333171,, 52040
510
cm ,∴注水1分钟,丙的水位上升cm ,设开始注入t 分钟的水量后,63
【解析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高) ,底面半径之比为1:2:1,∵注水1分钟,乙的水位上升
甲与乙的水位高度之差是0.5cm ,甲与乙的水位高度之差是0.5cm 有三种情况:
53t =0.5,解得:t =; 65
59
②当甲的水位低于乙的水位时,甲的水位不变时,∵t -1=0.5,解得:t =,
56
1091035353∵=6>5,∴此时丙容器已向甲容器溢水,∵=,⨯=,即经过分钟35326242
①当乙的水位低于甲的水位时,有1-丙容器的水到达管子底部,乙的水位上升
53355⎛15⎫
cm ,∴+2⨯ t -⎪=0.5,解得:t =; 42046⎝4⎭
③当甲的水位低于乙的水位时,乙的水位到达管子底部,甲的水位上升时,∵乙的水位到达+ 5-综上所述开始注入14上海松江月考
13. 如果关于x 的方程ax -3x =4有实数根,则a 的取值范围是____________. 【考查内容】一元一次方程的根. 【答案】a ≠3
【解析】原方程可化为(a -3)x =4,移项得x =
3⎛
2⎝10151715⎫515
t =,∴5-1-2×(t -)=0.5,解得:. ÷÷2=⎪34404⎭64
333171
,,分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是0.5cm . 52040
4
,a -3有意义即为所求,即a ≠3. a -3
14上海杨浦测验
14. 下列关于x 的方程一定是一元一次方程的是( ) A.
1
-x =1 x
2
B. a +1x =b
()
C. ax =b
=3
【考查内容】一元一次方程的定义. 【答案】B
2
【解析】-x =1不是一元一次方程,故A 选项错误;a +1x =b 是一元一次方程,故B
1x
()
本选项正确;当a =0时,不是一元一次方程,故C
=3不是一元一次方程,故D 选项错误;故选B. 14浙江温州1
15. 某品牌商品,按标价九折出售,仍可获得20%的利润.若该商品标价为28元,则商品的进价为( )
A.21元 B.19.8元 C.22.4元 D.25.2元 【答案】A
【解析】设商品的进价为x 元,则有28⨯90%=x ⋅(1+20%),解得x =21,故答案为A . 16. 希望学校把捐赠的一批课外书分给某班同学,若每人3本,那么还剩75本,若每人5本,那么最后一位同学分到课外书但不足4本,则这批课外书共有 本 . 【答案】192
【解析】设某班有x 名同学,则3x +75=5x -4,解得x =
79
;3x +75=5x -3,解得2
x =39;3x +75=5x -2,解得x =
77
;因为x 取正整数,所以解得x =39,则这批课2
外书共有3⨯39+75=192(本).
17. 某轮船顺流航行的时速为30千米/时,逆流航行的时速为20千米/时,则水流的速度 为 千米/时. 【答案】5
【解析】设水流速度为x 千米/时,则有30-x =20+x ,解得x =5. 14浙江温州2
18. 写出一个解为x =2的一元一次方程: 【答案】x -2=0(答案不唯一)
【解析】答案不唯一,例如x -2=0. 14浙江温州5
19. 已知方程3x -3=2x 的解为a +2,则关于x 的方程3x -2(x -a ) =3a 的解为( )
A.1 【答案】A
【解析】由方程3x -3=2x 的解为a +2, 解得a =1, 代入3x -2(x -a ) =3a , 解得x =1故选A.
20. 某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元. 该店在“6⋅1儿童节”举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元. 若设铅笔卖出x 支,则依题意可列得的一元一次方程为( ) A. 1.2×0.8x +2×0.9(60+x )=87 B. C. 2×0.9x +1.2×0.8(60+x )=87 D. 【答案】B
【解析】若设铅笔卖出x 支,由题意可得1.2⨯0.8x +2⨯0.9(60-x )=87. 故选B. 14浙江温州5
21. 情景:试根据图中信息,解答下列问题:
1.2×0.8x +2×0.9(60-x )=87 2×0.9x +1.2×0.8(60-x )=87
B.
-1 C. -5 D.5
第24题图
(1)购买6根跳绳需12根跳绳需.
(2)小红比小明多买2根,付款时小红反而比小明少5元,你认为有这种可能吗?若有,请求出小红购买跳绳的根数;若没有请说明理由. 6=150(元) ,25×12×0.8=300×0.8=240(元). 【解】(1)25×
答:购买6根跳绳需150元,购买12根跳绳需240元.
(2)有这种可能. 设小红购买跳绳x 根,则25×0.8x =25(x -2)-5,解得x =11.故小红购买跳绳11根.
22. 已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3,点P 为数轴上一动点,其对应的数为x . (1)数轴上是否存在点P ,使点P 到点A 、点B 的距离之和为8?若存在,请求出x 的值;若不存在,说明理由;
(2)若点A 、点B 分别以3个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动,同时点P 以5个单位长度/分的速度从O 点向左运动. 当遇到A 时,点P 立即以同样的速度向右运动,当遇到B 时,点P
立即以同样的速度向左运动,并不停地往返于点A 与点B 之间,求当点A 与点B 重合时,点P 所经过的总路程是多少?
第25题图
【解】(1)当点P 在B 的右边时得 x -(-1)+x -3=8 , 解得:x =5 . 当点P 在A 的左边时得
-1-x +3-x =8,解得:x =-3. ∴x =-3或x =5 .
(2)解:设经过y 分钟点A 与点B 重合, 根据题意得: 3y =4+y 解得:y =2 ,∴5y =10. 答:点P 所经过的总路程是10个单位长度. 15安徽省宿州萧城联考
23.已知x =-3是关于x 的方程2x -a =1的解,则a 的值是( ) A. -5 B. 5 C. -7 D. 2 【考查内容】一元一次方程式的求解 【答案】C
【解析】把x =-3代入方程式2x -a =1中可得a =-7,故选C. 15安徽芜湖模拟
24. 随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器
的销量也大增,商社电器从厂家购进了A ,B 两种型号的空气净化器,已知一台A 型空气净化器的进价比一台B 型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A 型空气净化器和用6000元购进B 型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A 型空气净化器和一台B 型空气净化器的进价各为多少元?
(2)在销售过程中,A 型空气净化器因为净化能力强,嗓音小而更受消费者的欢迎。为了增大B 型空气净化器的销量,商社电器决定对B 型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B 型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出l 台,如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B 型空气净化器的售价定为多少元? 【考查内容】应用题的解法.
【解】(1)设B 型空气净化器的进价为x 元,则A 型空气净化器进价为(x +300) 元,
75006000
=, 解得:x =1200. 则B 型空气净化器进价为1200元. ∴A 型空气
x +300x
净化器进价为x +300=1500(元).
由题意
答: A 型空气净化器进价为1500元,B 型空气净化器的进价为1200元. (2)设B 型空气净化器的售价在1800元的基础上降低50a 元. 由题意:
(1800-50a -1200)(4+a ) =3200,解得a 1=a 2=4,∴B 型空气净化器的售价为
1800-50a =1600元.
答:B 型空气净化器的售价为1600元. 15广东预测(2)
25. 已知关于x 的方程2x +4=m -x 的解为负数,则m 的取值范围是( ) A. m
44
B. m > C. m 4 33
【考查内容】解一元一次方程
【答案】C
【解析】解方程可知x =15广东中考预测(三)
26. 方程2x -1=3的解是【考查内容】求解方程 【答案】x =2
【解析】原方程可化为2x =4,所以x =2.
15江苏南京建邺二模
27. 端午节期间,某食堂根据职工食用习惯,购进甲、乙两种粽子260个,其中甲种粽子花费300元,乙种粽子花费400元,已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%,乙种粽子的单价是
m -4m -4
33
多少元?甲、乙两种粽子各购买了多少个? 【考查内容】一元一次方程及其解法
【解】设乙种粽子的单价是x 元,则甲种粽子的单价为(1+20%)x 元,由题意得,
300400
解得:x =2.5,经检验:x =2.5是原分式方程的解. (1+20%)x =3,+=260,
(1+20%)x x
则买甲粽子为:
400300
=160个. =100个,乙粽子为:x (1+20%)x
答:乙种粽子的单价是2.5元,甲、乙两种粽子各购买100个、160个.
15江苏南京玄武区二模 28.小明与家人和同学一起到游泳池游泳,买了2张成人票与3张学生票,共付了155元.已知成人票的单价比学生票的单价贵15元,设学生票的单价为x 元,可得方程 . 【考查内容】一元一次方程解应用题
(x +15)=155 【答案】3x +2
【解析】由题意知,分别计算出学生票和成人票的金额分别为3x ,2(x +15) ,然后两者相
(x +15)=155. 加得到总金额155,所以方程为3x +2
15济南槐荫二模
29.已知关于x 的方程2x +a -9=0的解是x =2,则a 的值为( )
A. -7 B.7 C. -5 D.5 【考查内容】解方程. 【答案】D
【解析】把x =2代入方程得2⨯2+a -9=0,解得a =5,故选D.