浅谈二项式定理教学
二项式定理是高中代数中基本的定理之一,是继排列、组合之后的又一重要内容,也是学生学习中的难点,因此,正确地掌握其要点,是灵活运用的前提。 一、正确理解“二项展开式的通项公式” Tr+1= (r=0,1,2,……n),仅表示(a+b)n的展开式中的r+1项。 对于(a-b)n来说,其通项――第r+1项应为Tr+1=(-1) (r=0,1,2,……n)。 二、搞清二项式系数与展开式系数 第r+1项的二项式系数为 ,而第r+1项的展式系数是此项 关于某一个(或几个)字母的系数,二者不能等同。如(2- )5 展开式中第二项中二项式系数为 =5,而其展开式系数则为(-1) ×24=-80,(a+b)n展开式共有n+1项,其二项式系数最大项: 当n为奇数时, 项和 +1项二项式系数最大且相等。 当n是偶数时, +1项二项式系数最大。 例1,求(2x-3y)28展开式中第几项其二项式系数绝对值最大?第几项其展开式中系数的绝对值最大? 解:由展开式共有29项可知:其中间项第15项二项式系数的绝对值最大。 设第k+1项的展开式系数的绝对值BK+1最大,又设第K,K+2项的展开式系数的绝对值为Bk,Bk+2,则Bk≤BK+1,Bk+2≤BK+1。 代入通项公式化简得: 2K≤3(28-K+1) 3(28-K)≤2(K+1) 即K≤17.4,K≥16.4。所以,K=17。 从而可知第18项展开式系数的绝对值最大。 三、二项式(a+b)n展开式中,二项式系数间的关系。 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即可: 当n为奇数时: 当n为偶数时: 四、对于二项式定理的应用,也应做到会三用,即正用、反用、变用(代换、变形)。 例2,在( )100的展开式中,含有多少有理项? 分析:本题虽可通过直接展开来求得,但十分繁杂,利用通项公式结合产生有理项的条件来求,会使问题变得简单。 解:展开式中的通项为: Tr+1= 当 和 为整数时,T r+1才是有理数,因此,r应为5 和3的倍数,即r应是15的倍数,但r只能是0≤r≤100。在这一范围内能被15整除的数组成一个等差数列,其首项为0,公差为15,末项是90,设此数列共有n项,则: 90=0+(n-1)15,n=7即展开式中含有7个有理项。 例3,(反用)当n≥3时,求证:2n≥2(n+1)。 证明:∵2n=(1+1)n = =1+n+( )+n+1 =2(n+1)+( ) 又n≥3,(1+1)n的展开式中至少有4项,∴2n≥2(n+1)。 例4,(变用)求证: 证明:∵ ∴设x=1、a=2,得: (1+2)n= 即: 总之,二项式定理在数学中应用很广泛,教材中出现过的例题,在此就不再重复了,只要我们掌握上述要点,认真地去领会它,在解题中就会达到得心应手。