南京长江四桥缓和曲线坐标计算
我单位在南京长江第四大桥标段中
一段缓和曲线坐标的计算方法
范红波
摘要:介绍南京长江第四大桥互通立交K21+31.412~K21+453.4中一段缓和曲线的计算方法。
关键词:缓和曲线、缓和曲线长、直缓点、公式
桥梁建设中,由于受地形或地质影响,经常需要改变线路方向,为满足行车要求,往往要用曲线把两条直线连接起来。曲线的构成形式无外乎圆曲线和缓和曲线。我单位承建的南京长江第四大桥栖霞互通区内上跨京沪铁路立交桥工程,其中有第10跨和第11跨部分位于圆曲线上,其余跨位于不同曲率半径的缓和曲线上。下面笔者就介绍下该里程内缓和曲线的坐标计算的方法与注意事项。
一、公式推导
1 、实例数据
江苏省南京长江第四大桥---缓和曲线(如上图): AB 段为缓和曲线段, A 为 ZH 点, B 为 HY 点, RB=2000m ; A 点里程为 K19+888.892 ,切线方位
角为 θA=181 °26 ′42.9 ″,坐标 XA=3559699.358,YA=500526.037 ; B点里
程为K20+193.092;JD 点里程为 K20+679.402 ,坐标为 XJD=3558909.100,
YJD=500506.099,推求此曲线段内任意点坐标。
2 、公式推导及实例计算
方法一:弦线偏角法
1 )公式推导
由坐标增量的计算方法我们不难理解,求一点坐标可以根据其所在直线的方位角以及直线上另一点的坐标和距待求点的距离。所以我们可以利用 ZH 点,只要知道待求点距 ZH 点的距离(弦长 S )和此弦与 ZH 点切线方位角的夹角(转角 a ),即可求出该点坐标。
根据回旋线方程 A2=RL ,用 B 点数据推导出缓和曲线长LS:
LS=A2/R=7802*2000=304.2 ( LS 为 B 点至 ZH 点的距离)
设待求点距 ZH 点距离为 L,因回旋线上任意点的偏角 β0=L2/2RLS, 且转角 a=β0/3 ,可得该点转角 a 。(曲线左转时 a 代负值,本次为左转)
根据缓和曲线上的弧弦关系 S=L-L5/90R2LS2 ,可以求出待求点至 ZH 点的弦
长。然后我们利用坐标增量计算公式可以推导出缓和曲线任意点坐标计算公式: X=XA+S*cos ( θA+a )
Y=YA+S*sin ( θA+a )
2 )实例计算
现在我们利用此公式计算桩号为 K20+30 的坐标
第一步,求出 L=20030-19888.892=141.108 m
第二步,求出 a=180L2/6 π RLS=0 °18 ′45.09 ″
第三步,求出 S=L-L5/90R2LS2 =141.106m
第四步:将 a , S 值代入缓和曲线计算公式,可求出桩号为 K20+30 点的坐标为:
X=3559558.280 , Y=500523.248
同理,我们可求出其它桩号的坐标。
方法二:坐标转换法
1 )公式推导
首先我们建立坐标系,以 ZH 点为坐标原点,其切线方向为 X 轴,过该点的半径方向为 Y 轴(如图)。根据缓和曲线参数方程:
x=L-L40RLS
y=L3/6RLS
计算出曲线上各点在此坐标系下的坐标( x , y ),然后利用坐标转换公式:
X=XA+xcosθA-ysinθA×f
Y=YA+xsinθA+ycosθA×f
式中f为线路的转向系数,右转时f=1,左转时f=-1.将 (x,y) 代入该式,即可求出缓和曲线上各点的坐标计算公式:
X=3559699.358+ ( L-L5/40R2LS2 ) cosθA + ( L3/6RLS ) sinθA Y=500526.037+ ( L-L5/40R2LS2 ) sinθA - ( L3/6RLS ) cosθA 式中 θA=181 °26 ′42.9 ″
2 )实例计算
现利用此公式计算桩号为 K20+30 的坐标。
第一步:求出 L=20030-19888.892=141.108 m
第二步:求出该点在新坐标系下的坐标 x=141.104, y=0.770
第三步:将 L 、 x 、 y 的值代入公式可得 K20+30 的坐标为: X=3559558.280 , Y=500523.248 5/22
同理可计算出曲线上其他对应桩号的坐标:
K20+40 : X=3559548.280 , Y=500523.171 K20+50 : X=3559538.2802 , Y= 500523.119
为提高计算结果的准确性,提高工作效率和减轻计算的工作量,在实际应用中可以运用软件进行计算,大大缩短了时间和减少了失误。
二、缓和曲线逐桩坐标计算公式应用
利用以上方法计算出对应桩号的坐标值,与图纸给出的数值相比较,看两者是否一致,以达到对图纸审核的目的。在施工过程中,利用此方法可以提高工作效率和精度,在设计图纸提供的点坐标不能满足实际要求时,可以计算出任意点的坐标值来解决实际问题,此计算方法在施工放样等桥梁测设中起到一定作用。
三、结语
在南京长江第四大桥桥梁测设中运用此方法,提高了图纸复核的速度,对现场的施工放样和复核施工人员的测量资料都起到了一定的作用,通过实践验证了此方法在桥梁测设中有较强的实用价值。