函数及其表示知识点

函数及其表示

（一）知识梳理

1．映射的概念

设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射, 记作f(x).

B ∈R ，例：已知映射f :A →B , ，其中A ∈R ，对应法则f :x →y =-x 2+2x ，

对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则求k 的取值范围？（y=f(x),其中元素y 叫元素x 的象，元素x 叫元素y 的原象）

分析：（1）对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象。即k 不属于y=f(x)的值域。

（2）求y=-x2+2x的值域

（3）取值域的补集

解：y=-x2+2x,a

将x=-1代入y=-x2+2x得y=1,故值域为{y |y ≤1}

取值域的补集得k>1

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x∈A

例：函数y =f (x ) 的图象与直线x =1的公共点数目是（ ）

A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或2

分析：（1）f(x)与x=1没有交点，即f(x)与x=1没有公共点。

（2）f(x)与x=1有交点，即f(x)与x=1有公共点且有且只有一个。 （根据函数的定义，在函数中一个x 只能对应一个y ）

故选：C

(2)函数的定义域、值域

在函数y =f (x ), x ∈A 中，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； x 叫做自变量，

与x 的值相对应的y 值叫做函数值，所有函数值的集合，叫做函数的值域。 注意：当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合。

(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。（两变量的关系是一一对应）

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

⎧x +2(x ≤-1) ⎪例：f (x ) =⎨x 2(-1

⎪2x (x ≥2) ⎩

（二）考点分析

考点1：判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 例：1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） (x +3)(x -5) ⑴y 1=，y 2=x -5； x +3

⑵y 1=x +1x -1，y 2=(x +1)(x -1) ；

⑶f (x ) =x ，g (x ) =x 2；

⑷f (x ) =

F (x ) = ⑸f 1(x ) =(2x -5) 2，f 2(x ) =2x -5.

考点2：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； 例：已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).（待定系数法）

解：设f(x)=ax2+bx+c, f (0) =0, ∴f (0) =c =0, f (x ) =ax 2+bx 故f （x+1）=a(x-1)2+b(x-1)=ax2-(2a-b)x+a-b

f(x)+x+1=ax2+bx+x+1=ax2+(b+1)x+1

又因为f(x+1)=f(x)+x+1

故ax 2-(2a-b)x+a-b= ax2+(b+1)x+1

1⎧a =-⎪⎧b -2a =b +12 则有⎨解得⎨3⎩a -b =1⎪b =-2⎩

13 故f (x ) =-x 2-x 22

（2）若已知复合函数f [g (x )]的解析式，则可用换元法或配凑法； 例：已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x)

解：法一(换元法) ：令t=x+1,则 x=t-1

∴f (t ) =(t -1) 2-3(t -1) +2=t 2+5t +6

∴f (x ) =x 2+5x +6

法二（配凑法）：f(x+1)=x2-3x+2

=(x +1) 2-5(x +1) +6

令t=x+1，则有f (t ) =t 2-5t +6

故有f (x ) =x 2-5x +6

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f (x )

1f (x ) +2f () =3x ，求f (x ) f (x ) 例：已知函数满足x

1f (x ) +2f () =3x „„„„ ① 解：因为x

113代入x 得f () +2f (x ) =以x x x „„„„② 2f (x ) =-x , (x ≠0) 将①②联立得x

考点三：函数图象的平移变换

设h>0

f (x ) 向左平移h 个单位(1) y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x +h )

f (x ) 向右平移h 个单位(2) y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x -h )

口诀：左加右减

f (x ) 向上平移h 个单位（3）y =f (x ）−−−−−−−→y =f (x ) +h

f (x ) 向下平移h 个单位(4) y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x ) -h

例：为了得到函数y =f (-2x ) 的图象，可以把函数y =f (1-2x ) 的图象适当平移，

这个平移是（ ）

1个单位 2

1C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移个单位 2

1分析：平移前的“1-2x =-2(x -) ”，平移后的“-2x ”， 2

111用“x ”代替了“x -”，即x -+→x ，左移 222

故选D

考点四：求函数的定义域和值域

（1） 定义域：当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合。 A. 沿x 轴向右平移1个单位 B. 沿x 轴向右平移

例:

求函数f (x ) = 解：∵x +≠0, x +1≠0, x ≠-1，∴定义域为{x |x ≠-1}

y =0

习题：求函数

的定义域。

（2） 值域：①数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的 直观性来求函数的值域。

例如：一次函数：y=kx+b, (k ≠0) 二次函数：y=a x 2+bx+c,(a ≠0) 反比例函数：y =k (x ≠0) 指数函数：y =a x (a >0且a ≠1) x

对数函数：y =log a x (a >0且a ≠1) 对数函数：

y =x a (a 为常数）

三角函数：y =sin x , y =cos x , y =tan x

②换元法：对于形如y =ax +b ±cx +d (a , b , c ∈R , ac ≠0) 的函

数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值

域。

步骤：1、y =ax +b ±cx +d (a , b , c ∈R , ac ≠0) „„„„（1）

t 2-d 2、令t =cx +d (t ≥0) ，解得x =„„„„„（2） c

a 2ad t ±t -+b (二次函数） c c

4、利用二次函数图象或配方法求值域。 3、将（2）代入（1）得y =

例：求函数的y =2x =+-2x 的值域 1-t 2

令t =-2x (t ≥0), 则x =, 2

15∴y =-t 2+t +1=-(t -) 2+, 24 135当t =，即x =时，y max =, 无最小值。284

5⎤⎛∴函数y =2x +-2x 的值域为 -∞⎥。4⎦⎝

ax +b (a , b , c , d ∈R , ac ≠0) ，即分子分母cx +d

都是一次函数的有理函数。

ax +b (a , b , c , d ∈R , ac ≠0) 去掉分子中的 步骤：1、y =cx +d

a 1b -ad x , 得y =+⨯„„„„„„„„c c cx +d

„（1）

2、

b -ad d 令=g (x ) =y 1，则有g (x ) 不经过点（-, 0), y 1≠0cx +d c

„„„„„„„„„„（2） ③分离常数法：形如y =

3、由（1）（2）的y ≠ 例：求函数y =1-2x 的值域。 x +5a ⎧，即值域为⎨y |y ≠c ⎩a ⎫⎬ c ⎭

y =

解： 1-2x -2(x +5) +1111==-2+, x +5x +5x +5 11≠0, ∴y ≠-2, x +5

1-2x {y |y ≠-2}∴函数y =的值域为x +5