受压构件的截面承载力

第3章 受压构件的截面承载力

本章提要

受压构件是钢筋混凝土结构中的重要章节，它分为轴心受压和偏心受压（单向偏心受压构件和双向偏心受压构件）两部分。

轴心受压构件截面应力分布均匀，两种材料承受压力之和，在考虑构件稳定影响系数后，即为构件承载力计算公式。

对于配有纵筋及螺旋箍筋的柱，由于螺旋箍筋约束混凝土的横向变形，因而其承载力将会有限度的提高。

偏心受压构件因偏心距大小和受拉钢筋多少的不同，截面将有两种破坏情况，即大偏心受压（截面破坏时受拉钢筋能屈服）和小偏心受压（截面破坏时受拉钢筋不能屈服）构件。在考虑了偏心距增大系数后，根据截面力的平衡条件，即可得偏心受压构件的计算公式。

截面有对称配筋和不对称配筋两类，实用上对称配筋截面居多。无论是对称配筋或不对称配筋，计算时均应判别大、小偏心的界限，分别用其计算公式对截面进行计算。

本章学习目标：

了解轴心受压构件的受力全过程，偏心受压构件的受力工作特性；熟悉两种不同偏心受压构件的破坏特征及由此划分成的两类偏心受压构件，掌握两类偏心受压构件的判别方法；

掌握轴心受压构件、两类偏心受压构件的正截面承载力计算方法； 掌握偏心受压构件的斜截面承载力计算方法；

熟悉受压构件的构造要求。

课堂教学学时：12学时

主要教学内容：

3.1 受压构件一般构造要求

3.1.1 截面型式及尺寸

1. 截面型式

一般采用方形或矩形，有时也采用圆形或多边形。

偏心受压构件一般采用矩形截面，但为了节约混凝土和减轻柱的自重，较大尺寸的柱常常采用I形截面。拱结构的肋常做成T形截面。采用离心法制

造的柱、桩、电杆以及烟囱、水塔支筒等常用环形截面。

2. 截面尺寸：

(1) 方形或矩形截面柱

截面不宜小于300mm×300mm。为了避免矩形截面轴心受压构件长细比过大，承载力降低过多，通常取l0/b≤30，l0/h≤25。此处l0为柱的计算长度，b为矩形截面短边边长，h为长边边长。

为了施工支模方便，柱截面尺寸宜使用整数，截面尺寸≤800mm，以50mm为模数；截面尺寸＞800 mm ，以100mm 为模数。

(2) 工字形截面柱

翼缘厚度≮120mm，腹板厚度≮100mm。

3.1.2 材 料 强 度 要 求

1． 混凝土强度等级宜采用较高强度等级的混凝土。一般采用C25、C30、C35、C40，对于高层建筑的底层柱，必要时可采用高强度等级的混凝土。

2．纵向钢筋一般采用HRB400级、HRB335级和RRB400级，不宜采用高强度钢筋，这是由于它与混凝土共同受压时，不能充分发挥其高强度的作用。

3．箍筋一般采用HPB235级、HRB335级钢筋，也可采用HRB400级钢筋。

3.1.3 纵 筋

1．纵筋的配筋率

轴心受压构件、偏心受压构件全部纵筋的配筋率≮0.6％；同时，一侧钢筋的配筋率≮0.2％。

2. 轴心受压构件的纵向受力钢筋

(1) 沿截面的四周均匀放置，根数不得少于4根；

(2) 直径不宜小于12mm，通常为16～32mm。宜采用较粗的钢筋；

(3) 全部纵筋配筋率≯ 5％。

4. 偏心受压构件的纵向受力钢筋；

(1) 放置在偏心方向截面的两边；

(2) 当截面高度h≥600mm时，在侧面应设置直径为10～16mm的纵向构造钢筋，并相应地设置附加箍筋或拉筋。

5. 保护层厚度

柱内纵筋的混凝土保护层厚度对一级环境取30mm。

6．钢筋间距

(1) 净距≮50mm；

(2) 中距≯350mm（或300 mm）。

7．纵筋的连接

(1) 纵筋的连接接头宜设置在受力较小处；

(2) 可采用机械连接，也可采用焊接和搭接；

(3) 对于直径大于28mm的受拉钢筋和直径大于32mm的受压钢筋，不宜采用绑扎的搭接接头。

3.1.4 箍 筋

1．形式

为了能箍住纵筋，防止纵筋压曲，柱中箍筋应做成封闭式。

2．间距

在绑扎骨架中≯15d，在焊接骨架中≯20d(d为纵筋最小直径)，且≯400mm，亦≯截面的短边尺寸。

3．直径

(1) 箍筋直径≮d/4 ( d 为纵筋的最大直径 ), 且≮6 mm；

(2) 当纵筋配筋率超过3％时，箍筋直径≮8mm，其间距≯10d(d为纵筋最小直径)。

4．复合箍筋

如图6—1 所示：

(1) 当截面短边大于400mm，截面各边纵筋多于3 根时，应设置复合箍筋；

(2) 当截面短边不大于400mm，且纵筋不多于四根时，可不设置复合箍筋。

图 3-1 方形、矩形截面箍筋形式

5．纵筋搭接长度范围内箍筋

在纵筋搭接长度范围内，箍筋的直径不宜小于搭接钢筋直径的0.25倍；箍筋间距应加密:

(1) 当搭接钢筋为受拉时，箍筋间距≯ 5d , 且≯100mm；

(2) 当搭接钢筋为受压时，箍筋间距≯10d , 且≯200mm；

(3) 当搭接受压钢筋直径大于25mm时，应在搭接接头两个端面外100mm范围内各设置两根箍筋。

6．对于截面形状复杂的构件，不可采用具有内折角的箍筋，避免产生向外的拉力，致使折角处的混凝土破损，正确的箍筋形式见图3-2。

图 3-2 I形、L形截面箍筋形式

3.2 轴心受压构件正截面受压承载力

在工程结构设计中，以承受恒荷载为主的多层房屋的内柱及桁架的受压腹杆等构件时，可近似地按轴心受压构件计算。另外，轴心受压构件正截面承载力计算还用于偏心受压构件垂直弯矩平面的承载力验算。

一般把钢筋混凝土柱按照箍筋的作用及配置方式的不同分为两种：

(1) 配有纵向钢筋和普通箍筋的柱，简称普通箍筋柱；

(2) 配有纵筋和螺旋式（或焊接环式）箍筋的柱，简称螺旋箍筋柱。

3.2.1 轴心受压普通箍筋柱正截面受压承载力计算

最常见的轴心受压柱是普通箍筋柱，见图3-3。纵筋的作用是提高柱的承载力，减小构件的截面尺寸，防止因偶然偏心产生的破坏，改善破坏时构

件的延性和减小混凝土的徐变变形。箍筋能与纵筋形成骨架，并防止纵筋受力后外凸。

1. 受力分析和破坏形态

(1) 短柱的受力分析和破坏形态（l0/b≤8、l0/d≤7）

1) 当荷载较小时, 混凝土和钢筋都处于弹性阶段，纵筋和混凝土的压应力与荷载成正比，但钢筋的压应力比混凝土的压应力增加得快，见图3-4。

2) 随着荷载的继续增加,

柱中开始出现微细裂缝，在临近破坏荷载时，柱四周出现明显的纵向裂缝，箍筋间的纵筋发生压屈，向外凸出，混凝土被压碎，柱子即告破坏，见图3-5。

3) 纵向钢筋改善了混凝土受压破坏的脆性性质

试验表明，素混凝土棱柱体构件达到

最大压应力值时的压应变值约为0.0015～

0.002，而钢筋混凝土短柱达到应力峰值时

的压应变一般在0.0025～0.0035之间。其主

要原因是纵向钢筋起到了调整混凝土应力

的作用，使混凝土的塑性性质得到了较好

的发挥，改善了受压破坏的脆性性质。

4) 短柱的破坏特征

破坏时，一般是纵筋先达到屈服强度

(εy′=0.002)，此时可继续增加一些荷载。最

后混凝土达到极限压应变值(一般在

0.0025～0.0035)，构件破坏。—→ 表现为

“材料破坏”。

5) 柱内不宜采用高强钢筋，fyˊ最大取 410N/mm2或取 400N/mm2。 当纵向钢筋的屈服强度较高时，可能会出现钢筋没有达到屈服强度而混凝土达到了极限压应变值的情况。在计算时，以构件的压应变达到0.002为控制条件，认为此时混凝土达到了棱柱体抗压强度fc，相应的纵筋应力值σsˊ= Esεs′=2.05×105×0.002 = 410N/mm2；对于HRB400级、HRB335级、HPB235级和RRB400级热轧钢筋已达到屈服强度。而对于屈服强度或条件屈服强度大于410N／mm2的钢筋，在计算fyˊ时只能取fy＇＝410 N/mm2。

(2) 长柱的受力分析和破坏形态（l0/b≤8、l0/d≤7）

1） 初始偏心距 —→ 产生附加弯矩 —→ 侧向挠度 —→ 偏心距增加 —→ 产生二阶弯矩 —→ 侧向挠度不断增加 —→ 长细比l0/b很大时，表现为失稳破坏；

2） 长柱的破坏特征

破坏时，首先在凹侧出现纵向裂缝，

随后混凝土被压碎，纵筋被压屈向外凸出；

凸侧混凝土出现横向裂缝，侧向挠度不断

增加，柱子破坏。—→ 表现为“材料破坏”

和“失稳破坏”。

3） 稳定系数 ϕ —— 表示长柱承载

力的降低程度

试验表明，长柱的破坏荷载低于其他

条件相同的短柱破坏荷载，长细比越大，

承载能力降低越多。《混凝土设计规范》

采用稳定系数ϕ来表示长柱承载力的降低

程度，即

ϕ = Nlu / Nsu (3-1) 式中 Nlu 、Nsu —— 分别为长柱和短柱的承载力。

稳定系数ϕ值主要和构件的长细比有关。长细比是指构件的计算长度l0与其截面的回转半径i之比；对于矩形截面为l0/b（b为截面的短边尺寸）。

《混凝土设计规范》采用的ϕ值见表 3-1。 表3-1

钢筋混凝土轴心受压构件的稳定系数ϕ

l0/b

l0/i ≤8 ≤28 ϕ

1.0 0.980.810.750.700.65

2. 承载力计算公式

(1) 计算公式

N u＝0.9 ϕ(fcA＋fy＇As＇) (3-4) 式中 Nu —— 轴向压力承载力设计值；

0.9 —— 可靠度调整系数；

ϕ —— 钢筋混凝土轴心受压构件的稳定系数，见表3-1；

fc —— 混凝土的轴心抗压强度设计值；

fy＇—— 纵向钢筋的抗压强度设计值；

As＇—— 全部纵向钢筋的截面面积；

A ── 构件截面面积，当纵向钢筋配筋率ρ＞3.0％时, 式中 A 改

用（A- As＇）。

图 3-6 普通箍筋柱正截面受压承载力计算简图

(2) 柱的计算长度

1）理想支承情况构件的计算长度

两端铰支： l0＝1.0 l

两端固定：l0＝0.5 l

一端固定一端铰支：l0＝0.7 l

一端固定一端自由：l0＝2.0 l

2）实际支承情况柱的计算长度

在实际工程中，构件的支承情况并不是理想的，故《混凝土结构设计规范》对一般多层现浇钢筋混凝土框架柱的计算长度作了具体的规定:

底层柱 l0＝1.0 H

其余各层柱 l0＝1.25 H

3）层高H

底层柱 ── 基础顶面到一层楼盖顶面之间的距离；

其余层 ── 上下两层楼盖顶面之间的距离。

3.2.2 轴心受压螺旋箍筋柱的正截面受压承载力计算

1．适用情况

当柱承受很大轴心压力，并且柱截面尺寸由于建筑上及使用上的要求受到限制，若设计成普通箍筋的柱，即使提高了混凝土强度等级和增加了纵筋配筋量也不足以承受该轴心压力时，可考虑采用螺旋筋或焊接环筋以提高承载力。这种柱的截面形状一般为圆形或多边形，图3-10示出了螺旋筋柱和焊接环筋柱的构造型式。

图 3-10 螺旋筋和焊接环筋柱

2．螺旋箍筋的作用

螺旋筋柱或焊接环筋柱的配箍率高，而且不会象普通箍筋那样容易“崩出”，因而能约束核心混凝土在纵向受压时产生的横向变形，从而提高了混凝土抗压强度和变形能力。

3．螺旋箍筋柱的破坏特征

1) 螺旋筋或焊接环筋在约束核心混凝土的横向变形时产生拉应力，当它达到抗拉屈服强度时，就不再能有效地约束混凝土的横向变形，构件破坏。

2) 螺旋筋或焊接环筋外的混凝土保护层在螺旋筋或焊接环筋受到较大拉应力时就开裂，故在计算时不考虑此部分混凝土。

4. 核心混凝土的轴心抗压强度

螺旋筋或焊接环筋（也可称为“间接钢筋”）所包围的核心截面混凝土的实际抗压强度，因套箍作用而高于混凝土轴心抗压强度，可利用圆柱体混凝土周围加液压所得近似关系式进行计算：

f = fc + βσr （3-5）

式中 f —— 被约束后的混凝土轴心抗压强度；

σr —— 当间接钢筋的应力达到屈服强度时，柱的核心混凝土受到的径

向压应力值。

在间接钢筋间距s范围内，利用σr 的合力与钢筋的拉力平衡，如图3-11所示，则可得

σr = 2fyAssl /sdcor = fyAss0 /2Acor （3-6）

式中 Assl —单根间接钢筋的截面面积；

fy —间接钢筋的抗拉强度设计值；

s —— 沿构件轴线方向间接钢筋

的间距；

dcor —— 构件的核心直径，按间接

钢筋内表面确定； Acor —— 构件的核心截面面积；

Ass0 —— 间接钢筋的换算截面面积；

Ass0 = πdcor Assl /s （3-7）

5．承载力计算公式

根据力的平衡条件，得

Nu＝（fc＋βσr）Acor ＋fyˊAsˊ

故

Nu＝fcAcor +0.5βfy Ass0＋fyˊAsˊ （3-8） 令2α= 0.5β代人上式，同时考虑可靠度的调整系数0.9后，《混凝土设计规范》规定螺旋式或焊接环式间接钢筋柱的承截力计算公式为：

Nu＝0.9(fcAcor +2αfy Asso +fyˊAsˊ) (3-9)

式中α称为间接钢筋对混凝土约束的折减系数，当混凝土强度等级小于C50时，取α=1.0；当混凝土强度等级为C80时，取α=0.85；当混凝土强度等级在C50与C80之间时，按直线内插法确定。

3. 防止保护层脱落控制条件

0.9(fcAcor +2αfy Asso +fyˊAsˊ) ≯ 1.5×0.9ϕ(fcA＋fy＇As＇

)

7. 凡属下列情况之一者，不考虑间接钢筋的影响，而按普通箍筋柱计算构件的承载力：

1) l0/d＞12，因长细比较大，有可能因纵向弯曲引起螺旋筋不起作用；

2) 当按式(3-9)算得受压承载力小于按式(3-4)算得的受压承截力时；

3) 当间接钢筋换算面积 Ass0＜25％As’时，则认为间接钢筋配置过少，套箍作用的效果不明显。

8. 构造要求

间接钢筋间距≯80mm及dcor/5，亦≮40mm。间接钢筋的直径按箍筋有关规定采用。

3.3 偏心受压构件正截面受压破坏形态

3.1 偏心受压短柱的破坏形态

钢筋混凝土偏心受压短柱的破坏形态有受拉破坏和受压破坏两种。

1．受拉破坏形态

受拉破坏又称大偏心受压破坏，它发生于轴向力 N 的相对偏心距e0/h较大，且受拉钢筋配置得不太多时。

(1) 受力分析

在靠近轴向力作用的一侧受压，另一侧受拉。首先在受拉区产生横向裂缝,随之不断地开展，在破坏前主裂缝逐渐明显，受拉钢筋的应力达到屈服强度，中和轴上升，使混凝土压区高度迅速减小，最后压区混凝土被压碎，构件破坏。见图3-12。

(2) 受拉破坏形态的特点

受拉钢筋先达到屈服强度，导致压区混凝土压碎，是与适筋梁破坏形态相似的延性破坏类型。

2. 受压破坏形态

(1) 受力分析

受压破坏形态又称小偏心受压破坏，截面破坏是从受压区开始的，发生于以下两种情况。

1) 当轴向力 N 的相对偏心距e0/h较小时，构件截面全部受压或大部分受压。破坏时，受压应力较大一侧的混凝土被压坏，同侧的受压钢筋的应力也达到抗压屈服强度。而离轴向力N较远一侧的钢筋（以下简称“远侧钢筋”），可能受拉也可能受压，但都不屈服，分别见图 3-13(a)和（b)。

2) 当轴向力N的相对偏心距e0/h虽然较大，但却配置了特别多的受拉钢筋，

致使受拉钢筋始终不屈服。破坏时，受压区混凝土被压坏，受压钢筋应力达到抗压屈服强度，而远侧钢筋受拉而不屈服，类似双筋受弯构件的超筋情况。

(a) 截面应力； (b) 受拉破坏形态

图 3-12 受拉破坏时的截面应力和受拉破坏形态

(a)、(b) 截面应力； (c) 受压破坏形态

图 3-13 受压破坏时的截面应力和受压破坏形态

(2) 受压破坏形态的特点

混凝土先被压碎，远侧钢筋可能受拉也可能受压，但都不屈服，属于脆性破坏类型。

综上可知，“受拉破坏形态”与“受压破坏形态”都属于材料破坏。它们不同之处在于截面破坏的起因，即截面受拉部分和受压部分谁先发生破坏。前者是受拉钢筋先屈服而后受压混凝土被压碎；后者是截面的受压部分先发生破坏。

3．界限破坏

在“受拉破坏形态”与“受压破坏形态”之间存在着一种界限破坏形态，称为“界限破坏”。它不仅有横向主裂缝，而且比较明显。其主要特征是：在受拉钢筋应力达到屈服强度的同时，受压区混凝土被压碎。界限破坏形态也属于受拉破坏形态。

3.3.2 长柱的正截面受压破坏

试验表明，钢筋混凝土柱在承受偏心受压荷载后，会产生纵向弯曲。但长细比小的柱，即所谓“短柱”，由于纵向弯曲小，在设计时一般可忽略不计。对于长细比较大的柱则不同，它会产生比较大的纵向弯曲，设计时必须予以考虑。见图3-15。

图3-15 长柱实测 N-f 曲线

1．长柱的破坏形式

偏心受压长柱在纵向弯曲影响下，可能发生两种形式的破坏：

(1) 失稳破坏

长细比很大时，构件的破坏不是由于材料引起的，而是由于构件纵向弯曲失去平衡引起的，称为“失稳破坏”。

(2) 材料破坏

当柱长细比在一定范围内时，在承受偏心受压荷载后，虽然偏心距由ei —→ ei +f，使柱的承载能力比同样截面的短柱减小，但就其破坏本质来讲，跟短柱破坏相同，属于“材料破坏”，即为截面材料强度耗尽的破坏。

2．不同长细比柱从加载到破坏的 N-M 关系

图3-16示出了截面尺寸、配筋和材料强度等完全相同，仅长细比不相同的3根柱，从加载到破坏的示意图。曲线abd表示某钢筋混凝土偏心受压构件截面材料破坏时的承载力M与N之间的关系。

图 3-16 不同长细比柱从加载到破坏的 N-M 关系

(1) 短柱从加载到破坏的N-M关系(直线oa)： 其变化轨迹是直线，M/N为常数，表示偏心距自始至终是不变的。属“材料破坏”

(2) 长柱从加载到破坏的N-M关系(曲线ob)： 其变化轨迹呈曲线形状，M/N是变数，表示偏心距是随着纵向力N的加大而不断非线性增加的。也属“材料破坏”。

(3) 长细比很大的长柱从加载到破坏的N-M关系(曲线oc)：柱的长细比很大时，则在没有达到M、N的材料破坏关系曲线abd前，由于轴向力的微小增量ΔN可引起不收敛的弯矩M的增加而破坏，即“失稳破坏”。此时钢筋和混凝土材料强度均未得到充分发挥。

在图3-16中还能看出，这三根柱的轴向力偏心距ei 值虽然相同，但其承受纵向力N值的能力是不同的，分别为 Na＞Nb＞Nc 。这表明构件长细比的加大

会降低构件的正截面受压承载力。产生这一现象的原因是：当长细比较大时，偏心受压构件的纵向弯曲引起了不可忽略的二阶弯矩。

3.4 偏心受压长柱的二阶弯矩

3.4.1 偏心受压构件纵向弯曲引起的二阶弯矩

纵向弯曲引起的二阶弯矩随着构件两端弯矩的不同而不同，可分为三种情况：

1．构件两端作用有相等的端弯矩情况（M0= Nei）

图 3-17 两端弯矩相等时的二阶弯矩

(1) 构件上任一点的弯矩 M

M = M0 + Ny = Nei + Ny

式中 Nei —— 一阶弯矩；

Ny —— 由纵向弯曲引起的二阶弯矩。

(2) 构件上的最大挠度或最大弯矩 Mmax

最大挠度或最大弯矩均发生在柱的中点。令 af为最大弯矩 Mmax 点的挠度，则有

Mmax = Nei + Naf

显然，Naf是偏心受压构件上由纵向弯曲引起的最大的二阶弯矩（以下简称二 阶弯矩）

(3) 临界截面（或称最危险截面）

承受N和Mmax作用的截面。设计时取临界截面上的内力为内力控制值。

(4) 特点

一阶弯矩最大处与二阶弯矩最大处相重合，一阶弯矩增加的最多，即临界截面上的弯矩最大。

2．两个端弯矩不相等但符号相同的情况 (M2＞ M1)

(1) 构件上的最大挠度或最大弯矩 Mmax

最大挠度或最大弯矩均发生在离端部的某一距离处。

Mmax = M0 + Naf

(2) 特点

一阶弯矩最大处与二阶弯矩最大处不重合，由于 M0 ＜ M2，所以临界截面上的弯矩Mmax要比两端弯矩相等时的小，即二阶弯矩对杆件的影响有所降低。可以证明，随着 M2 和 M1 相差越大，杆件中临界截面上的弯矩Mmax 越小，即二阶弯矩对杆件的影响越小。

3．两端弯矩不相等而符号相反的情况(M2= Ne0 , M1= -Ne1)

(1) 构件上的最大挠度或最大弯矩 Mmax

最大挠度在离端部的某一距离处；而最大弯矩Mmax = M0 + N f有两种可能的分布：

1）发生在柱端

Mmax = M2

即二阶弯矩的存在并不引起一阶弯矩的任何增加。

2）发生在离端部的某一距离处

Mmax = M0 + N af

由于 M0 ＜ M2较多，所以一阶弯矩将增加很少，Mmax 比M2 稍大。

(2) 特点

沿构件产生一个反弯点，一阶弯矩最大处与二阶弯矩最大处不重合，一阶弯矩将增加很少或可能不增加。

3.4.2 结构有侧移时偏心受压构件的二阶弯矩

上述二阶弯矩分布的规律，仅适用于没有水平侧移或水平侧移可忽略不

计的结构中的偏心受压构件，即指偏心受压构件的两端没有发生相对位移的情况。当结构有侧移且同一楼层所有柱的侧移相等时，由于结构的侧移使偏心受压构件的挠曲线发生了变化，其二阶弯矩分布规律也发生了变化。

应该指出，框架形状的不对称、竖向荷载的不对称或两者都不对称等情况都会使框架产生侧移。在这种情况下，柱轴向压力N的存在也会产生与前相同的挠度和弯矩的增大。因此各类结构的偏心受压构件正截面承载力计算，当二阶弯矩不可忽略时，均应考虑结构侧移和构件纵向弯曲变形引起的二阶弯矩。

3.4.3 偏心距增大系数η

1. 二阶弯矩影响的考虑方法

我国《混凝土结构设计规范》对长细比 l0/i较大的偏心受压构件，采用把初始偏心距ei值乘以一个偏心距增大系数η来近似考虑二阶弯矩的影响。即 ei + af =(1+af/ei)ei = ηei （3-12） ei = e0 + ea

式中 af ── 长柱纵向弯曲后产生侧向最大挠度值；

η—— 考虑二阶弯矩影响的偏心距增大系数；

ei ── 初始偏心矩；

e0 ── 轴向力对截面重心的偏心矩，e0 = M/N；

ea ── 附加偏心矩，取偏心方向截面尺寸的1/30和20mm中的较大者；

附加偏心距 ea 是考虑荷载作用位置的不定性、混凝土质量的不均匀性和施工误差等因素的综合影响。

2. η值计算公式（η—l0法）

对于短柱，即l0/ h≤5，无须考虑二阶弯矩，η=1.0。对于长柱，即5＜l0/ h≤30， η按下式计算

η= 1+（l0/ h）2ζ1ζ2/1400（ei/ h0） （3-13） 式中 l0 ── 构件的计算长度；

h ── 偏心方向截面尺寸，圆形截面取直径d；环形截面取外直径D； h0 ── 截面的有效高度；

ζ1 ── 偏心受压构件截面曲率修正系数；

ζ1 = 0.5fcA/N (3-14)

当ζ1＞ 1.0时，取ζ1 = 1.0

ζ2 ── 偏心受压构件长细比对截面曲率的影响系数；

当 l0/h＜15时， ζ2 = 1.0

当 l0/h =15～30时，ζ2=1.15-0.01 l0/h (3-15)

A ── 构件的截面面积， A = bh + (bfˊ-b)hfˊ

3.5 矩形截面偏心受压构件正截面

受压承载力基本计算公式

3.5.1 区分大、小偏心受压破坏形态的界限

受弯构件正截面承截力计算的四个基本假定同样也适用于偏心受压构件正截面受压承载力的计算。

与受弯构件相似，利用平截面假定和规定了受压区边缘极限应变值的数值后，就可以求得偏心受压构件正截面在各种破坏情况下，沿截面高度的平均应变分布，见图3-22。

图3-22 偏心受压构件正截面在各种破坏情

况时沿截面高度的平均应变分布

当受压区太小x＜2as′，混凝土达到极限应变值时，受压纵筋的应变很小，

使其达不到屈服强度εs′＜εy′；当受压区达到xcb时，混凝土和受拉纵筋分别达到极限压应变(εcu)和屈服应变值(εy)，即为界限破坏形态。相应于界限破坏形态的相对受压区高度ξb按受弯构件中的取值。

当ξ≤ξb时，属大偏心受压破坏形态；当ξ＞ξb时,属小偏心受压破坏形态。

3.5.2 矩形截面偏心受压构件正截面的承载力计算

1．大偏心受压构件正截面的受压承载力计算公式

按受弯构件的处理方法，把受压区混凝土曲线压应力图用等效矩形图形来替代，其应力值取为α1fc，受压区高度取为x，如图3-23（b）所示。

图 3-23 大偏心受压破坏的截面计算图形

1. 大偏心受压构件受压承载力计算公式

(1) 计算公式

根据力的平衡条件及力矩平衡条件可得

Nu =α1fcbx＋fy′As′- fy As （3-21） Nu e = α1fcbx(h0－x／2)＋fy′As′(h0－as′) （3-22）

式中 Nu —— 受压承载力设计值；

α1—— 系数，对于≤C50混凝土，α1=1

e —— 轴向力作用点至受拉钢筋As合力点之间的距离；

i s e = ηe+ h/2 - a （3-23）

ei = e0 + ea

η —— 考虑二阶弯矩影响的轴力偏心距增大系数；按式(3-13)计算； x —— 受压区计算高度；

as′—— 纵向受压钢筋合力点至受压区边缘的距离。

(2) 适用条件

1） x ≤ξbh0 —→ 保证构件破坏时，受拉钢筋先达到屈服；

2） x ≥ 2as′—→ 保证构件破坏时，受压钢筋能达到屈服。

若x＜2as′时,取 x＝2as′，则有As＝N（ηei - h/2+as′）/fy(h0－as′)

2. 小偏心受压构件受压承载力计算公式

小偏心受压破坏时，受压区混凝土被压碎，受压钢筋As′的应力达到屈服强度，而远侧钢筋 As可能受拉或受压但都不屈服，分别见图 3-24(a)或(b)、(c)。在计算时，受压区的混凝土曲线压应力图仍用等效矩形图来替代。

(a) As 受拉不屈服；(b) As 受压不屈服；(c) As 受压屈服

图 3-24 小偏心受压计算图形

(1) 计算公式

根据力的平衡条件及力矩平衡条件可得

Nu = α1fcbx＋fy′As′-σs As （3-27）

Nu e =α1fcbx (h0－x／2)＋fy′As′(h0－as′) （3-28）

或 Nu e′=α1fcbx (x／2－as′)＋σs As(h0－as′) （3-29）

式中x —— 受压区计算高度，当 x＞h，在计算时，取 x=h； σs —— 钢筋As 的应力值，可近似取

σs = fy·（ξ-β1）/（ξb-β1） （3-30） 要求满足 - fy ≤σs≤fy；

图 3-25 σs与ξ关系曲线

（εCu ＝0.0033，β1 ＝0.8）

β1—— β1= x/ xc ,当混凝土≤C50时，β1=0.8；C80时，β1=0.74； ξ、ξb——分别为相对受压区计算高度和相对界限受压区计算高度； e、e′——分别为轴向力作用点至受拉钢筋A：合力点和受压钢筋As‘合

力点之间的距离

e = ηei + h/2 - as （3-31）

e′= h/2-ηei - as′ （3-32）

ei = e0 + ea

(2) 反向破坏

当相对偏心距e0/h很小且As′比As大得很多时，也可能在离轴压力较远的一侧混凝土先压坏，此时钢筋AS受压，应力达到fy′，称为反向破坏。

为了避免这种反向破坏，《混凝土结构设计规范》规定，对于小偏心受压构件除按上述式（3-27）和式（3-28）或式（3-29）计算外，还应满足下列条件：

Nu｛h/2- as′-(e0 - ea)｝≤α1fcbh(h0′－h／2)＋fy′As(h0′－as) （3-34） 式中 h0′—— 钢筋As′合力点至离轴压力较远一侧混凝土边缘的距离，

即 h0′=h- as′

3.6 不对称配筋矩形截面偏心受压

构件正截面受压承载力计算方法

3.3.1 截 面 设 计

已知: 构件截面上的内力设计值N、M、材料及构件截面尺寸

求: As 和 As′

计算步骤：

(1) 计算偏心距增大系数η

(2) 初步判别构件的偏心类型

ηei ＞ 0.3h0时，先按大偏心受压情况计算；

ηei≤0.3h0时，先按小偏心受压情况计算。

(3) 应用有关计算公式求As 和 As′，然后选配钢筋；

(4) 求出As，As′后再计算x，用x≤xb，x＞xb来检查原先假定的是否正确，如果不正确需要重新计算。

(5) 验算配筋率

1) 0.6％bh ≤As +As′≤ 5％bh0

2) (As ，As′)≥ 0.2％bh

(6) 最后，按轴心受压构件验算垂直于弯矩作用平面的受压承载力。

1. 大偏心受压构件的计算

(1) 情况 1: 已知： b×h、 fc、 fy、 fy′、l0/h、 N、 M

求：As 和 As′

计算步骤：

(1) 补充条件： 取ξ = ξb

充分发挥受压区混凝土的强度，按界限配筋设计，使（As+ As′）之和接近最小。

(2) 求 As′

As′=｛N e -α1 fc bh02ξb(1－0.5ξb)｝/ fy′(h0－as′)

(3) 求 As

As = （α1 fcbξb h0 - N）/ fy + As′fy′/ fy （3-36）

(4) 适用条件 x ≤ξbh0 和 x ≥ 2as′均满足，不需再验算。

(5) 最后，按轴心受压构件验算垂直于弯矩作用平面的受压承载力。当其不小于N值时为满足，否则要重新设计。

(2) 情况 2: 已知：b×h、 fc、 fy、 fy′、l0/h、 N、 M 、 As′

求：As

计算步骤：

(1) 计算公式

N =α1fcbx＋fy′As′-fy As

N e =α1fcbx(h0－x／2)＋fy′As′(h0－as′)

(2) 解算x的二次方程，求x

(3) 验算适用条件(1) x≤ξbh0 (2) x≥ 2as′

1) 若 x ≤ξbh0 且 x ≥ 2as′

则 As ＝（α1fcbx＋fy′As′- N ）／fy2

2) 若 x ＞ξb h0

表明As′不足, 应加大截面尺寸，或按As′未知情况1计算；

3) 若 x ＜ 2as′

表明As′不能达到其设计强度fy′, 取 x = 2as′，假设混凝土压应力合力C也作用在受压钢筋合力点处（偏安全简化处理），对受压钢筋和混凝土共同合力点取矩，此时As内力臂为（h0－as′），直接求解As 。

As = N（ηei- h/2 + as′）/ fy（h0－as′） （3-37） 另外，再按不考虑受压钢筋As′，即取As′=0，利用下式求算As值，

N =α1fcbx - fy As

N e =α1fcbx(h0－x／2)

然后与用式（3-37）求得的As值作比较，取其中较小值配筋。

(4) 验算配筋率

1) 0.6％bh ≤As +As′≤ 5％bh0

2) (As ，As′)≥ 0.2％bh

(5) 最后，按轴心受压构件验算垂直于弯矩作用平面的受压承载力。当其不小于N值时为满足，否则要重新设计。

2. 小偏心受压构件的计算

小偏心受压应满足 ξ＞ξb及-fy′≤σs≤fy 的条件。当纵筋As的应力σs达到受压屈服(-fy′)，且- fy′=fy时，根据σs = fy·（ξ-β1）/（ξb-β1）可计算出其相对受压区计算高度如下：

ξcy = 2β1 -ξb （3-38）

(1) 当ξb＜ξ＜ξcy时，不论As配置的数量多少，一般总是不屈服的；为了使钢筋用量最小，只要按最小配筋率配置As。因此，计算时可先假定As＝ρminbh，用式(6—29)和式(6—30)求得 ξ 和σs

若σs＜0，取As=ρmin′bh，用式(6—29)重新求ξ。

若满足ξb＜ξ＜ξcy，则按式(6—28)求得As，计算完毕。

这里的ρmin′和ρmin分别为受压钢筋和远侧钢筋的最小配筋率。

(2) 若ξ≤ξb ，按大偏心受压计算。

(3) 若h／h0＞ξ＞ξcy ，此时σs达到- fy′，计算时可取σs=- fy′,ξ=ξcy ，通过式(6—28)和式(6—29)求得As 和As′值。

(4) 若ξ＞h／h0 ，则取σs=- fy′,x=h通过式(3-28)和式(3-27)求算As 和As′值。 对于（3）和（4）两种情况，均应再复核反向破坏的承载力，即满足式(3-34)的要求。

对于σs＜0的情况，As 和As′应分别满足As＝ρminbh, As′＝ ρmin′bh的要求，ρmin′= 0.2％。

3.3.2 承 载 力 复 核

已知: b×h、As、 As′、fc、 fy、 fy′、l0/h、 N、 e0（M）

承载力复核方法：

(1) 已知轴向力设计值N时，求能承受弯矩设计值Mu，比较M与Mu以判定

截面能否承受该M值；

(2) 或已知偏心距e0， 求轴向力设计值Nu，比较N与Nu以判定截面能否承

受该N值。

截面判定原则：

(1) 当 N一定时，不论大、小偏心受压，M值越大越不安全，即当 M≤Mu

时，满足要求；否则为不安全。

(2) 当 M一定时，对小偏心受压，N值越大越不安全，即当 N ≤Nu 时，

满足要求；否则为不安全；而对于大偏心受压，则N值越小越不安全，即当 N ≤Nu 时，不安全；否则满足要求。

1. 弯矩作用平面的承载力复核

(1) 已知轴向力设计值N，求弯矩设计值 Mu

1） 判别大小偏心类型

先将已知配筋As 和As′值和ξb代入 Nu =α1fcbx＋fy′As′- fy As 计算界限情况下的受压承载力设计值Nub

Nub =α1fcbξb h0＋fy′As′- fy As

若 N≤Nub ，则为大偏心受压；

若 N＞Nub ，则为小偏心受压。

2） 大偏心受压承载力复核

① 按下式求 x

N =α1fcbx＋fy′As′- fy As

② 再将x和η=1+(l0/ h)2ζ1ζ2/1400(ei/ h0)求得的η代入下式求e0

N e = α1fcbx(h0－x／2)＋fy′As′(h0－as′)

③ 则得弯矩设计值Mu

Mu = N e0

④ 当 M≤Mu 时，满足要求；否则为不安全。

3） 小偏心受压承载力复核

① 按下式求 x

N =α1fcbx＋fy′As′-σs As

σs = fy·（ξ-β1）/（ξb-β1）

② 再将 x 和η= 1+(l0/ h)2ζ1ζ2/1400(ei/ h0)求得的η代入下式求e0

N e =α1fcbx(h0－x／2)＋fy′As′(h0－as′)

③ 则得弯矩设计值Mu

Mu = N e0

④ 当 M≤Mu 时，满足要求；否则为不安全。

(2) 已知偏心距e0， 求轴向力设计值 Nu

1) 判别大小偏心类型

按图6—23对N作用点取矩求x

若 x≤ξb h0，则为大偏心受压；

若 x＞ξb h0，则为小偏心受压，x值应重新计算。

2) 大偏心受压承载力复核

① 将x及已知数据代入下式可求轴向力设计值Nu即为所求。

Nu =α1fcbx＋fy′As′- fy As

② 当 N ≤Nu 时，不安全；否则满足要求。

3) 小偏心受压承载力复核

① 将x及已知数据代入下式联立求解轴向力设计值Nu

Nu =α1fcbx＋fy′As′- σs As

Nu e =α1fcbx(h0－x／2)＋fy′As′(h0－as′)

σs = fy·(ξ-β1)/(ξb-β1)

② 当 N ≤Nu 时，满足要求；否则为不安全。

2．垂直于弯矩作用平面的承载力复核

无论是设计题或截面复核题，对于小偏心受压，除了在弯矩作用平面内依照偏心受压进行计算外，都要验算垂直于弯矩作用平面的轴心受压承载力。此时,应按长细比l0/b考虑确定ϕ值。

3.7 对称配筋矩形截面偏心受压

构件正截面受压承载力计算方法

3.7.1 截 面 设 计

对称配筋时，截面两侧的配筋相同，As = As′，fy = fy′。

1．不对称配筋与对称配筋的比较:

(1) 不对称配筋:优点是充分利用混凝土的强度，节省钢筋；缺点主要是施工不便，容易将钢筋的位置对调。

(2) 对称配筋：优点为对结构更有利（可能有相反方向的弯矩），施工方便，构造简单，钢筋位置不易放错；缺点是多用钢筋。

2. 判别大小偏心类型

由 Nu =α1fcbx＋fy′As′- fy As 可得

x = N /α1fcb （3-39）

若 x≤ξb h0，则为大偏心受压；

若 x＞ξb h0，则为小偏心受压。

3. 大偏心受压构件的计算（x≤ξb h0）

1）当 2as′≤x ≤ξb h0时，可以求得

As = As′=｛Ne-α1fcbx(h0－x／2)｝/ fy′(h0－as′) （3-40） 2）当 x ＜2as′时，取 x=2as′，假设混凝土压应力合力C也作用在受压钢筋合力点处，对受压钢筋和混凝土共同合力点取矩，此时As内力臂为（h0－as′），直接求解As 。

As = As′= N(ηei- h/2 + as′)/ fy(h0－as′) （3-37）

另外，再按不考虑受压钢筋As′，即取As′=0，利用下式求算As值，

N =α1fcbx -fy As

N e =α1fcbx (h0－x／2)

然后与用式（3-37）求得的As值作比较，取其中较小值配筋。

4．小偏心受压构件的计算（x ＞ξb h0）

(1) 简化计算方法（迭代法—适用于电算）

1） 令x1 =(x+ξb h0)/2，代入式(3-28)，该式中x值用x1代入,求解得As′。

2） 以As′代入式(3-27)，并利用式(3-30)再求x值，再代入式(3-28)求解得As′。

3） 当两次求得的As′相差不大，一般取相差不大于5％，认为合格，计算结束。否则以第二次求得的As′值，代入式(3-27)重求x值，和代入式(3-28)重求As′值，直到精度达到满足为止。

(2) 近似公式计算法 ——《规范》推荐方法

求解ξ的近似公式：

ξ=N−ξbα1fcbh0+ξb （3-45） 2Ne−0.43α1fcbh0+α1fcbh0'(β1−ξb)(h0−as)

代入式（3-40）即可求得钢筋面积

As = As′=｛Ne-α1fcbh02ξ(1-0.5ξ) ｝/ fy′(h0－as′) （3-46）

3.7.2 截 面 复 核

可按不对称配筋的截面复核方法进行验算，但取取As = As′，fy = fy′。

3.9 正截面承载力 Nu — Mu 的相关曲线及其应用

对于给定的一个偏心受压构件正截面，现在来研究它的受压承载力设计值Nu与正截面的受弯承载力设计值 Mu 之间的关系（Nuηei = Mu）。试验表明，

小偏心受压情况下，随着轴向压力的增加，正截面受弯承载力随之减小，但在大偏心受压情况下，轴向压力的存在反而使构件正截面的受弯承载力提高。在界限破坏时，正截面受弯承载力达到最大值。

图 3-30 是西南交通大学所做的一组偏心受压试件，在不同偏心距作用下所测得承截力 Nu 与 Mu 之间试验曲线图，图中曲线反映了上述的规律。

图3-30 Nu -- Mu 试验相关曲线

这表明，对于给定截面尺寸、配筋和材料强度的偏心受压构件，可以在无数组不同的 Nu 和 Mu 的组合下到达承载能力极限状态，或者说当给定轴力 Nu 时就有唯一的 Mu ，反之，也这样。下面以对称配筋截面为例建立 Nu - Mu 相关曲线方程。

3.9.1 对称配筋矩形截面大偏心受压构件的 Nu—Mu 的相关曲线

1．Nu—Mu的相关曲线方程

Mu = Nu2/2α1fc b + Nuh/2 + fy′As′(h0－as′) （3-59）

2．结论

Mu 是 Nu 的二次函数，并且随着 Nu 的增大 Mu 也增大，即随着轴向压力的增加，正截面受弯承载力随之增大( Nu↑—→ Mu↑)。如图 3-31中水平虚线以下的曲线所示。

图 3-31 对称配筋时Nu—Mu相关曲线

3.9.2 对称配筋矩形截面小偏心受压构件的 Nu—Mu 的相关曲线

1．Nu—Mu的相关曲线方程

Mu =α1fcbh20｛(λ1 Nu+λ2)-0.5(λ1 Nu+λ2)2 ｝

-(h/2- as) Nu+fy′As′(h0－as′) （3-63）

2．结论

Mu 也是 Nu 的二次函数，但随着 Nu 的增大而 Mu 将减小，即随着轴向压力的增加，正截面受弯承载力随之减小(Nu↑—→ Mu↓)。如图 3-31中水平虚线以下的曲线所示。

3.9.3 Nu—Mu 相关曲线的特点和应用

1．特点

整个曲线分为大偏心受压破坏和小偏心受压破坏两个曲线段，其特点是：

(1) Mu =0，Nu 最大；Nu =0时，Mu 不是最大；界限破坏时，Mu 最大。

(2) 小偏心受压时，Nu 随Mu 的增大而减小；大偏心受压时，Nu 随Mu 的增大而增大。

(3) 对称配筋时，如果截面形状和尺寸相同，混凝土强度等级和钢筋级别也相同，但配筋数量不同，则在界限破坏时，它们的Nu 是相同的(因为

Nu=α1fcbξb h0)，因此各条Nu—Mu曲线的界限破坏点在同一水平处。

2．应用

(1) 用于截面设计

1) 绘制一系列Nu—Mu曲线图表

应用 Nu—Mu 的相关曲线方程，可以对一些特定的截面尺寸、特定的混凝土强度等级和特定的钢筋级别的偏心受压构件，通过计算机预先绘制出一系列图表。

图3-31所示为按照截面尺寸b×h=500mm×600mm、混凝土强度等级C30、钢筋级别HRB400，而绘制的对称配筋矩形截面偏心受压构件正截面承载力计算图表。

2) 设计时可直接查图表求得所需的钢筋面积，以简化计算，节省大量的计算工作。

设计时,先计算ei和η值，然后查与设计条件完全对应的图表，由N和M=Nηei值可查出所需的 As 和 As′。

(2) 用于承载力复核，判定截面是否安全

1) 当 N一定时，不论大、小偏心受压，M值越大越不安全，即当 M≤Mu时，满足要求；否则为不安全。

2) 当 M一定时，对小偏心受压，N值越大越不安全，即当 N ≤Nu 时，满足要求；否则为不安全；而对于大偏心受压，则N值越小越不安全，即当 N ≤Nu 时，不安全；否则满足要求。

3.11 偏心受压构件斜截面受剪承载力计算

3.11.1 轴向压力对构件斜截面受剪承载力的影响

偏心受压构件，一般情况下剪力值相对较小，可不进行斜截面受剪承载力的计算；但对于有较大水平力作用的框架柱，有横向力作用下的桁架上弦压，剪力影响相对较大，必须予以考虑。

1. 轴向压力能推迟垂直裂缝的出现，并使裂缝宽度减小。

2．轴向压力能使斜截面受剪承载力提高。

(1) 当轴压比 N/fcbh = 0.3～0.5时，斜截面受剪承载力达到最大值；见图3-36。

(2) 当 N ＜0.3 fcbh时，不同剪跨比λ构件的轴向压力对斜截面受剪承载力的影响相差不多。

3-36 相对轴压力和剪力关系

3.11.2 偏心受压构件斜截面受剪承载力的计算公式

1．对承受轴压力和横向力作用的矩形、T形和Ⅰ形截面偏心受压构件，其斜截面受剪承载力应按下列公式计算：

Vu＝1.75ftbh0/(λ+1.0) + 1.0fyv·(Asv/s)·h0 + 0.07N (3-12)

式中 λ —— 偏心受压构件计算截面的剪跨比；

(1) 对各类结构的框架柱，取λ= M/ Vh0，此处，M为计算截面上与剪力

设计值V相应的弯矩设计值；当框架结构中柱的反弯点在层高范围内时，可取λ= Hn/2h0，Hn 为柱净高。当λ＜1时，取λ=1； 当 λ＞3时，取λ=3。

(2) 对其他偏心受压构件

① 当承受均布荷载时，取λ=1.5；

② 当承受集中荷载时(包括作用有多种荷载，且其中集中荷载对 支座截面或节点边缘所产生的剪力值占总剪力值的75％以上的情况)，取λ= a/h0，a为集中荷载至支座或节点边缘的距离；

③ 当λ＜1.5时，取λ=1.5；当 λ＞3时，取λ=3。

N —— 与剪力设计值V相应的轴压力设计值；当N＞0.3fcA时，取

N=0.3fcA；A为构件的截面面积。

2．若符合下列公式的要求时，则可不进行斜截面受剪承载力计算，而仅需根据构造要求配置箍筋。

V≤1.75ftbh0/(λ+1.0) + 0.07N （3-74）

3．偏心受压构件的受剪截面尺寸尚应符合《混凝土结构设计规范》 (GB50010－2002)有关规定。

思 考 题

3.1 轴心受压普通箍筋短柱与长柱的破坏形态有何不同？轴心受压长柱的

稳定系数 ϕ 如何确定？

3.2 轴心受压普通箍筋柱与螺旋箍筋柱的正截面受压承载力计算有何不同？

3.3 简述偏心受压短柱的破坏形态？偏心受压构件如何分类？

3.4 长柱的正截面受压破坏与短柱的破坏有何异同？什么是偏心受压长柱

的二阶弯矩？

3.5 偏心距增大系数η是知何推导的？

3.6 怎样区分大、小偏心受压破坏的界限？

3.7 矩形截面大偏心受压构件正截面的受压承载力如何计算？

3.8 矩形截面小偏心受压构件正截面受压承载力如何计算？

3.9 怎样进行不对称配筋矩形截面偏心受压构件正截面受压承载力的设计

与计算？

3.10 对称配筋矩形截面偏心受压构件大、小偏心受压破坏的界限如何区分？

3.11 怎样进行对称配筋矩形截面偏心受压构件正截面承载力的设计与计算？

3.12 什么是构件偏心受压正截面承载力Nu - Mu 的相关曲线？

3.13 怎样计算偏心受压构件的斜截面受剪承载力？

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