3.1.1 变化率问题 教案
3.1变化率与导数
3.1.1 变化率问题
一、【创设情境】
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,
随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
2、求曲线的切线;
3、求已知函数的最大值与最小值;
4、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二、新课讲授
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=
如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)=3
分析: r(V)=43πr 33V 4π3V 4π
(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm)
r(1)-r(0)气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L) 1-0
(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16(dm)
r(2)-r(1)气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L) 2-1
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)-r(V1) V2-V1t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段
内的平均速v度粗略地描述其运动状态?
思考计算: 0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度v
在0≤t≤0.5这段时间里,v=h(0.5)-h(0)
=4.05(m/s) 0.5-0
在1≤t≤2这段时间里,v=
探究: 计算运动员在0≤t≤h(2)-h(1)=-8.2(m/s) 2-165这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像,
结合图形可知,h(65)=h(0),所以v=49h(65)-h(0)49=0(s/m) 65-049
虽然运动员在0≤t≤65这段时间里的平均速度为0(s/m), 49
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)-f(x1)表示, x2-x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.
2.若设∆x=x2-x1, ∆f=f(x2)-f(x1)(这里∆x看作是对于x1的一个“增量”可 用x1+∆x代替x2,同样∆f=∆y=f(x2)-f(x1)) 则平均变化率为f(x2)-f(x1)f(x1+∆x)-f(x1)∆y∆f= ==x2-x1∆x∆x∆x
∆ff(x2)-f(x1)表示什么? =∆xx2-x1思考: 观察函数f(x)的图象 平均变化率
三、典例分析
例1 已知函数f(x)=-x+x的图象上的一点A(-1,-2)及 2
∆y= . ∆x
解: -2+∆y=-(-1+∆x)2+(-1+∆x) 临近一点B(-1+∆x,-2+∆y)则
∆y-(-1+∆x)2+(-1+∆x)-2==3-∆x ∴∆x∆x
例2 求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
解: ∆y=(x0+∆x)-x0 22
22x0+2x0∆x+∆x2-x0∆y(x0+∆x)2-x0所以===2x0+∆x ∆x∆x∆x
所以y=x2在x=x0附近的平均变化率为2x0+∆x 2
课堂练习
1.质点运动规律为s=t+3,则在时间(3,3+∆t)中相应的平均速度为 .
2.物体按照s(t)=3t+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x上两点P(1,1)和Q(1+∆x,1+∆y)作曲线的割线,
求出当∆x=0.1时割线的斜率.
四、【课堂小结】
1.平均变化率的概念.
2.函数在某点处附近的平均变化率. 322