弹性力学主要内容

1、弹性力学的研究对象、内容及范围

弹性力学是研究在外界因素（外力、温度变化）的影响下，处于弹性阶段的物体所产生的应力、应变及位移。

弹性力学的研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。 2、弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）

（1） 均匀性假设 即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材

料性质都是相同的。（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）

（2） 连续性假设 即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。

（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）

（3） 完全弹性假设 即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原

状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系） （4） 各向同性假设 即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料

性质。（用处：物体的弹性参数可以取为常数）

（5） 小变形假设 即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小

的。（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量）

3、弹性力学的基本量

表1 直角坐标表示的各种基本量情况

4、两类平面问题的概念

（1）平面应力问题（应力是平面的；变形是空间的）

如图所示薄板，其z方向的尺寸比其他两个方向上的尺寸小得多；外力和体力都平行于板面，并且沿着板的厚度没有变化，这样的问题称为平面应力问题。 （2）平面应变问题

若物体在z方向的尺寸比在其他两个方向上的尺寸大得多，如图所示很长的坝体，外力及体力沿着z方向没有变化，则这类问题称为平面应变问题。 （3）两类平面问题的一些特征

空间问题的基本未知量共有8个，每个基本未知量仅仅是坐标(x,y)的函数。

表2 两类平面问题的一些特征

5、平面问题的基本方程

平面问题的基本方程包括：（1）平衡方程；（2）几何方程；（3）物理方程 平面问题的基本量有8个，分别是：

3个应力分量：σx、σy、τxy； 3个形变分量：εx、εy、γxy； 2个位移分量：u、v

（1）平衡方程

平衡方程描述的是体力分量与应力分量之间的关系

∂τ∂σy∂σx∂τyx

++fx=0； xy++fy=0 ∂x∂y∂x∂y

上述平衡方程对于平面应力问题和平面应变问题均适用 （2）几何方程

几何方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系

εx=

∂u∂v∂v∂u；εy=；γxy=+ ∂x∂y∂x∂y

（3）物理方程

物理方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系

平面应力问题的物理方程为： 平面应变问题的物理方程为：

⎫1-μ2⎛μ1

σ-σεx=(σx-μσy) εx=xy⎪ E⎝1-μ⎭E⎫1-μ2⎛μ1

σy-σx⎪ εy=(σy-μσx) εy= E⎝1-μ⎭E

γxy=τxyG γxy=τxyG

6、平面问题的边界条件

弹性力学问题的边界条件，简单的说就是用来描述弹性体边界上所受的外部作用。这个外部作用可以是面力的作用，也可以是对位移的约束，也可以是两者的综合作用。因此对于弹性体的每一条边而言，其边界条件为如下三种类型的其中一种：

（1）位移边界条件

若在弹性体的全部边界s上给定了位移分量和，则位移边界条件为：

u= ； v=

（2）应力边界条件

若在弹性体的全部边界s上给定了面力分布x、y，则应力边界条件为：

l⋅(σx)s+m⋅(τxy)=x

s

l⋅(τxy)+m⋅(σy)=y

s

s

（3）混合边界条件

若在弹性体的部分边界上s1给定了位移分量和，另外一部分边界s2上给定了面力分量x、y，则混合边界条件为：

在s1上： u=；v=

在s2上： l⋅(σx)s+m⋅(τxy)=x；l⋅(τxy)+m⋅(σy)=y

s

s

s

（4）圣维南原理及其对边界条件的简化

对于弹性体的边界而言，如果能在所有的边界上都可以找到精确满足以上三种类型之一的边界条件是最好不过的情况了。因为这个时候我们就可以通过求解基本方程来了解弹性体中任意位置处的应力、应变和位移。但是对于具体的问题来说，要想使得每条边上的边界条件得到完全满足是非常困难的。

边界条件得不到完全的满足，就意味着我们得不到弹性体内任意位置处的精确解。既然得不到任意位置处的精确解，那么就要考虑是否能在弹性体内部的大部分区域获得精确的结果。

为实现这一目的，人们需要找到一种方法去处理不能完全满足边界条件的弹性体边界。而法国学者圣维南，就是成功找到了处理方法之一的牛人。

圣维南所提出的处理方法，是针对应力边界条件的。他于1855年提出了这样一种说法：如果将分布在物体的某个小部分边界上的面力，替换为与原来的面力分布方式不同但是静力等效的另外一种面力，那么，由于进行了这种替换而在弹性体内部所产生的影响，只局限于这一小部分边界附近的局部区域，对于远离这一小部分边界的区域，替换所产生的影响可以忽略不计。 7、平面问题中的应力分析

（1）过弹性体中某点的任一斜截面（该斜截面的法线方向与x轴夹角的余弦为l；与y轴夹角的余弦为m）上的正应力σN、剪应力τN的计算公式：

σN=l2⋅σx+m2⋅σy+2⋅l⋅m⋅τxy

τN=l⋅m⋅(σy-σx)+(l2-m2)⋅τxy

（2）弹性体中任一点处的主应力σ1和σ2可由下式求得：

σ1σx+σy=±σx2（3）主应力σ1和σ2与x轴的夹角α1和α2可由下式求得：

τxyτxyσ-σtgα1= ； tgα2= =-

τxyσ2-σyσ1-σx

（σ1的方向与σ2的方向互相垂直）

二、平面问题的直角坐标解答

前面我们主要建立了平面问题的基本方程。对于平面问题而言，基本方程包括2个平衡方程、3个几何方程和3个物理方程。这8个方程对应着8个未知量（3个应力分量：σx、σy、τxy；3个应变分量：εx、εy、γxy；2个位移分量：u、v）。弹性力学要解决的平面问题，简单说就是研究在不同的边界条件下如何求解这8个未知量。本部分就是研究在平面直角坐标系下，求解这8个未知量的方法。

【通常的求解方法】 （体力是坐标的函数）

------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1、按位移求解平面问题（位移法）[

位移法的解题思想：以位移分量(u,v)作为基本未知量，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求解出位移分量。位移分量求出来之后，利用几何方程求出形变分量，进而将形变分量代入物理方程求出应力分量。

按位移法求解平面问题（平面应力问题），位移分量(u,v)必须满足下列全部条件：

（1）用位移表示的平衡方程

E⎛∂2u1-μ∂2u1+μ∂2v⎫

++⎪+fx=02 22

1-μ⎝∂x2∂y2∂x∂y⎭E⎛∂v1-μ∂v1+μ∂u⎫

++⎪+fy=02 22

1-μ⎝∂y2∂x2∂x∂y⎭

2

2

2

（2）用位移表示的应力边界条件

⎫E⎡⎛∂u∂v⎫1-μ⎛∂u∂v⎫⎤

l⋅+μ⎪+m⋅ +⎪⎥=x⎪2⎢ 1-μ⎣⎝∂x∂y⎭2⎝∂y∂x⎭⎦s

⎪⎬

E⎡⎛∂v∂u⎫1-μ⎛∂v∂u⎫⎤⎪

m⋅+μ+l⋅+=⎢ y⎪⎪ ⎪⎥

1-μ2⎣⎝∂y∂x⎭2⎝∂x∂y⎭⎦s

⎭

（3）位移边界条件

(u)s=；(v)s=

总结：按照位移法求解平面应力问题，就是要使得位移分量(u,v)满足（1）中的平衡方程，同时还要在边界上满足边界条件（视具体的边界而定需要满足应力边界or位移边界or两者兼有）。在求出位移分量以后，即可利用几何方程求出形变分量，进而利用变换后的物理方程（应力用应变表示）求出应力分量。

Eμ当问题为平面应变问题时，注意应将上述方程中的 E→；μ→ 2

1-μ1-μ

位移法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程和边界条件的位移分量u、v，然后利用求解出的位移分量去求解形变分量（几何方程）和应力分量（物理方程）。

2、按应力求解平面问题（应力法）[

应力法的解题思想：以应力分量(σx,σy,τxy)作为基本未知量，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求解出应力分量，再利用物理方程求出形变分量，进而利用几何方程求出位移分量。

按应力求解平面问题（平面应力问题），应力分量(σx,σy,τxy)必须满足下列全部条件：

（1）平衡方程

∂σx∂τyx

++fx=0 ∂x∂y∂τxy∂x

+∂σy∂y

+fy=0

（2）相容方程

⎛∂2⎛∂fx∂fy⎫∂2⎫

+σ+σ=-1+μ() +⎪ 2y)2⎪(x

⎝∂x∂y⎭⎝∂x∂y⎭

（3）应力边界条件

(l⋅σ+m⋅τ)

(m⋅σ+l⋅τ)

xy

yxs

=x =y

xys

（4）对于多连体问题，还要考虑位移的单值条件。

应力法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程、相容方程及边界条件的应力分量，然后利用求解出来的应力分量去求解形变分量（物理方程）和位移分量（几何方程）。

【特殊的应力法】对于单连体问题而言

（在常体力情况下，利用应力法求解平面问题时可以使求解方法得到简化） ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 之前我们讨论的体力是坐标的函数，即构成弹性体的若干个微小单元体所受到的体力不是相同的。非常体力情况下体力分量是分别关于x、y的函数（fx、。 fy）

1、常体力情况：

构成弹性体的若干个微小单元体所受到的体力均相同。 常体力情况下，体力分量是两个常数(X,Y)

2、在常体力情况下可以对问题进行简化的依据 常体力情况下，应力的相容方程为：

⎛∂2⎛∂X∂Y⎫∂2⎫

+σ+σ=-1+μ+=0 () 2y) ⎪2⎪(x

⎝∂x∂y⎭⎝∂x∂y⎭

⎛∂2∂2⎫

即： 2+2⎪(σx+σy)=0

∂y⎭⎝∂x 那么现在对于问题的求解就转化为求解下列方程的解：

∂σx∂τyx

++fx=0 ①平衡方程：∂x∂y

∂τxy∂x

+∂σy∂y

+fy=0

⎛∂2∂2⎫

②相容方程： 2+2⎪(σx+σy)=0

∂y⎭⎝∂x

③应力边界条件：(l⋅σx+m⋅τyx)=；(m⋅σy+l⋅τxy)=

s

s

上述方程中均不含有弹性参数（E、μ），对于平面应力问题和平面应变问题均适用。

3、常体力情况下可以做哪些简化

①、针对任一弹性体所求解出来的应力分量，适用于具有同样边界并且受同样外力的其他材料的物体。（因为结果与材料的弹性参数无关）

②、针对平面应力问题所求出的应力分量，也同样适用于边界相同、外力相同的平面应变问题。（因为结果与弹性参数无关，所以无需进行E和μ的替换） ③、对于应力边值问题，可以将弹性体所受体力的作用改换为面力的作用，以便于解答问题或试验量测，从而为试验应力分析提供方便。

④、可将原来所要求解的三个未知的应力分量的问题转化只求解一个应力函数即可。

4、常体力情况下利用应力函数求解平面问题

在按应力求解平面应力边值问题时，只需求出一个满足应力函数相容方程的应力函数即可【见下①】。在求出应力函数ϕ(x,y)后，即可利用应力函数与应力分量之间的关系求解出应力分量【见下②】，注意求解出的应力分量要在边界上满足应力边界条件【见下③】，对于多连体问题，还要满足位移的单值条件。 ①应力函数ϕ(x,y)需要满足的相容方程为：

⎛∂∂⎫4

或写作+ϕx,y=0∇ϕ=0 () 22⎪

⎝∂x∂y⎭

②应力函数ϕ(x,y)与应力分量之间的关系为：

∂2ϕ(x,y)σx=-⋅x 2

∂y∂2ϕ(x,y)σy=-⋅y 2

∂x

22

2

∂2ϕ(x,y)τxy=-

∂x∂y

③由上述关系式求出的应力分量要在边界上满足应力边界条件为：

(l⋅σ+m⋅τ)= (m⋅σ+l⋅τ)=

x

yxs

y

xys

引入应力函数后，就可以将应力法中所要求解的三个方程转化为求解一个关于应力函数的相容方程即可，即使得问题得到了简化。 5、求解应力函数的方法——逆解法与半逆解法

既然使用应力函数可以使得问题得到较大程度的简化，那么如何求解这个应力函数呢？我们说有两种求解应力函数的方法：逆解法与版逆解法。 （1）逆解法的求解步骤：

①首先找出满足相容方程的应力函数； ②由应力函数求解出应力分量

③在给定边界的形状（边界方程）下，根据应力边界条件，由应力反推出面力。从而得出在此组面力下，其解答就是上述应力函数和应力。 （2）半逆解法的求解步骤：

①根据边界形状和受力情况，假设出部分（或全部）应力分量的形式；

②根据应力分量和应力函数之间的关系，由给出的部分的应力分量推求出应力函数；

③验证推求出的应力函数是否满足相容方程；如不满足，则重新回到①； ④如满足，则根据应力函数求出其余的应力分量；

⑤验证全部应力分量是否满足应力边界条件（对于多连体问题，还需要满足位移的单值条件），如果不满足，则重新回到①；如满足，则得到问题的解答。

三、平面问题的极坐标解答

平面极坐标问题的研究思路与平面直角坐标系一样，也是研究如何求解8个基本未知量的求解方法。但是由于坐标系的变化（由（x、y）→（r、θ）），因此在平面问题中的8个基本未知量在极坐标系中表示为：3个应力分量：σr、

σθ、τrθ；3个形变分量：εr、εθ、γrθ；2个位移分量：ur、uθ。

平面极坐标问题也有平面应力问题和平面应变问题两种类型。 平面应力：如圆环、圆盘等； 平面应变：如圆筒

（半平面体视具体情况分析而定）

求解这8个基本未知量的方程（即基本方程）为：

（1）平衡方程：

∂σr1∂τθrσr-σθ

+++fr=0∂rr∂θr

1∂σθ∂τrθ2τrθ

+++fθ=0r∂θ∂rr

（2）几何方程：

∂ur1∂uur1∂ur∂uu；；εr=εθ=+γrθ=+- ∂rr∂θrr∂θ∂rr

（3）物理方程（平面应力问题）

εr=

11

(σr-μσθ)；εθ=(σθ-μσr)；γrθ=τrθG EE

平面应变问题中的物理方程：将E→

Eμ

； μ→2

1-μ1-μ

求解上述8个方程的方法我们仅介绍了应力函数方法（体力为零的条件下）。 与平面直角坐标系中的应力函数法一样，在极坐标系中，我们需要找出一个应力函数ϕ(r,θ)，然后根据极坐标下应力函数与应力分量之间的关系得到应力分量及相应的位移。

当然，这里的应力函数也不是随便取一个就可以，它仍然要满足相容方程。在极坐标下，应力函数所要满足的相容方程为：

⎛∂1∂1∂⎫

++22⎪ϕ(r,θ)=0 2

r∂rr∂θ⎭⎝∂r

应力函数与应力分量之间的关系为：

1∂2ϕ1∂ϕ

σr=22+

r∂θr∂r∂2ϕσθ=2

∂r

1∂2ϕ1∂ϕτrθ=-+2

r∂r∂θr∂θ

22

2

求解出来的应力分量，同样需要在边界上满足应力边界条件（对于多连体，比如说圆筒，还要满足位移的单值条件）。 在极坐标系中，常见的应力边界有：

σr=已知的（径向）面力分量；τrθ=已知的剪切面力分量

或

σθ=已知的（环向）面力分量；τrθ=已知的剪切面力分量

对于具体的问题，要根据所建立的坐标系来写出应力边界条件。 特殊的情况：轴对称问题

在轴对称问题中，应力分量是轴对称的，形变分量是轴对称的；但是位移分量不一定是轴对称的。

在弹性体不存在刚体位移或存在轴对称约束的情况下，位移分量也是轴对称的。

轴对称问题的应力函数：ϕ=Alnr+Br2lnr+Cr2+D 轴对称问题的应力分量：

A

+B(1+2lnr)+2C2rA

σθ=-2+B(3+2lnr)+2C

rτrθ=τθr=0

σr=

轴对称问题相应的位移（平面应力问题）：

uθ=

4Brθ

+Hr-Isinθ+Kcosθ E

ur=

1⎡A⎤-1+μ+21-μBrlnr-1+1-3μBr+21-μCr+Icosθ+Ksinθ ()()()()()⎢⎥E⎣r⎦

如果是多连体问题，由于位移需要满足单值条件，故B=0;

如果位移也是轴对称的，则有B=H=I=K=0。 接触问题：

接触类型：4）

对于两个弹性体相互接触的问题，要注意对于不同的弹性体有不同的弹性参数

E和μ，以及不同的待定常数A、B、C、H、I、K。

对于接触问题，要注意在接触面上还有连续条件，即力和位移都是连续的。

四、空间问题的基本理论

1、基本方程：

平衡方程：

⎡σxτyxτzx⎤⎡∂∂x⎤⎧fx⎫⎢⎥⎢⎥+⎪f⎪=0 τστ⋅∂∂yyzy⎥⎢⎢xy⎥⎨y⎬

⎪f⎪⎢τxzτyzσz⎥⎢⎥⎩z⎭⎣⎦⎣∂∂z⎦

几何方程：

∂v∂u∂w

；；； εx=εz=εy=∂x∂z∂y

γxy=

∂u∂v∂v∂w∂w∂u

；γzx=+ +；γyz=+

∂x∂z∂y∂x∂z∂y

物理方程（平面应力问题）：

τxy1

γxy=εx=⎡σx-μ(σy+σz)⎤⎣⎦GE

τyz1

εy=⎡σy-μ(σz+σx)⎤ γyz= ⎣⎦EG

1τ⎤εz=⎡σ-μσ+σγ=(xy)⎦zxGz

E⎣

2、边界条件：

（1）位移边界条件：

(u)s=；(v)s=；(w)s=

（2）应力边界条件：

⎡σxτyxτzx⎤⎡l⎤⎧x⎫⎢⎥⎢⎥⎪⎪τστyzy⎥⋅⎢m⎥=⎨y⎬ (l,m,n)为边界面外法线的方向余弦 ⎢xy

⎪⎪⎢τxzτyzσz⎥⎢⎥n⎣⎦⎩z⎭⎣⎦

3、圣维南原理对次要边界的简化：

（1）列出静力等效条件（6个等式）

应力所形成的主矢量、主矩=面力的主矢量、主矩 主矢量(Fx,Fy,Fz)相等；主矩相等(Mx,My,Mz)。

（2）在边界附近切取一个单元体，列出该单元体的力的平衡条件（6个等式）

∑Fx=0;∑Fy=0;∑Fz=0;∑Mx=0;∑My=0;∑Mz=0

4、几个概念

（1）体积应变θ（弹性体单位体积在变形前后的改变量）

θ=εx+εy+εz

（2）体积应力Θ

Θ=σx+σy+σz

（3）体积应变与体积应力之间的关系：

1-2μ1-2μ

为体积模量 θ=Θ 比例系数EE

（4）应力张量

⎡σxτyxτzx⎤

⎢⎥

σij=⎢τxyσyτzy⎥(i,j=x,y,z)

⎢τxzτyzσz⎥⎣⎦

（5）应力不变量

应力第一不变量：I1=σx+σy+σz

σxτyxσxτzxσyτzy

应力第二不变量：I2= ++

xyσyxzσzyzσzσxτyxτzx

应力第三不变量：I3=xyσyτzy

xzτyzσz

（6）空间中任意一点处主应力的求出：

解出方程：σ3-I1σ2+I2σ+I3=0的三个根即可。