一元二次方程解决问题

一元二次方程解决问题 讲义

知识总结：

例1、某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？

一、图形问题

动手折一折：（1） 如何把一张长方形硬纸片折成 一个无盖的长方体纸盒？ （2） 无盖长方体的高与裁去的四个小正方形的边长有 什么关系？

问题1：如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器，求 这块铁皮的长和宽．

引申：如上图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体 水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。 例题

例1、如图1，一张长40cm，宽25cm的长方形纸片，裁去角上四个小正方形之后。折成如图2的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm2， 那么纸盒的高是多少？

例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？

例3、在长为40米、宽为22米的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？

书不记，熟读可记；义不精，细思可精。 1 / 4

例2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？

三、销售问题 基本公式

例1、某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？

例3、某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少?

例2、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？

40cm

图 1

例4、邳州市某工厂2008年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2010年共捐款4.75万元,问该厂捐款的平均增长率是多少?

1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）

巩固练习

1、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

2、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适 当的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？

3、某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件。如果商店销售这批服装要获利润12000元，那么这种服装售价应定为多少元？该商店应进这种服装多少件？

4、西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0、1元/kg，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利润200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

课后练习 一、选择题

1．若两个连续偶数的积是288，则这两个数的和为 ( ) A．16或－18

B．34

C．－34

D．34或－34

A．x2＋130x－1400＝0 C．x2－130x－1400＝0

B．x2＋65x－350＝0 D．x2－65x－350＝0

3．(2013．天水)从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的面积是 ( ) A．100m2

B．64m2

C．121m2 D．144m2

4．(2014．昆明) 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A.

144(1x)2100 B. 100(1x)2144 C. 144(1x)2100 D. 100(1x)2144

B．5 cm和12 cm C．8 cm和9 cm D．8.5 cm和8.5 cm

5．要用一条长为30 cm的铁丝围成一个斜边长为13 cm的直角三角形，则两条直角边长分别为 ( ) A．5 cm和10 cm

6．(2013．湛江)由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是 ( ) A．12(1＋a%)2＝5

B．12(1－a%)2＝5 C．12(1－2a%)＝5

D．12(1－a2%)＝5

7．(2013．兰州)据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2，假设这两年兰州市房价的平均年增长率为x，根据题意，所列方程为 ( )

A．7600(1＋x%)x＝8200 B．7600(1－x%)2＝8200 C．7600(1＋x)2＝8200 D．7600(1－x)2＝8200

8. 湛江市2009年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是 ( ) A．5500(1＋x)2＝4000 C．4000(1－x)2＝5500

B．5500(1－x)2＝4000 D．4000(1＋x)2＝5500

9．早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝，在一天内，一人能传染7人，那么经过两天患上甲肝的人数为 ( ) A．64

B．98

C．99

D．128

10．小王将1000元钱存入银行，年利率为x，第二年他把本息和全部存人银行，两年后不计利息税，他得到本息和共a元，由题意可列方程为 ( )

A．100(1＋x)＝a B．1000(1－2x)＝a C．1000(1＋x)2＝a D．1000 (1＋2x)2＝a

11．（2014．山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，

平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ） A．（3+x）（4﹣0.5x）=15

B．（x+3）（4+0.5x）=15

C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

12．三个连续奇数，两两相乘后，再求和得503，那么这三个连续奇数分别是 ( ) A．11，13，15

B．－11，－13，－15

C．11，13，15或－11，－13，－15 D．13，15，17

13．(2013．东营)要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是 ( )

A．5个

B．6个

C．7个

D．8个

14．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为 ( ) A B．5

C

D．7

2．在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，如果要使整幅挂图书不记，熟读可记；义不精，细思可精。 2 / 4

15．（2013．兰州）兰州某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程

A．x(x－10)＝200

B．2x＋2(x－10)＝200 D．x(x＋10)＝200

5．生产某种产品原来每吨耗电28.5度，经过两次改进工艺后，现在每吨耗电18.24度，则工艺改进后平均每次耗电量是改进前的_______．

6．(2013．绥化)甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是_______．

7．某个体经商户第一年以5万元的资金投入，获得8%的利润，第二年以5万元和第一年利润投入，获得6500元的利润，则两年的平均利润率为_______．

C．2x＋2(x＋10)＝200

16．若用长20米的铁丝围成一个面积为24平方米的长方形，则长方形的长和宽分别是( ) A．8米，2米 B．6米，4米 C．7米，3米 D．9米，1米 17．（2014．呼和浩特）已知函数y=

2

的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外

一支上，则关于一元二次方程ax+bx+c=0的两根x1，x2判断正确的是（ ）

8．某种传染性牛疾在牛群中传播迅猛，平均一头牛每隔6小时能传染m头牛，现知一养牛场有a头牛染有此病，那么12小时后共有_______头牛染上此病（用含a，m的代数式表示）． 9．两个数的和等于5，平方和等于13，则这两个数为_______．

10．有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18 m)，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，则鸡场的长与宽分别为_______m和_______m．

11．看下列一组数据：四边形有4个顶点，2条对角线；五边形有5个顶点，5条对角线；六边形有6个顶点，9条对角线…… (1)则一个n边形(n>3)有_______条对角线；

(2)

若某一多边形对角线条数为170条，则它的内角和为_______．

12．一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端滑动xm，可得方程_______．

13．（2014．贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD

A．270

B．250

C．300

D．280

19．假设每一位参加宴会的人见面时两两握手一次，若在一次宴会上，有人统计共握了28次手，则参加宴会人士的人数为 ( ) A．7

B．8

C．14

D．4

20．(2014．天津市)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ） A．

x（x+1）=28

B． x（x﹣1）=28

C． x（x+1）=28

D． x（x﹣1）=28

21．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的产量的增长率为 ( ) A．20%

B．30%

C．50%

D．120%

1

，则新品种花生亩2

为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点

D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8＝，则t=秒时，S1=2

S2

．

14．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为________．

15．某种彩电由于受市场购买力的影响，连续两次降价，价格降低了36%，则平均每次降价的百分率为_______．

16．如图①，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为xm，从图②思考方式出发列出的方程是_______．

22．若一商人进货价降低8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到(x＋10)%，则x%是 ( ) A．12%

B．15%

C．30%

D．50%

23．（2014．湖北鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（ ） 1．(2013．山西)如图是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后 将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍， 则它的体积是_______cm3．

2．在一正方形的铁片上焊接上4 cm宽的一条长方形，接好后的 长方形的面积为96 cm2，则原正方形铁片的面积为_______cm2．

3．（2014•丽水）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程 ．

书不记，熟读可记；义不精，细思可精。 3 / 4

17．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，且不考虑利息税，到期后本息共计1320元，若设年利率为x，根据题意可列方程_______．

18．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价2元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，则每件应降价多少元？若设每件降价x元，可得方程：_______． 三、解答题

1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm， 点P从点A开始沿AB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿 BC向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，

2．(2013．珠海)某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年～2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．

3．（2014•湖北宜昌）在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人． （1

）求

2014年全校学生人数；

（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数） ①求2012年全校学生人均阅读量；

②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．

3．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288平方米？

4．如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：CD＝5：4， 另外三边的和为20米，设AB的长为5x米． (1)请求出AD的长（用含字母x的式子表示）；

(2)若该花圃的面积为50米，且周长不大于30米，求AB的长．

书不记，熟读可记；义不精，细思可精。 4 / 4

均集资的资金在150元的基础上减少了

a%，求a的值．

2

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ (2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

6．一艘轮船以20海里／时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里／时的速度由南向北移动，距台风中心A处时，测得台风中心移到位于A点正南方向的B点处，且AB

＝100海里，若这艘轮船自A点处按原速度继续航行，在途中会不会遇上台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．

7．(2014．贵州安顺)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：

某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？

8．（2014．重庆）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．

（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？ （2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平