吉林大学 微积分BII 标准化作业

第十一次作业

学院姓名学号

一、填空题 1．z =

4x −y 2ln(1−x 2−y 2)

的定义域为．

2．f (x ) =

x

，f (x ) =f (y ) +f (z ) 确定z =F (x , y ) ，则F (x , y ) ． 1−x

ln(1+x 2+y 2)

= 3．lim

x →0arcsin(x 2+y 2) y →04．z =

x +y

的间断点构成集合 ．

1−x −y

5．设z =arctan

d z x

，x =cos t ，y =sin t ，则= y d t

则f x ′(3, 4) =f y ′(3, 4) =． 6．设f (x , y ) =x +y −x 2+y 2，7．设u =ln(3x −2y +z ) ，则d u =． 8．设u =e

−x

x ∂2u ⎛1⎞sin ，则在⎜2, ⎟处的值为

y ∂x ∂y ⎝π⎠

二、单选题 1．lim

x →0

y →0

3xy

=( ) ．

x 2+y 23； 2

（A ） （B ）0； （C ）

6； 5

（D ）不存在．

2．f (x , y ) 在(x 0, y 0) 两偏导数f x ′(x 0, y 0) ，f y ′(x 0, y 0) 都存在是f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处连续的( )条件．

（A ）充分必要；

（B ）必要非充分； （D ）非充分非必要．

（C ）充分非必要；

3．下列说法正确的是( )．

（A ）f (x , y ) 在点(x , y ) 可微的充分必要条件是f (x , y ) 在(x , y ) 处存在偏导数； （B ）f y ′(x , y ) 及f x ′(x , y ) 存在是f (x , y ) 在(x , y ) 可微的必要条件；

（C ）f (x , y ) 在(x , y ) 处连续且偏导数存在是f (x , y ) 在(x , y ) 可微的充分条件； （D ）f (x , y ) 在(x , y ) 处可微，则f x ′(x , y ) 及f y ′(x , y ) 在(x , y ) 处连续．

⎧xy

, (x , y ) ≠(0, 0) ⎪

在(0, 0) 处( )． 4．二元函数f (x , y ) =⎨x 2+y 2

⎪(x , y ) =(0, 0) ⎩0, （A ）连续，偏导数存在；

（B ）连续，偏导数不存在； （D ）不连续，偏导数不存在．

（C ）不连续，偏导数存在； 5．设z =

2

y ∂z ，其中f (u ) 为可导函数，则=( )． 2

f (x −y ) ∂x

2xy f ′(x 2−y 2)

； （B ）−

f 2(x 2−y 2) f (x 2−y 2) −y f ′(x 2−y 2)

（D ）． 222

f (x −y )

2xy

（A ）−22；

f (x −y 2)

y f ′(x 2−y 2)

； （C ）−22

2

f (x −y ) 三、计算题

∂z ∂3z

1．设z =y ln(xy ) ，求, 2．

∂y ∂y ∂x

∂2z

2．设z =f (x , xy ) +x ，f 具有二阶偏导数，求．

∂x ∂y

y

∂2z

． 3．设方程z −3xyz =a 确定z 是x , y 的函数，求

∂x ∂y

3

2

4．设z =∫v 2+u e −t d t , u =sin x , v =e x ，求

2

d z ． 2u

5．设⎧⎨xu −yv =0, 确定隐函数 ⎩

yu +xv =1,

d x

u =u (x , y ), v =v (x , y ) ，试求∂u ∂u ∂x ,

∂y , ∂v ∂x , ∂v

∂y ．

四、证明题

设函数z =f (u ) ，方程u =ϕ(u ) +∫p (t ) d t ，确定u 是x , y 的函数，其中f (u ), ϕ(u ) 可

y x

微，p (t ), ϕ′(u ) 连续，且ϕ′(u ) ≠1，求证：p (y )

∂z ∂z +p (x ) =0． ∂x ∂y

第十二次作业

学院 班级 姓名 学号

一、填空题

1．u =e x cos(yz ) 在(0, 1, 0) 处沿a =(2, 1, −2) 方向的方向导数为 2．函数u =ln(x 2+y 2+z 2) 在M (1, 2, −2) 处的梯度为

3．f (x , y ) =+x +y 2在(1, 0) 点带有peano 余项的二阶Taylor 公式

z =2x 2+y 2−y 在(2, 3) 处增加最快的方向l 与x 轴正向夹角的正切为 4．

5．曲面z =x 2+2y 2−3上点(1, 1, 0) 处的切平面方程为程 ．

6．曲线x =2sin 2t , y =2sin 2t , z =4cos 2t 在t =二、单选题

1．下列说法不正确的是( ) ．

（A ）f (x , y ) 在点(x , y ) 处沿x 轴正向的方向导数等于f (x , y ) 在(x , y ) 处对x 的偏导数；

（B ）f (x , y ) 在点(x , y ) 处沿x 轴负向的方向导数等于f (x , y ) 在点(x , y ) 处对x 的偏导数的相反数；

（C ）f (x , y ) 在(x , y ) 处沿任何方向的方向导数，以其梯度方向的方向导数值最大； （D ）若f (x , y ) 在点(x , y ) 处沿任何方向的方向导数存在，则f (x , y ) 在(x , y ) 处可微．

⎛π⎞

2．z =e x (cosy +x sin y ) 在点⎜0, ⎟处的方向导数最大值为( )．

⎝2⎠

π

6

点的切线方程为．

（A ）2； （B ）2； （C ）5； （D ）1．

3．若z =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 取得极值，则∇f (x 0, y 0) =( )．

（A ）0； （B ）存在； （C ）不存在； （D ）不确定．

K K

4．如果f (x ) 在有界闭区域Ω上连续，则f (x ) 在Ω上( )． （A ）一定能取得最大值和最小值； （B ）不一定能取得最大值和最小值； （C ）一定能取得最大值不一定取得最小值；

（D ）一定能取得最小值，不一定取得最大值． 三、计算题

1．求函数f (x , y ) =x 4+y 4−x 2−2xy −y 2的极值．

2．在椭圆x 2+4y 2=4上求一点，使其到直线2x +3y −6=0的距离最短．

3．在椭圆面2x 2+y 2+3z 2=6上求一点，使该点处法线垂直于平面2x +y +3z =1，并写出法线方程．

4．求u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点M (1, 1, 1) 处沿曲线在该点的切线正向方向（t 增大的方向）的方向导数．

5．求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点M 0(x 0, y 0, z 0) 处沿着球面的外法线方向的方向导数．

第十三次作业

学院 班级 姓名 学号

一、填空题

1．I =∫∫sin x 2+y 2d x d y ，D :4π2≤x 2+y 2≤9π2，则I =

D

2．积分∫d x ∫e −y d y 的值等于．

x

22

2

I =∫∫∫z d v ，其中Ω是以原点为球心，R 为半径的上半个球体，则I ． 3．

Ω

z ln(x 2+y 2+z 2+1)

x d y d z ，Ω为x 2+y 2+z 2≤1，则I 4．I =∫∫∫222

x +y +z +1Ω5．下面两个积分的大小关系是∫∫ln(x +2y ) d σD

∫∫[ln(x +2y )]d σ其中D

D

3

是矩形闭区域：3≤x ≤4, 0≤y ≤1．

二、单项选择题

1．设有空间区域

Ω1:x 2+y 2+z 2≤R 2, z ≥0及Ω2:x 2+y 2+z 2≤R 2, x ≥0, y ≥0, z ≥0，则( ) ．

（A ）∫∫∫x d v =4

Ω1

∫∫∫x d v ；

Ω2

（B ）∫∫∫y d v =4

Ω1

∫∫∫

Ω2

Ω2

y d v ；

（C ）∫∫∫z d v =4

Ω1

∫∫∫

Ω2

y d v ；

（D ）∫∫∫xyz d v =4

Ω1

∫∫∫xyz d v ．

2．设D 是xoy 平面上以(1, 1), (−1, 1) 和(−1, −1) 为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限部分，则∫∫(xy +cos x sin y ) d x d y 等于( )．

D

（A ）2∫∫cos x sin y d x d y ；

D 1

（B ）∫∫xy d x d y ；

D 1

（C ）4∫∫(xy +cos x sin y ) d x d y ；

D 1

（D ）0．

3．三重积分I =∫∫∫(x 2+y 2+z 2) d v ，Ω是由z 2=x 2+y 2与z =−1围成的区域，则I

Ω

可化为( )．

（A ）∫

2π0

d θ∫r d r ∫(r 2+z 2) d z ；

1r

（B ）∫

2π0

d σ∫r d r ∫(r 2+z 2) d z ；

r

1−1

π

（C ）4

∫

20

d θ∫r d r ∫(r +z ) d z ； （D ）∫02d θ∫0r d r ∫r (r 2+z 2) d z ．

−1

1−r

22

π

1−1

三、计算题

1．计算二重积分∫∫xy cos(xy 2) d x d y ，D :0≤x ≤

π

, 0≤y ≤2．

D

2．计算二重积分∫∫

f (x , y ) d x d y ，D

D :0≤x ≤1，0≤y ≤1．

2

其中f (x , y ) =⎨

⎧1−x −y , ⎩0,

x +y ≤1,

x +y >1,

3．利用极坐标计算积分∫d x ∫

2a 2ax −x 20

(x 2+y 2) d y ．

4．设平面薄片所占的闭区域D 是由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成，它的面密度

ρ(x , y ) =x 2+y 2，求该薄片的质量．

5．计算∫∫∫y cos(z +x ) d x d y d z ，其中区域V 由y =x , y =0, z =0, x +z =

V

π

2

所围成．

6．利用球坐标计算∫∫∫z d v ，其中V 是由球面x 2+y 2+z 2=2az (a >0) 与圆锥面

V

z 2=x 2+y 2围成的位于圆锥面上方的闭区域．

7．求由曲面x 2+y 2=az 与z =2a −x 2+y 2(a >0) 所围成立体体积．

第十四次作业

学院 班级 姓名 学号

一、填空题

1．I =∫x d s ，其中L 为上半圆周x 2+y 2=R 2, y ≥0，则I

L

2．I =(x 2+y 2) d S ，其中S 为立体x 2+y 2≤z ≤1的边界面，则I

S

3．球面x 2+y 2+z 2=A 2含在圆柱面x 2+y 2=Ax 内部的那部分面积S ． 4．设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y =x 2及直线y =x 所围成，它在点(x , y ) 处

的面密度ρ(x , y ) =x 2y ，则该薄片的质心坐标为=，=二、单项选择题

则I =∫x d s =(1．设L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界，

L

) ．

（A ）（C ）

62+5−1

；

12−62+55−1

；

12

（B ）（D ）

62−55−1

；

12−62−55−1

．

12

1

2．I =∫∫d S ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=4在平面z =1上方的球冠，则( )．

z S

（A ）πln 2； （B ）−πln 2； （C ）4πln 2； （D ）−4πln 2．

3．半径为a 的均匀半圆薄片（面密度ρ为常数）对于其直径边的转动惯量为( )．1111

（A ）πρa 3； （B ）πρa 4； （C ）πρa 3； （D ）πρa 4．

616128

三、计算题

1．计算(x 2+y 2) d s ，其中L 是圆周(x −1) 2+(y −1) 2=1．

L

2．计算(x +y +z ) d s ，其中Γ是曲面x 2+y 2+z 2=

Γ

222

9

与平面x +z =1的交线． 2

3．求底圆半径相等的两个直交圆柱面x 2+y 2=R 2及x 2+z 2=R 2所围立体的表面积．

2222⎧⎪x +y , x +y ≤z 时;

4．计算F (t ) =f (x , y , z ) d S ，其中f (x , y , z ) =⎨x 2

+y 2

+z 2

=t 2

5．求ϕ(y ) =∫y 2sin xy

y

x

x 的导数．

⎪⎩0,

x 2+y 2

>z 时.

第十五次作业

学院 班级 姓名 学号

一、填空题

1．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则(2xy −2y ) d x +(x 2−4x ) d y ．

L

2．设S 是圆柱面x 2+y 2=R 2外侧介于z =0到z =3的部分，则

∫∫x

S

2

y 3z d x d y =． 二、单项选择题

1．设I =xy d x ，其中L 为(x −1) 2+y 2=1及x 轴所围成的在第一象限内区域的整个

L

边界曲线，取逆时针方向，则I = ( ) ．

（A ）

π

2

； （B ）−

π

2

； （C ）−

1π

−； 32

（D ）−

1π+． 32

2．I =d y d z ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=4的外侧，则I 等于( )．

S

（A ）

32π16π

； （B ）； 33

（C ）0； （D ）4π．

三、计算题

1．计算曲线积分I =(y −z ) d x +(z −x ) d y +(x −y ) d z ，其中

Γ

Γ是圆柱面

x 2+y 2=a 2与平面

x z

+=1(a >0, b >0) 的交线，从z 轴正向看去，Γ是逆时针方向． a b

G x 2y 2

2．在椭圆2+2=1上每一点M (x , y ) 处有作用力F (x , y ) ，其大小等于从点M 到椭

a b

圆中心的距离，而方向指向椭圆中心，试计算质点P 沿椭圆从点A (0, b ) 移到点B (a , 0) 时，

G

力F (x , y ) 所作的功W ．

3．计算∫∫x 2y 2z d x d y ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧在x ≥0, y ≥0的部分．

S

4．计算I =∫∫x d y d z +y d z d x +z d x d y ，其中S 为曲面z =x 2+y 2在第Ⅰ卦限中0≤z ≤1

S

部分的上侧．

其中f 为5．计算I =∫∫[f (x , y , z ) +x ]d y d z +[2f (x , y , z ) +y ]d z d x +[f (x , y , z ) +z ]d x d y ，

S

连续函数，S 为平面x −y +z =1在第四卦限部分的上侧．（提示：化为对面积的曲面积分）．

四、综合题

求一条曲线L ，使得沿该曲在过点O (0, 0) 和点A (π, 0) 的曲线族y =a sin x (a >0) 中，

线从点O 到点A 的曲线积分∫(1+y 2) d x +(2x +y ) d y 的值最小．

L

第十六次作业

学院 班级 姓名 学号

一、填空题

I =(2x −y +4) d x +(5y +3x −6) d y ，1．其中L 为顶点分别为(0, 0), (3, 0) 和(3, 2)

L 的三角形正向边界，则I = ．

2．I =x d y d z +y d z d x +z d x d y ，其中S 是由x =0, x =1, y =0, y =2, z =0, z =3围成

S

的长方体表面的外侧，则I = ．

3．I =∫2xy d x +x 2d y ，其中L 是点O (0, 0) 到点A (1, 1) 的任何路线，则I = ．

L

4．微方方程(x 2+y ) d x +(x −2y ) d y =0的通解为

二、单项选择题

1．设I =(e x sin y −y ) d x +(e x cos y −1) d y ，其中L 是以点O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1) 为顶

L

点的三角形的整个边界曲线，取逆时针方向，则I 等于( )．

1 （A ）0； （B ）1； （C ）； （D ）2． 2

2．I =x (y −z ) d y d z +(x −y ) d x d y ，其中S 为x 2+y 2=1, z =0, z =3所围成立体表面

S

的外侧，则I 等于( )．

（A ）0；

三、计算题

1．计算∫(x 2−y ) d x −(x +sin 2y ) d y ，其中L 是圆周y =2x −x 2上从点A (2, 0) 到点

L 9（B ）−π； 29（C ）π； 2（D ）1．

O (0, 0) 的一段弧．

2．计算曲线积分I =L y d x −x d y ，其中L 是圆周(x −1) 2+y 2=2，L 取逆时针方向． 222(x +y )

3．用高斯公式计算曲面积分I =∫∫(8y +1) x d y d z +2(1−y 2) d z d x −4yz d x d y ，其中S 是

S

⎧⎪z =y −1它的法向量与y 轴正向的夹角由曲线⎨(1≤y ≤3) 绕y 轴旋转一周所成的曲面，⎪⎩x =0

恒大于

π2．

4．利用斯托克斯公式计算曲线积分y d x +z d y +x d z ，其中ΓΓ为圆周

⎧x 2+y 2+z 2=a 2

⎨⎩x +y +z =0

(a >0) ，若从z 轴正向看去，Γ取逆时针方向．

5．曲线积分∫xy 2d x +y ϕ(x ) d y 与路径无关，其中ϕ(x ) 具有连续的导数，且ϕ(0) =0，

L

求ϕ(x ) ，并计算I =∫

(1, 1) (0, 0) xy 2d x +y ϕ(x ) d y ．

G ⎧9y −2x 2y −6x ⎫6．设在区域D ={(x , y ) 2x +y >0}上定义了向量场A =⎨，试确, (2x y ) x y ++(2) ⎩⎭

定λ的值，使该向量场为有势场，并求势函数．

四、综合题

设f (x ) 具有一阶导数，f (0) =0，且[xy (x +y ) −yf (x )]d x +[f (x ) +x 2y ]d y =0是全微分方程，求f (x ) 及全微分方程之解．

第十七次作业

学院 班级 姓名 学号

一、填空题

⎛2x +1⎞1．幂级数∑⎜⎟的收敛域为 ． 3⎠n =0⎝

x 2n

2．幂级数∑的和函数为是S (x ) = ． (2n )! n =0∞∞n

3．e x 展开成x −3的幂级数为

4．设f (x ) 是以2为周期的周期函数，它在区间(−1, 1]上的定义为⎧2, −1

收敛于 ．

⎧x 2, 0≤x

S (x ) =．

二、单项选择题

1．已知幂级数∑a n x n 在x =−4处条件收敛，则该幂级数的收敛半径( )．

n =0∞

（A ）R

∞（C ）R >4； （D ）R ≤4． (−1) n

2n −1的收敛半径( )． 2．幂级数∑n n =14n

（A ）4；

3．将f (x ) =（B ）1； 4 （C ）2； （D ）1． 21展成(x −3) 的幂级数，该幂级数的收敛区间为( )． x

（A ）(0, 6) ； （B ）(−6, 0) ； （C ）(−1, 1) ； （D ）(−3, 3) ．

14．将f (x ) =x 2+1(0≤x ≤1) 展开成以2为周期的正弦级数时，该级数在x =−处收2

敛于( )．

（A ）5； 4（B ）−5； 4（C ）3； 4 （D ）−3． 4

三、计算题

1．求幂级数∑(−1)

n =1∞n −1(x −4) n 的收敛域． n

2．求幂级数∑n =1∞n n x 的收敛域及和函数． n +1

3．将f (x ) =arctan x 展成麦克劳林级数．

4．将f (x ) =ln x 展开成x −2的幂级数．

⎧π⎪−4, −π

展开成傅立叶级数，并由它推出： 5．将f (x ) =⎨π⎪, 0≤x ≤π⎩4

π

4=1−111+−+" ． 357

6．将f (x ) = x (0≤x ≤π) 展开成余弦函数． 2

五、已知a 0=3, a 1=5，且对任何自然数n >1，有na n =2a n −1−(n −1) a n −1，证明：当3x

n =0∞

第十八次作业

学院 班级 姓名 学号

一、填空题

1．微分方程y ′′+2y ′−3y =0的通解为 2．微分方程2y (4) −2y (3) +5y ′′=0的通解为

3．设y 1=e x , y 2=x e x , y 3=3e x 都是二阶线性微分方程y ′′+P (x ) y ′+Q (x ) y =0的解，则该方程的通解为 ．

d 2y

4．微分方程2=x +e x 的通解是

d x

5．二阶常系数非齐次线性微分方程y ′′−y ′=1的特解y *= 二、单项选择题

1．下列各组函数可以构成微分方程y ′′+2y ′+y =0的基本解组的是( )． （A ）sin x , x sin x ； 个特解y *=( )．

（A ）A e 2x ； （B ）Ax e 2x ； （A ）A e 2x sin x ；

（C ）Ax 2e 2x ；

（D ）x e 2x ．

3．微分方程y ′′+4y ′+5y =e 2x sin x 有特解y *=( )．

（B ）e 2x (A cos x +B sin x ) ；

（D ）e [(ax +b ) cos x +(cx +d ) sin x ]．

2x

（B ）e x , x e x ； （C ）e −x , x e −x ； （D ）e x , e −x ．

2．若2是微分方程y ′′+p y ′+qy =e 2x 的特征方程的一个单根，则该微分方程必有一

（C ）x e 2x (A cos x +B sin x ) ； 三、计算题

1．求微分方程y ′′−ay =0的通解，其中a 为常数．

2．求微分方程y ′′+4y =2x 2在原点处与直线y =x 相切的特解．

3．求微分方程y ′′+y ′=e −x +cos x 的通解．

⎧d x

+3x −y =0, ⎪⎪d t

4．解微分方程组⎨

d y ⎪−8x +y =0. ⎪⎩d t

5．解欧拉方程x 2y ′′+x y ′+2y =x ln x ．

四、综合题

1．已知ϕ(0) =0, ϕ′(0) =1，试确定ϕ(x ) ，使曲线积分

x [e ∫+2ϕ(x ) +ϕ′(x )]y d x +ϕ′(x ) d y L

与路径无关．

2．设对任意x >0，曲线y =f (x ) 上点(x , f (x )) 处的切线在y 轴上的截距等于1x

f (t ) d t ，求f (x ) 的表达式． x ∫0

综合练习题二

学院 班级 姓名 学号

一、填空题

1．函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续且可偏导，是f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 可微的 条件．

2．设z =e xy −cos e xy ，则d z = 3．函数u =xy 2+z 3−xyz 在点(1, 1, 2) 处沿方向角α=导数为 ．

π

3

, β=

π

4

, γ=

π

3

的方向的方向

x 2y 2

=1，取逆时针方向，则(2xy +3x 2+4y 2) d x =4．设L 为椭圆+

43L 5．周期为2的函数f (x ) ，它在一个周期内的表达式为f (x ) =x , −1≤x ≤1，设它的⎛3⎞

傅里叶级数的和函数为S (x ) ，则S ⎜⎟=

⎝2⎠

6．以y 1(x ) =sin x ，y 2(x ) =cos x 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 二、单项选择题

1．函数z =x 2+y 2在点(0, 0) 处( ) ． （A ）不连续；

（B ）偏导数存在； （D ）可微． （B ）1+xy +y 2； （D ）1+x 2y +y 2．

（C ）沿任一方向的方向导数存在； （A ）1−xy +x 2； （C ）1−x 2y +y 2；

′′(x , y ) =2，且f (x , 0) =1, f y ′(x , 0) =x ，则f (x , y ) 为( )． 2．设z =f (x , y ), f yy

3．设D 是xOy 平面上以(1, 1), (−1, 1), (−1, −1) 为顶点的三角形区域，D 1是D 在第一象限部分，则∫∫(xy +cos x sin y ) d x d y 等于( )．

D

（A ）2∫∫cos x sin y d x d y ；

D 1

（B ）2∫∫xy d x d y ；

D 1

（C ）4∫∫(xy +cos x sin y ) d x d y ；

D 1

（D ）0．

4．设L 是圆周x 2+y 2=a 2(a >0) 负向一周，则曲线积分(x 3−x 2y ) d x +(xy 2−y 3) d y

L

等于( )．

（A ）0； 5．若lim

n →∞

（B ）πa ；

4

（C ）−πa ；

4

（D ）−

πa 4

2

．

∞a n +11

=，则幂级数∑a n x 2n ( )． a n 4n =0

（A ）当x

（B ）当x >

1

时发散； 41

（D ）当x >时发散．

2

6．微分方程y ′′−y ′=e x +1的特解形式为( )． （A ）a e x +b ；

3

（B ）a e x +bx ； （C ）ax e x +b ； （D ）x (a e x +b ) ．

∂z ∂z ∂2z y ⎞⎛

． 三、设z =x f ⎜xy , ⎟，f 具有连续的二阶偏导数，求, ,

∂x ∂y ∂x ∂y x ⎝⎠

四、求

222

∫∫∫e d x d y d z ，其中Ω为球体x +y +z ≤1．

z

Ω

⎧x 2+y 2=1,

其中Γ是曲线⎨从z 轴看去Γ的五、求(z −y ) d x +(x −z ) d y +(x −y ) d z ，

−+=2, x y z Γ⎩方向是顺时针的．

六、求的上侧．

222222

z =R −x −y xy d y d z +yz d z d x +zx d x d y , 其中S 是上半球面(R >0) ∫∫S

七、将函数f (x ) =

11+x 1

+arctan x −x 展开成x 的幂级数． ln

41−x 2

八、设u =f (r ), r =

∂2u ∂2u

x +y 满足方程2+2=0，求f (r ) ．

∂y ∂x

2

2

九、第一卦限内作球面x 2+y 2+z 2=a 2的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，求这切面的切点．

⎧x 2y 222

x y +≠0, , ⎪2

十、证明函数f (x , y ) =⎨(x +y 2) 3/2在点(0, 0) 处连续，偏导数存在，

⎪0, x 2+y 2=0, ⎩但不可微．

十一、设在闭区间[a , b ]上f (x ) 连续且恒大于零，证明∫f (x ) d x ∫

a b

b a

d x

≥(b −a ) 2． f (x )