高考数学二面角及平面的垂直

9．4二面角及平面的垂直

一、明确复习目标

1. 掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题

2. 掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小

3．在研究垂直和求二面角的问题时，要能灵活运用三垂线定理及逆定理

二．建构知识网络

1. 二面角、平面角的定义——；

范围：[0,π].

两个平面相交成90二面角时，叫两个平面垂直.

2．判定两平面垂直的方法：

①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角； ②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直⇒面面垂直”.

3．二面角的平面角的作法：

①直接利用定义；

②利用三垂线定理及其逆定理;

③作棱的垂面.

三、双基题目练练手

1. 在三棱锥A —BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有( )

A . 平面ABD ⊥平面ADC

B . 平面ABD ⊥平面ABC

C . 平面ADC ⊥平面BCD

D . 平面ABC ⊥平面BCD

2. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面. 考查下列命题，其中正确的命题是 （ ）

A . m ⊥α, n ⊂β, m ⊥n ⇒α⊥β

B . α//β, m ⊥α, n //β⇒m ⊥n

C . α⊥β, m ⊥α, n //β⇒m ⊥n D . α⊥β, α β=m , n ⊥m ⇒n ⊥β

3. 设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：① l ⊥α; ② l ∥β; ③α⊥β, 若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成正确命题的个数是 （ ）

A .3 B .2 C . 1 D . 0

4. P 为△ABC 所在平面外的一点，则点P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂心的充分必要条件是

A . P A =PB =PC B . P A ⊥BC ，PB ⊥AC ( )

C . 点P 到△ABC 三边所在直线距离相等

D . 平面P AB 、平面PBC 、平面P AC 与△ABC 所在的平面所成的角相等

5．如图在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足__________时，平面MBD ⊥平面PCD .

6. 夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.

◆答案提示：1-4. CBBB ；

5. MD ⊥PC 或MB ⊥PC ; 6. a

四、典型例题做一做

【例1】 如下图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .

（1）求证：AB ⊥BC ；

（2）若设二面角S —BC —A 为45°，SA =BC ，求二面角A —SC —B 的大小. A

C

证明（1）：作AH ⊥SB 于H ，

∵平面SAB ⊥平面SBC ，

∴AH ⊥平面SBC . AH BC ，又SA ⊥平面ABC ，

∴SA ⊥BC . SA ∩SB =S ，

∴BC ⊥平面SAB . ∴BC ⊥AB .

解（2）：∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC .

∴平面SAB ⊥BC ，∠SBA 为二面角S —BC —A 的平面角.

∴∠SBA =45°.设SA =AB =BC =a . 作AE ⊥SC 于E ，连结EH .

由(1)知AH ⊥平面SBC , ∴AE 在面SBC 内的射影EH ⊥SC ，∠AEH 为二面角

A —SC —B 的平面角，

AH =

∴sin ∠AEH =22a ，AC =2a ，SC =a ，AE =2，二面角A —SC —B 为60°. 63a ， 【例2】 已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，若过面对角线AB 1且与另一面对角线BC 1平

行的平面交上底面A 1B 1C 1的一边A 1C 1于点D .

（1）确定D 的位置，并证明你的结论；

（2）证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ；

（3）若AB ∶AA 1=2，求平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角的大小.

_ A 1 B C 1 C

分析：本题结论不定，是“开放性”的，点D 位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出. 由于AB 1与BC 1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC 1沿BA 平行移动，BC 1取AE 1位置，则平面AB 1E 1一定平行BC 1，问题可以解决.

（1）解：如下图，将正三棱柱ABC —A 1B 1C 1补成一直平行六面体ABCE —A 1B 1C 1E 1，由AE 1∥BC 1，AE 1⊂平面AB 1E 1，知BC 1∥平面AB 1E 1，故平面AB 1E 1应为所求平面，此时平面AB 1E 1交A 1C 1于点D ，由平行四边形对角线互相平行性质知，D 为A 1C 1的中点.

A C 1

（2）证明：连结B 1D ，则B 1D ⊥A 1C 1; 从直三棱柱定义知AA 1⊥底面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥B 1D , 又A 1D ∩AA 1=A 1，

∴B 1D ⊥平面AA 1D ，又B 1D ⊂平面AB 1D ，

∴平面AB 1D ⊥平面AA 1D .

（3）解：因为平面AB 1D ∩平面AA 1D =AD ，所以过A 1作A 1H ⊥AD 于点H . 作HF ⊥AB 1于点F ，连结A 1F ，从三垂线定理知A 1F ⊥AB 1.

故∠A 1FH 是二面角A 1—AB 1—D 的平面角.

设侧棱AA 1=1，侧棱AB =2.

于是AB 1=2+(2) 2= 3.

在Rt △AB 1A 1中，A 1F =AA 1⨯A 1B 1=

AB 11⋅23=6， 3

在Rt △AA 1D 中，AA 1=1，A 1D =21A 1C 1=， 22

6. 2

AA 1⨯A 1D ∴A 1H ==. 3AD AD =AA 1+A 1D 2= 2

在Rt △A 1FH 中，sin ∠A 1FH =A 1H 2=，∴∠A 1FH =45°. 2A 1F

00因此知平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角为45或135.

【例3】在四棱锥P -ABCD 中，已知ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，设P A =AB =1，BC =2，求二面角B -PC -D 的大小.

解析1. 定义法 过D 作DE ⊥PC 于E ，

过E 作EF ⊥PC ，交BC 于F ，连接

FD ，则 ∠DEF 是所求二面角B -PC -D

的平面角. 求解二面角B -PC -D 的大小，只需解△DEF 即可.

所求角为π-P

A D

C B

解析一

解析2. 垂面法 易证面P AB ⊥面PBC ，过A 作AM ⊥BP 于M ，显然AM ⊥面PBC ，从而有AM ⊥PC ，同法可得AN ⊥PC ，再由AM 与AN 相交与A 得PC ⊥面AMN . 设面AMN 交PC 于Q ，

则∠MQN 为二面角B -PC -D 的平面角；

∠MAN 为它的补角，在三角形AMN 中可解. 计算较繁.

P

ＭA D

B 解析二 C

解析3. 利用三垂线求解把四棱锥P -ABCD 补成如图的直三棱柱P AB -EDC ，显然二面角E -PC -D 与二面角D -PC -B 互补，转化为求二面角E -PC -D .

易证面PEDA ⊥PDC ，过E 作EF ⊥ PD

于F ，显然PF ⊥面PDC ，在面PCE 内，

过E 作EG ⊥PC 于G ，连接GF ，由三

线得GF ⊥ PC 即∠EGF 为二面角E -PC -D 的平面角，只需解△EFG 即可. P E

D

B C

解析三

解析4. 射影面积法。由解析3知，△PFC 为△ PEC

在面PDC

上的射影，由射影面积公式得cos θ=

，所求角为π-

D B

解析四 C

解析5. 在面PDC 内，分别过D 、B 作DE ⊥PC 于E ，BF ⊥PC 于F ，连接EF 即可. 利用平面知识求BF 、EF 、DE 的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可.

P

ＦB

解析五 C D

◆思悟提炼：想一想求二面角都用了哪些方法：

【例4】由一点S 引不共面的三条射线SA 、SB 、SC ，设∠ASB =α，∠BSC =β，∠ASC =γ，其中α，β，γ均为锐角，则平面ASB ⊥平面BSC 的充要条件是cos α⋅cos β=cos γ．

证明：必要性．如图(1), 过点A 作AD ⊥SB 于D .

∵平面ASB ⊥平面BSC , ∴AD ⊥平面BSC ．

过D 作DE ⊥SC 于E ，连AE ，则AE ⊥SC ．

SD 在Rt △ADS 中，cos α=； SA

在Rt △DES 中，cos β=

A SE ； SD

S

(1)

SE ，由此可得 SA

SD SE SE cos α⋅cos β=⋅==cos γ． 必要性得证． SA SD SA 在Rt △AES 中，cos γ=

充分性．如图2，过点A 作AA 1⊥SB 于A 1，过点A 1作A 1C 1⊥SC 于C 1.

在Rt △AA 1S 中，cos α=

在Rt △A 1C 1S 中，cos β=

∵cos γ=cos α⋅cos β=

∴SC 1=SA ⋅cos γ． A SA 1； SA SC 1; SA 1SA 1SC 1SC 1⋅=, SA SA SA 1

S γ 1

C 1 C 1 B

过A 作AC 1'⊥SC ，垂足为C 1'，在Rt △AC 1'S 中，SC 1'=SA ⋅cos γ．

由此得SC 1'=SC 1，即C 1'与C 1重合，故SC ⊥AC 1．

而SC ⊥A 1C 1，且AC 1 A 1C 1=C 1，

∴SC ⊥平面AA 1C 1，∴SC ⊥AA 1．

又∵SB ⊥AA 1，SB SC =S ，

∴AA 1⊥平面BSC ，而AA 1⊂平面ASB ，

∴平面ASB ⊥平面BSC ．充分性得证．

(2)

五．提炼总结以为师

1. 注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化和应用.

2．求二面角的方法是：

①找（或作）平面角，②用射影法: cos θ=

③用异面直线上两点间距离公式.

3．作平面角的方法：（1）定义法

（2）三垂线定理； （3）垂面法 .

s 底s 侧；

同步练习 9.4二面角、面面垂直

【选择题】

1. P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A 、B 的任一点，则下列关系不正确的是 ( )

A PA ⊥BC B AC ⊥PB

C PC ⊥BC D BC ⊥平面P AC

2．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B —AD —C 后，BC ＝1a ，且二面角B —AD —C 的大小为 （ ） 2

A ．30° B .45° C ．60° D ．90°

03．在120的二面角α-l -β 内，有一点P 到面α、β的距离分别是6和9 ，则点

P 到棱l 的距离等于 （ ）

A ．

B

C

D . 12

【填空题】

4. 设a 、b 是异面直线，α、β是两个平面，且a ⊥α，b ⊥β，a ⊄β，b ⊄α，则当_______（填上一种条件即可）时，有α⊥β.

5．(2005浙江) 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图) ．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．

6．一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β，则α＋β的范围是_____．

◆答案提示： 1-3. BCB ; 4. a ⊥b ;

5. 90︒; 6.[0°，90°]；

提示:3. l ⊥平面P AB 于C , PC 是ΔP AB 外接圆直径，用余、正弦定理.

【解答题】

ο7．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面三角形ABC 为等腰直角三角形，且∠ABC =90 ，

E 为C 1C 的中点 ，F

是BB 1上是BF =1BB 1，AC =AA 1=2a , 求平面EF A 与面ABC 所成角的大小 4

答案： arctan 2

8．已知矩形ABCD 中, AB =1, BC =a (a >0),P A ⊥面ABCD , P A =1

（1）问BC 边上是否存在一点Q ，使得PQ ⊥QD 并且说明理由

（2）若BC 边上有且只有一个点Q 使得PQ ⊥QD ，求这时二面角Q —PD —A 大小

P

A

B Q C D

解：（1） a =2时只有一点；a ＞2时有两点；a ＜2时没有点；

（2）

9．（2004天津） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .

（Ⅰ）证明P A //平面EDB ；

（Ⅱ）证明PB ⊥平面EFD ；

（Ⅲ）求二面角C —PB —D 的大小.

（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO .

∵底面ABCD 是正方形，

∴点O 是AC 的中点

在∆PAC 中，EO 是中位线，∴P A // EO

而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，

所以，P A // 平面EDB

（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ，

∴PD ⊥DC ∵PD =DC ，可知∆PDC 是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，

∴DE ⊥PC . ①

同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC .

∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，

∴BC ⊥平面PDC .

而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE . ②

由①和②推得DE ⊥平面PBC .

而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB

又EF ⊥PB 且DE EF =E ，

所以PB ⊥平面EFD .

（3）解：由（2）知，PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角. 由（2）知，DE ⊥EF , PD ⊥DB .

设正方形ABCD 的边长为a ，则

PD =DC =a , BD =2a ,

PB =PD 2+BD 2=3a ，

PC =PD 2+DC 2=2a ，DE =12. PC =a 22

在Rt ∆PDB 中，

DF =PD ⋅BD a ⋅2a . ==a PB 33a

在Rt ∆EFD 中，

2a DE , 2sin EFD ===DF 2a 3

∴∠EFD =π，二面角C —PB —D 的大小为π.

33

10．（ 2005福建) 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE =EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .

（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；

（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小；

（Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离

.

分析：本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力.

解法一：

（Ⅰ） BF ⊥平面ACE . ∴BF ⊥AE .

∵二面角D —AB —E 为直二面角，且CB ⊥AB ， ∴CB ⊥平面ABE .

∴CB ⊥AE . ∴AE ⊥平面BCE .

（Ⅱ）连结BD 交AC 于C ，连结FG ，

∵正方形ABCD 边长为2，

∴BG ⊥AC ，BG =2， BF ⊥平面ACE ，

由三垂线定理的逆定理得FG ⊥AC .

∴∠BGF 是二面角B —AC —E 的平面角.

由（Ⅰ）AE ⊥平面BCE ， 又 AE =EB ， ∴在等腰直角三角形AEB 中，BE =2.

又 直角∆BCE 中

,

EC ==

BF =BC ⋅BE 2⨯223， ==EC 32BF 6 ∴直角∆BFG 中, sin ∠BGF ==3=. BG 32

∴二面角B —AC —E 等于arcsin 6. 3

（Ⅲ）过点E 作EO ⊥AB 交AB 于点O . OE =1.

∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD . 设D 到平面ACE 的距离为h ，

11 V D -ACE =V E -ACD , ∴S ∆ACB ⋅h =S ∆ACD ⋅EO . 33

AE ⊥平面BCE ，

∴AE ⊥EC .

1AD ⋅DC ⋅EO ∴h ==1AE ⋅EC 21⨯2⨯2⨯12 =. 13⨯2

∴点D 到平面ACE 的距离为2. 3