6-PPPS正交六自由度并联机器人的轨迹规划

万方数据　

第３期赵剑波等：６一ＰＰＰｓ正交六自由度并联机器人的轨迹规划

６３

构成，每条支链由一个移动副，一个十字滑副（两个正交的移动副）和一个球铰构成，其驱动布置在与基座相连的６个支链的移动副上，空间布置如图１所示。六条支链分为三组，以正交的形式在空间布置，每条支链的三个移动副都为正交布置。六条支链的轴线矢量同每个支链的移动副运动矢量是一致的，即六条支链的正交布置同每条支链中移动副的正交布置一致。以机构的正交方向为笛卡儿坐标系方向建立固定坐标系，如图２所示。

１基座

２移动副

３动平台

４球铰

５十字滑块副

▲图１机构模型

支链５

支链４

支链１

支链３

▲图２机构简图

固定坐标系原点为机构处于０位姿时动平台的几何中心。动坐标系固连在动平台上，当机构处于Ｏ位姿时同固定坐标系重合。图２所示即为Ｏ姿态下的空间布置。在动平台同一面上，两球铰中心距为６，动坐标系原点距该两球铰中心连线的距离为ｏ。每条支链上有三个移动副，移动量分别用符号ｃ辩，ｃ。，ｃ：；表示，筇，ｙ，ｚ表示移动量的方向。为了使符号有利于后面关系式的表达，令支链上驱动关节的移动量为吼，其中；表示支链的标号。所有移动量数值的正负取决于相对于零移动量时的移动方向，沿固定坐标轴正向时取正，反向时取负。在Ｏ位姿时，所有移动副的移动量值为零。２

方向余弦阵的构建

令动平台的方向余弦阵为Ａ，则：

万　

方数据Ａ韪矧

㈩

一～。

垒

二６

Ａ＝

。～一。

丝

～一。一。一。

一一。

一从式（１）、（２）看出：当驱动量已知时，Ａ，：、Ａ：，、Ａ，，可直接算～一。

一一。

二６

（２）

止

三６

出，即机构驱动量的差值同机构结构尺寸的值两者之问的比值。引入方向余弦阵的性质，可以得到方向余弦阵中其它六个元素的８组解。进一步的计算表明，当机构考虑球铰约束（摆角小于４５。），Ａ。：、Ａ：，、Ａ，，决定了动平台的姿态，即机构具

有唯一的姿态解。

以ｚ—ｙ—Ｘ欧拉角姿态参数（ｄ，卢，ｙ）描述Ａ为：

ｒｃｄ邙一ｓ“ｃ７＋ｃ“印ｓｙｓｄｓｙ＋ｃｄ即ｃｙ］

Ａ＝ｌｓｄ（≯

ｃｄｃｙ＋ｓｄ！ｊ铅７

一ｃｄｓｙ＋ｓｄ印ｃ’，｛（３）

Ｌ一邓

叩ｓｙ

印ｃｙ

Ｊ

其中，ｃ代表ｃｏｓ，Ｊｓ代表ｓｉｎ。

同样可以得出，当给定Ａ。Ａ：。、Ａ，。时，通过式（３）可以求

得ｚ—ｙ—ｘ欧拉角姿态参数，具有八种姿态。因为一种姿态可以有无数组姿态参数对应，故用一组姿态参数对应一种姿态，如式（４）所示。参照式（３）可以得出，若在机构球铰约

束下，机构的姿态为（ｄ，届，，，），则其他７种姿态均不满足球铰约束。

ｌ“，卢，７ｊｌ仃一ａ，卢，～ｙ］［７ｒ一“，仃一卢，一ｙ］［ｄ，仃一ｐ，ｙ］

（４）

［７ｒ／２一ｙ，卢，７ｒ／２一“］

［７ｒ／２＋ｙ，ｐ，ｄ一仃／２］［仃／２＋ｙ，７ｒ一肛，ａ一丌／２］

［∥２一ｙ，仃一口，仃／２一“］

３

驱动姿态参数与驱动姿态空间定义

根据以上所述，对于６一ＰＰＰｓ机构，Ａ１２、Ａ：，、Ａ。。可以唯

一确定机构的姿态，令配＝Ａ，：，”：４：，，埘＝Ａ。则（ｕ，ｗ，圳）可

作为动平台的姿态参数。将这种用驱动量的差值来表示的

姿态参数，称为驱动姿态参数，而用其表征的无位置限定的动平台的姿态空间定义为驱动姿态空间。表征的方法是建立直角坐标系Ｏｕ伽，反映动平台姿态的驱动姿态参数在此

坐标系下构成的空间便是驱动姿态空间。

４基于驱动姿态空间的轨迹规划研究

４．１驱动姿态空间求取

驱动姿态空间的求取就是求驱动姿态参数的取值范围。

无位置约束的姿态空间其驱动姿态参数应满足如下条件：

（１）姿态为实解

由机构正解结果可知，驱动姿态参数须满足：

机械设计与研究第２３卷

一Ｍ＋Ⅳ一叫＋ｌ≥Ｏｕ＋＂＋叫＋１≥０一ｕ一＂＋Ⅲ＋１≥Ｏ去２去２去吲圳∽（５）恻２）、（。≥餮旷％旷‰。

（１２）

Ｍ一口一例＋１≥０

（２）姿态满足球铰约束

令球铰摆角为ｐ（口＜４５。），考虑球铰约束时有：

ｃｏｓ臼ｓＡ。５１，（扛１，２，３）

（６）

根据方向余弦阵的性质有：

ｌｕｆｓｓｉｎ口，ｌ秽ｌｓｓｉｎｐ，ｌ州Ｊ≤ｓｉｎ口

（７）

式（５）、（７）是式（６）的必要条件，在式（５）、（７）范围内搜索满足式（６）的驱动姿态参数值的集合，即为驱动姿态空间。４．２姿态路径规划

驱动姿态空间同ｚ—ｌ，一ｘ欧拉角参数表示的姿态空间对比可以得出：驱动姿态空间是外凸形的几何体，而欧拉角姿态空间含有内凹的部分。对于外凸的几何体，其内部任意两点连线必在姿态空间内。而含有内凹部分的几何体，其内部两点的连线有可能在姿态空间外，因此在欧拉角姿态空间进行线性的姿态路径设置时，会产生超出姿态空间内的规划。同时，欧拉角姿态参数同驱动之间没有显式的对应关系，不利于关节空间的规划，故采用驱动姿态空间对姿态路径规划。

将机构从（ｕ。，”。，‰）到（Ｈｒ，”，，训，）的姿态进行线性路径规划有：

Ｍ（ｔ）＝‰＋（ｕ，一ｕｏ）×ｓ、勘（ｆ）＝钞ｏ＋（秽ｒ一钞ｏ）×５

｝

（８）

∞（ｆ）＝埘ｏ＋（彬，一甜ｏ）×ｓＪ

式中，ｓ＝，（￡）

当ｓ不具体给定时，式（８）给出了姿态变化的路径，并没有指出随时问的变化，因此是姿态路径规划。４．３姿态路径下的关节空间轨迹规划

（１）采用三次多项式的关节空间轨迹规划过姿态路径点的三次多项式表达式为：

ｇ。（ｆ）＝Ⅱ曲＋ｏｄｆ＋Ⅱ也，＋。ｄ广（ｉ＝１～６）

（９）

＜争ｇ；（ｔ）＝ｇｎ，ｑ。（ｆｒ）＝ｇ圹

给定关节路径点的位置及速度约束为：

ｇ。（￡）＝ｇ。，ｇ。（ｔ，）＝９圹

ｑ曲＝ｏ曲ｑ劬＝ｎ‘１

（江１～６）

（１０）

ｇ矿＝ｏ曲＋Ⅱｉ１０＋ｏ也哆＋Ⅱ毋哆

ｊ矿＝Ⅱｎ０＋２Ⅱ也０＋３０ｄ乎

由式（１０）求出系数后，将结果带入式（９），由式（２）中“对应的关系得：

出ｍｏ＋（…。）（等一等）＋五。（ｔ＋号一等）＋时（号一号）

ｃ，，，

从式（２）、（８）可以看出，三个驱动姿态参数的表达式具有形式上的一致性，故”（ｆ）和训（￡）同式（１１）一致。比较式（８）和三个驱动姿态参数表达式，可得姿态路径为线性的条件是：

万　

方数据蛐：必：蝼：州，：Ｏ∽（１３）

ｕｆ—ｕｏ

ｕｆ—ｊｔｏ

Ｗｆ—ｊｗｏ

上式是采用三次多项式进行关节规划时的约束条件，表明了

驱动速度之间的关系。当式中分母为０时，分子也为Ｏ。

采用三次多项式进行关节规划时，式（８）中ｓ为：

ｓ＝（等一等）＋‰（ｔ＋号一等）＋母（号一等）ｃ－４，

（２）采用五次多项式的关节空间轨迹规划

同样的方法，若采用五次多项式插值，式（１２）、（１３）成立，另有：

忐＝告＝熹＝㈣∽

（１５）

ｕｆ—ｕｎ∞ｆ—ｔｏ魄ｆ一乜ｏ

等等＝等等＝等等叫∽啪（１６）

。

Ｕ，一Ⅱ０

＂，一即０

ｔ‘ｊ，一Ｗ０

上式是采用五次多项式进行关节规划时的约束条件，表明了驱动加速度之间的关系。当式中分母为０时，分子也为０。

采用五次多项式进行关节规划时，式（８）中ｓ为：

ｓ＝（等一等＋警）坻（ｔ一等＋号）＋汴Ｉ了一了＋丁Ｊ¨。Ｉ卜了＋可Ｊ＋ｃ而。＋母，（一等＋等一等）＋

毛（孚一等＋蓦一号）＋

（ｆｏ＋ｆ，）（茏一号＋彖）

（＂）

规划后的关节轨迹可通过机构正解转化为笛卡尔空间轨迹。因为规划时已经保证姿态能力，若是所有移动副的运动均在许可范围内，则关节轨迹规划可行。可以采用添加合理的中

间路径点的方法，使关节轨迹规划可行。４．４实例仿真

给定机器人的结构尺寸为：。＝１００ｍｍ，６＝１８０ｍｍ，ｍａｘ（

ｈＩ，Ｉｃ，；Ｉ，ｌｃ。１）＝６０ｍｍ。假定逆运动学求得对于目标位姿

的驱动位移为：ｑｌｏ＝２０ｍｍ，９２０＝一１５ｍｍ，９３０＝１０ｍｍ，９４０＝

一１５ｍｍ，ｑ５０＝１５ｍｍ，９６０＝一１５ｍｍ，９１，＝一１０ｍｍ，９２，＝２０ｍｍ，ｑ３，＝一１５２０ｍｍ，９４ｒ２

１０ｍｍ，ｑ５ｒ２—２０ｍｍ，９６，＝

１０ｍｍ。

采用三次多项式进行关节规划，根据式（１３）给定符合要

求的一组驱动速度为：

ｑｌｏ＝一５ｍ瑚／ｓ，９２０＝８ｍｎ∥ｓ，ｑ３０＝一５ＩｎⅡ∥ｓ，ｑ４０＝

５ｍｍ／ｓ，９４０＝５ｍ∥ｓ，ｑ５０＝一２ｍｍ／ｓ，９６０＝１０ｍｍ／ｓ，ｇｌ＝一

１３ｍｍ／ｓ，‰＝一１３ｍｍ／ｓ，ｑ２ｒ＝１３ｍｍ／ｓ，断＝一１５ｍｍ／ｓ，９４ｒ

＝５ｍｍ／ｓ，ｑ５，２—８ｍｍ／ｓ，９６，２１６ｍｍ／ｓ

令驱动时间ｔ，，得到式（９）所示的关节规划后，进行可行性分析。根据式（８）、（１４）得驱动空间姿态路径曲线（图３），

表明姿态路径为线性。经过运动学正解，得到该姿态路径下

的笛卡尔空间运动轨迹（图４）。运动学分析表明：所有移动

副均在许可范围内运动（图５，图６），关节轨迹规划可行。

万　

方数据

6-PPPS正交六自由度并联机器人的轨迹规划

作者：作者单位：

赵剑波， 高峰， 岳义， ZHAO Jian-bo， GAO Feng， YUE Yi

赵剑波,ZHAO Jian-bo(河北工业大学,机械学院,天津,300130)， 高峰,GAO Feng(上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室,上海,200240)， 岳义,YUE Yi(燕山大学,机械学院,秦皇岛,066004)

机械设计与研究

MACHINE DESIGN AND RESEARCH2007,23(3)3次

刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

参考文献(8条)

1.黄真;孔令富;方跃法 并联机器人机构学理论及控制 19972.熊有伦;丁汉;刘恩沧 机器人学 1993

3.任敬轶,孙汉旭 一种新颖的笛卡尔空间轨迹规划方法[期刊论文]-机器人 2002(3)4.Craig J J Introduction to robotics:mechanics and con.trol 1989

5.K G Shin;N D McKay Minimum-time control of robotic manipulators with geometric path constraints1985(12)

6.N Kubota;T Arakawa;T Fukuda "Trajectory generation for redundant manipulator using virusevolutionary genetic algorithm"Robotics and Automation (ICRA) 1997(01)7.李为民;高峰;张建军 六自由度并联解耦机构 2003

8.张建军 正交结构六自由度宏、微操作并联机器人设计理论及其关键技术研究 2004

本文读者也读过(10条)

1. 王启明.胡明.郭成.蔡光起.WANG Qiming.HU Ming.GAO Cheng.CAI Guangqi 并联式钢坯修磨机器人动力学及轨迹规划研究[期刊论文]-机器人1999(1)

2. 曲忠英.翁正新 6-6 Stewart平台的运动学模型与轨迹规划[期刊论文]-微型电脑应用2003,19(11)

3. 朱兴龙.周骥平.ZHU Xing-long.ZHOU Ji-ping 基于混合遗传算法的操作臂最优路径规划[期刊论文]-机电产品开发与创新2005,18(2)

4. 倪厚强.陈建新.张志高.朱兴龙.NI Hou-qiang.CHEN Jian-xin.ZHANG Zhi-gao.ZHU Xing-long 基于混合遗传算法的机器人操作臂最优路径规划[期刊论文]-机械设计2008,25(12)

5. 李纪明.LI Ji-ming 基于动态解区间的操作臂路径规划寻优算法[期刊论文]-机械设计2008,25(7)6. 张茂 3-RRRT并联机器人轨迹规划与电机参数选取[学位论文]2009

7. 赵剑波.高峰.岳义.Zhao Jianbo.Gao Feng.Yue Yi 6-PPPS 正交六自由度并联机构的姿态空间设计[期刊论文]-中国机械工程2007,18(17)

8. 汪木兰.徐开芸.饶华球.张思弟 基于改进型BP神经网络多关节机器人逆向运动学求解[会议论文]-20069. 胡香玲.李宪章.冯浩.华亮.HU Xiang-ling.LI Xian-zhang.FENG Hao.HUA Liang 一种新型机器人多自由度关节的路径规划方法[期刊论文]-机电工程2006,23(2)

10. 余顺年.马履中.YU Shun-Man.MA Lu-zhong 新型两平移一转动并联机器人机构精度分析与仿真[期刊论文]-机械设计2005,22(6)

引证文献(2条)

1.李云峰,杨兆宜,李长峰 精密并联机器人运动轨迹规划的研究[期刊论文]-机床与液压 2009(10)2.薛世超 六自由度曲面加工并联机器人的运动规划及控制研究[学位论文]硕士 2009

引用本文格式：赵剑波.高峰.岳义.ZHAO Jian-bo.GAO Feng.YUE Yi 6-PPPS正交六自由度并联机器人的轨迹规划[期刊论文]-机械设计与研究 2007(3)