量纲方法与弹簧谐振周期的二级修正公式
量纲方法与弹簧谐振周期的二级修正公式
周国全
(武汉大学物理学院物理系，武汉 430072)
摘要 本文将量纲方法与实验相结合，并应用于弹簧质量对谐振动周期影响的研究，
阐明应用量纲方法的一般原则，所得的谐振周期一、二级修正公式与弹性振动理论导出的结论正相吻合。
0. 前言
关于弹簧质量对谐振动周期的影响。其研究结论已散见于各种文献[1]、[2]、[3]、[4]，基本上都是根据弹性理论建立振动微分方程加以解决，本文介绍一种简便而实用的方法——量纲方法，配合实验研究，可以在不求解弹簧谐振动系统的振动微分方程的情况下同样得出正确的谐振周期一、二级修正公式
T 2π
及
（1） （2）
T 2π
21m 1m 2
+⋅−(] （2´） 6M 8M
式中，M ，m 分别为弹簧振子及弹簧本身的质量，k 为弹簧的倔强系数。通过这一实例，足见量纲理论在物理研究中具有相当大的辅助作用。
1. 量纲独立性与指数待定方程
具体研究途径是这样的：先用量纲方法确定(M ，m ) 振动系统周期T 的基本形式，基本形式中各未知指数根据量纲要求而建立适当的代数方程来求出，其余某些待定系数(或参量) 可以通过理想情况或极限情况、特例、以及精确的实验数据巧妙的作图处理加以确定。
以直螺旋弹簧谐震动系数(M ，m ) 为例，决定其周期T 的各因素如下：
① 弹簧弹性系数k ；② 振子质量M ；③ 无量纲参数λ=m /M 。 量纲理论要求：作为(M ，m ) 振动系统的一个特征物理量－周期T 必然满足
T =C (λ) M x k y
(3)
其中x ，y 为待定指数，C(λ) 为与λ=m /M 有关的无量纲函数。 由于[T ]=S(秒) ；[M ]=M(千克) ；[k ]=MS-2(牛顿/米2)
量纲理论指出：等式(3)两侧的量纲必然相同，故有：
S =M x ⋅(MS −2) y =M x +y ⋅S −2y
根据基本物理量(质量M 与时间S) 的量纲独立性，必有如下待定指数方程组
⎧x +y =0
故 ⎨
⎩−2y =1
于是 T =C (λ)
⎧x =1/2
⎨
⎩y =−1/2
M
（4） k
为便于与理想情形(m =0)的周期公式相比较，不妨假设C (λ) =2πC 0(λ) ，并令T 0=2πM /k ，则
T =2πM /k ⋅C 0(λ) =C 0(λ) ⋅T 0
将(2)式无量纲化并有理化，可得
(T /T 0) 2=C 02(λ) =B (λ)
（4′）
其中B (λ) =C 02(λ) 也是一个与λ=m /M 有关的无量纲函数。从物理上考虑B (λ) 自然是在λ≥0附近光滑可微的函数，对它作泰勒展开(因为λ
B (λ) =B 0+B 1⋅λ+B 2⋅λ2+ +B n ⋅λn +
其中B i (i =0，1，2，…，n ，…) 是待定系数。于是
(5) (T /T 0) 2=B 0+B 1λ+B 2λ2+ +B n λn +
2 理想情形与周期修正公式 考虑如下理想的极限情况：当λ=
m
→0时，(M ，m ) 振动系统趋向于理想M
谐振动系统(M ，0) ，周期T →T 0，因此：
lim (T /T 0) 2=lim (B 0+B 1λ+B 2λ2+ ++B n λn + ) =1
λ→0
λ→0
由此可得 B 0=1 （6）
当λ=
m
B (λ) 1+B 1⋅λ （7） 因此
T T =2 （8） 这里B 1为待定系数。所以弹簧质量m 对于弹簧谐振周期T 的影响，是相当于
以折合质量B 1m 加入到振子质量M 中去。
当λ
B (λ) 1+B 1⋅λ+B 2⋅λ2 （9）
B 1可以通过精确的实验数据与巧妙的作图处理求出。作如下数学变化：
η=(T /T 0) 2=1+B 1⋅λ(η为一参量)
在平面直角坐标系(λ, η) 中是一条斜率为B 1，纵截距为1的射线(λ≥0) 。
B 2也可以通过精确的实验数据与巧妙的作图处理求出。（9）式可化为 μ=
1
λ
[(T /T 0) 2−1]=B 1+B 2⋅λ （8）
其中μ∼λ是一线性关系。B 2为直线之斜率。于是弹簧谐振的周期的一级、二级修正公式分别为
T T =2π
及
（9） （10） T T =2π
3 修正系数B 1及B 2的实验测定
我们可以通过改变振子质量M 以改变λ=m /M 之值，从而测出不同λ值之下
2
λ值之下的T 的周期T ，并计算出不同再作出η－λ关 0=2πM /k 及η=(T /T 0) ，
1
系曲线，可以发现在λ
3
实现与实验步骤在文献[5]中已有叙述，限于篇幅，此处从略。注意其中T 用光电计时器可方便地测量，k 可用焦利秤精密测定并用逐差法算出，利用η－λ或
μ∼λ关系求斜率B 1及B 2时可用最小二乘法[6]。即对于0
(λ1, η1), (λ2, η2), (λ3, η3), (λn , ηn ) (μ1, η1), (μ2, η2), (μ3, η3), (μn , ηn )
实验结果表明：
B 1=
∑(λ
i =1
n
n
i
−)(ηi −)
i
∑(λ
i =1n
i
i =1
−λ) 2
1
≈ （11） 3
B 2=
∑(λ−)(μ
n
i
i =1
i
−)
2
∑(λ−)
1
≈− （12）
4
1n 1n 1n
其中 =∑λi ；=∑ηi ; =∑μi （13）
n i =1n i =1n i =1
值得一提的是，基于受载弹簧的机械波的弹性理论可同样求出周期的修正公式，用动力学方法建立起受载弹簧的振动(或波动) 方程，从理论上可导出[1,4]（详细推导见参考文献[1]，此处从略）：
11
B 1=; B 2=− （14）
34
于是弹簧谐振的周期的一级、二级修正公式分别为
T 2 2]
1m
+⋅T （15） 6M
T 2 （16） 21m 1m
+⋅−(2]6M 8M
这与我们用量纲方法及实验研究的结果不谋而合。这充分地证明了用量纲方法指导物理研究具有方法论的意义，其有效性与重要性不可低估。 4 量纲方法的方法论意义与一般应用法则
量纲方法之所以有效和可行，有其深刻的理论依据和厚实的实践基础。它在流体力学与量子力学中应用较多。由于所考虑的物理对象的结构的多样性以及运动形式的复杂性，很多情况下我们无法建立严格而行之有效的数学方程。所幸的是，尽管存在上述困难，我们仍然能依靠量纲理论而得到许多有益的东西，在许多情况下能够导出物理量的基本函数关系，在某些情况下甚至能精确到仅差一个待定的常数因子[7]。这给进一步的理论与实验研究提供了极有指导或参考意义的初始结论，正象前述范例中所论的那样。
支配物理现象的数学物理方程的等号两侧的量纲表达式必须是相同的，亦即所涉及到的各基本单位的量纲指数必须是唯一的，而且是独立的，这是量纲理论
的一般要求。
运用量纲方法所得到的初步结论可以通过以下四种方法圆心考虑验证：
4.1 假定的函数关系基本形式中各基本单位所要求满足的指数待定方程组必须是自治的，即当方程个数多于求和指数的个数时，指数的值必须能使各待定方程组同时成立。
4.2 用极限情形或理想情况下的已知结论去加以检验，或确定其中的某些参数。
4.3 用系统可能具有的对称性或周期性等特点去加以验证，或确定某些参数。
4.4 用实验结果加以直接检验，这是最根本的也是最终的检验方法。 实际上，量纲理论与量纲方法不仅在物理学研究中具有不可忽视的指导作用，而且在现代工程技术中也有重要的应用，例如工程上常用的相似模拟手段就直接来源于量纲理论，模拟的相似性判据更有量纲理论的直接结论，在日益发展
的现代科学研究中，我们应站在方法论的立场上重视量纲方法的应用价值。
参考文献
1 [美]C.A.库尔森，A ·杰弗里·波. 北京：地震出版社，1984 2 罗蔚茵. 力学简明教程. 广州：中山大学出版社，1985 3 杨宝胜，董荣风. 物理通报，1986(4) 4 孙春峰. 大学物理，1993(12)
5 林抒，龚镇雄. 普通物理实验. 北京：人民教育出版社，1981 6 马逢时，保良材. 应用概率统计. 北京：高等教育出版社，1989
7周国全，武汉大学学报（工程版），对称操作与量纲方法求刚体转动惯量.1996（3）