二次函数基本题型
二次函数专题
一、 抛物线的三种形式
1. 一般式:y =ax 2+bx+c (a ≠0)
对称轴方程x =-b/2a,顶点坐标(-b/2a,(4ac-b 2 )/4a)
㈠ a 决定开口方向,开口大小,a 的绝对值越大,开口越小,越接近y 轴.
a>0时,抛物线开口向上,在对称轴右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴左侧,y 随x 的增大而减小. 此时,y 有最小值(4ac-b 2 )/4a.
a
㈡ a,b 的符号决定对称轴的位置(左同右异)
b =0时,对称轴为y 轴,ab>0时,对称轴在y 轴左侧,ab
㈢ c 为抛物线与y 轴交点的纵坐标.
c =0时,抛物线经过原点.c>0时, 抛物线与y 轴正半轴相交;c
1) 在同一坐标系中,对于抛物线①y =2x 2 ②y =2x 2+1③y =2x 2-1,下列说法不正确的是( )
A 形状相同 B 开口方向相同 C 对称轴都是y 轴 D 顶点坐标相同
2) 抛物线y =x 2+3x的顶点在第( )象限 A 一 B 二 C 三 D 四
3) 二次函数y =ax 2+bx+c如图所示,下列结论正确的是( )
A a>0,b0 B a0 C a0,c>0 D a>0,b>0,c>0
3) 9)
4) 抛物线y =4x 2-x-3的顶点是 ,当
5) 若抛物线y =ax 2+16x-11的对称轴是直线x =-3,则a =
6) 当m =时,抛物线y =5x 2+(m2-4)x-3的对称轴是y 轴。
7) 若二次函数y =x 2+bx+3的图像顶点的横坐标为1,则b 等于8) 已知二次函数y =-x 2+bx+c的图像最高点为(-1, -3),则b =c =
9) 如图二次函数y =ax 2+bx+c的图像满足( )
Aa>0,b>0,b2-4ac>0Ba0,b2-4ac>0Ca>0,b0 Da>0,c
10) 若抛物线y =x 2-6x+c的顶点在x 轴上 则c =2. 顶点式:y =a(x-h)2+k (a ≠0)
a 的作用同上. 对称轴方程x =h ,顶点坐标(h,k )
1) 抛物线y =1/2(x-3)2-2的顶点坐标是
3. 交点式(两根式):y =a(x-x1)(x-x2) (a ≠0)(b 2-4ac ≥0)
a 的作用同上,x 1,x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标.
所以抛物线图像的决定因素是a 的值,不管抛物线是那种形式,只要a 的值相同,抛物线的形状相同,只是位置不同.
二、 一般式与顶点式的相互转化.
1. y =ax 2+bx+c y =a(x-h)2+k
=a(x2+(b/a)x+c/a ) =a (x 2-2hx+h2)+k
=a(x2+(b/a)x+(b/2a)2-(b/2a)2+c/a ) =ax 2-2ahx+ah2+k
=a (x+b/2a)2+(4ac-b 2 )/4a
1) 已知二次函数y =-x2+2x+3用配方法将函数关系式化为y =a(x-h)2+k的形式,并指出函数图像的对称轴和顶点坐标.
2) 已知y =ax 2+bx+c写成顶点式后为y =3(x-1)2+2.求a,b,c 的值.
三、 求抛物线解析式.
类型一、已知抛物线上三点A,B,C. 求抛物线解析式.
解法:设抛物线解析式为y =ax 2+bx+c.将三点分别代入解析式,得到三个关于a,b,c 的方程,解出a,b,c 既得解
析式.
1) 已知抛物线y =ax 2+bx+c图像过A(0,1),B(1,2),C(2,-1)三点,求函数解析式.
2) 已知二次函数y =ax 2+bx+c图像经过一次函数y =-x+3与x 轴y 轴的交点,且过点(1,1),求这个二次函数的解析式.
3) 已知函数y =kx+m的图像与开口向下的抛物线y =ax 2+bx+c相交于A(0,1)B(-1,0)两点.
① 求y =kx+m的解析式;
② 如果抛物线与x 轴的另一个交点为C ,且线段CA=√5,求二次函数y =ax 2+bx+c的解析式.
类型二、已知抛物线上两点A,B 和对称轴方程x =m ,求抛物线解析式.
解法一:设抛物线解析式为y =a(x-h)2+k,先将对称轴代入解析式,得到关于a 和k 的新方程y =a(x-m)2+k,
再将两点代入新方程解出a 和k ,既得解析式.
解法二: 设抛物线解析式为y =ax 2+bx+c,将两点代入解析式,将对称轴代入-b/2a,得到三个关于a,b,c 的方
程,解出a,b,c 既得解析式.
1) 已知抛物线y =ax 2+bx+c图像过点A(1,0),B(0,-3),且对称轴是直线x =2,求函数解析式
类型三、已知抛物线上一点A ,和顶点坐标(m,n )求抛物线解析式.
解法一:设抛物线解析式为y =a(x-h)2+k,先将顶点坐标代入解析式,得关于a 的新方程y =a(x-m)2+n,再将点
代入新方程,解出a ,既得解析式.
解法二:设抛物线解析式为y =ax 2+bx+c,将顶点坐标代入(-b/2a,(4ac-b 2 )/4a),
即-b/2a=m ,(4ac-b 2 )/4a=n ,再将点代入解析式,解组方程得a,b,c ,既得解析式.
4) 二次函数y =2x 2-ax+a-1和y =x 2-2bx+b2+b的图像顶点相同,求a,b 的值
5) 已知抛物线y =ax 2+bx+c图像顶点是(-2,3),且过(-1,5)点求函数解析式
6) 已知某二次函数当x =1时,有最大值-6,且其图像经过点(2,-8),求此二次函数解析式.
类型四:已知抛物线上一点A ,以及抛物线与x 轴的两交点(x 1,0),(x2,0) ,求抛物线解析式
解法一:设抛物线解析式为y =a(x-x1)(x-x2) ,先将x 1,x 2代入解析式,得到关于a 的新方程,在再将之代入新解
析式,解出a 即得解析式。
解法二:设抛物线y =ax 2+bx+c ,将三点代入解析式,解出a,b,c 既得解析式.
1) 若二次函数y =(x-x 1)(x-x2) 的对称轴是x =2,并且在x 轴上截得的线段长为10,则x 1= ,x 2= ,函数解析式为
2) 已知抛物线y =ax 2+bx+c图像与x 轴交于(-2,0)和(4,0)两点,且过点(1,-9/2),求函数解析式
类型五:已知面积求解析式
1). 已知抛物线y =ax 2+bx+c 当x =1时,取最大值16,且它的图像在x 轴上截得的线段长为8.
四、 求交点坐标.
1. 求抛物线与两坐标轴交点坐标. 及交点个数.
㈠ 抛物线与x 轴的交点坐标:令y =0,即ax 2+bx+c=0,
当△>0时,方程有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两各交点A (x 1,0)B(x2,0)
当△=0时,方程有两个相等实根,抛物线与x 轴只有一个交点(x,0)(即为抛物线的顶点坐标)即(-b/2a,0) 当△
1) 抛物线y =x 2+(2m-1)x+m2与x 轴有两个交点,则m 的取值范围是
2) 二次函数y =x 2+mx-2与x 轴的一个交点坐标是(2,0),则与x 轴的另一个交点坐标为,m =
3) 已知抛物线y =(k -1)x 2+2kx+k-1. ①k 为何值时,抛物线与x 轴无交点?②若抛物线与x 轴交于A,B
两点. 与y 轴交于C 点,且三角形ABC 的面积为4,求k 的值.
㈡ 抛物线与y 轴交点坐标:令x =0得y =c ,即抛物线与y 轴交点坐标为(0,c )
2. 求抛物线与直线的交点个数及坐标..
㈠ 求交点坐标,联立方程,解方程组 y =kx+b1 x 1= x 1=
y =ax 2+b2x+c 解得 y 1= ; y 2= 既得交点坐标为(x 1,y 1) (x2,y 2)
㈡ 求交点个数,联立方程 y =kx+b1
y =ax 2+b2x+c 得 ax 2+b2x+c=kx+b1
整理得,ax 2+(b2-k)x+c-b1=0,
当△>0时,直线与抛物线有两各交点;
当△=0时,直线与抛物线有一个交点;
当△
1) 已知抛物线y =ax 2+bx-1的对称轴为直线x =-1,其最高点在直线y =2x+4上,求抛物线与直线的交点坐标.
2) 一次函数y =2x-3与二次函数y =x 2-2x+1的图像有
五、 关于面积
1. 抛物线y =ax 2+bx+c与x 轴交于A,B 两点,顶点为P ,求三角形ABP 的面积.
解:S ABP =1/2︱AB ︱*︱Py ︱=1/2︱x 1-x 2︱*︱(4ac-b 2)/4a︱
2. 抛物线y =ax 2+bx+c与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于C 点,求三角形ABC 的面积
解:S ABC =1/2︱AB ︱*︱OC ︱=1/2︱x 1-x 2︱*︱c ︱
22︱x 1-x 2︱=√(x 1+x2)-4x 1*x2=√(-b/a)-4c/a =√△/︱a ︱
1) 抛物线y =x 2+bx+c与x 轴的正半轴交于A,B 两点,与y 轴交于C 点,且线段AB=1,三角形ABC 的面积为1,则b =
2) 函数y =ax 2(a ≠0)于直线y =x -6交于点(2,b ). 求(1)a 和b 的值;(2)求抛物线于直线y =-8的两个交点及顶点所构成的三角形的面积.
3). 如图,半圆的直径AC =2,点B 在半圆上,点F 在AC 上,且AE=BC,EF ⊥AC 于F 点,设BC =x ,EF =y ,求y 与x 的函数关系和自变量的取值范围,并在直角坐标系中画出他的图像
.