钟面上的追及问题

第一部分：

师：同学们，《龟兔赛跑》的故事大家一定很熟悉吧，今天老师也让大家来听一个新的《龟兔赛跑》故事。

学生听故事。

师：看来兔子是没有办法来解决这个问题了，那么同学们体们有没有兴趣来帮助兔子解决这个问题?

讨论问题一、( 出题)

“比赛时，兔子追到乌龟时用了多少分钟? ”

师：老师为同学们准备了一张表格，我们讨论的时候可以用这张表来解决这个问题。

师：首先我们来讨论一下，兔子每分钟比乌龟多跑了多少米?

生：(55 米) 。

师：你的55 米是怎样得到的?

生：兔子每分钟跑60 米，乌龟每分钟跑5 米，所以„„

师：好，接下来请同学们根据刚才得出来的兔子每分钟比乌龟多跑55 米这个速度，分别计算出“兔子跑1 分钟比乌龟多跑了多少米，2 分钟、3 分钟„呢? 最后可以根据左边的图找出当兔子追到了乌龟时，兔子比乌龟多跑了多少米? ” ( 学生开始讨论) 。

生：1 分钟多跑55 米。

师：那么当兔子追到了乌龟时，兔子比乌龟多跑了多少米?

生：900 米，因为兔子跑了1200 米，乌龟跑了3OO 米，所以多跑了900 米；因为兔子和乌龟相距3 格，每大格是300 米，所以是900 米。

师：那你能不能根据900 米和55 这两个条件，列式算出兔子共追了多少时间? 动动脑，把你的算式列在方框下的横线上。

生：(900 ÷55=16 分多)

师：同学们做得真不错! 从算式中我们可以知道，兔子追上乌龟的时间等于兔子一共多跑的路程除以兔子每分钟多跑的路程。

第二部分：

师：同学们，你们仔细看一看，这个龟兔赛跑的跑道有点像我们生活中的哪样东西啊?

生：钟

师：对了，我们的钟面上有时针、分钟、秒针，但是在今天的课上我们只用到分针和时针，秒针我们今天就暂时不用。

师：那么同学们，请你们再想一想，刚才的故事中的兔子像钟里面的什么，乌龟

又像钟里面的什么? 那么兔子追乌龟就像钟里面的分针追时针。下面我要请同学们以小组为单位一起来玩钟，在玩钟的时候要拨一拨钟，并完成动手操作里面的题目。同学们在玩钟的时假还要注意小组成员要互相合作，做的同学要认真的做，看的同学更要认真的看，最后大家要认真思考，积极讨论，并完成填空。 ( 学生活动开始)

生：

l 、从12 点开始，分针走一圈走了( 60 ) 小格

分针走一圈时，时针走了( 5 ) 小格

那每分针比时针多走了( 55 ) 小格

也就是说在单位时间里分针比时针多走了( 55 )

这里的单位时间可以是每小时，也可以是每分钟。

2 、如果从2 点开始，分针与时针重合时大概在( 2 ) 点(10 ) 分， 大约经过了( 10 ) 分钟

师：既然我们己经讲到这个钟里的分针追时针很像兔子追乌龟，那我们就用今天学到的兔子追乌龟的方法来解决分针追时针的问题。

( 出题)

“如果现在是下午5 点，分针在5 点几分的时候就追到时针，并和时针重台了? ”师：先请同学们在小组里拨一拨钟，看一看，并小组里讨论一下，分针大概在几点几分和时针重台了? 讨论好马上举手。

( 学生活动开始) 。

生：大概在5 点(26)27(28) 分。

师：刚才同学们说出来的答案是我们动手拨出来的，下面我们还要用一个算式来验证一下，就像刚才求兔子追乌龟时间那样，用个算式把答案求出来。在讨论的时候，我们要注意以下几点。

l 、要联系前面求兔子追乌龟的方法

2 、我们在计算时为了方便可以把时钟里的每一大格的路程，也可以看成是龟兔赛跑里每一大格的路程300 来进行计算。

（学生活动开始）

生：分针在相同的时间里比时针多走了55

分针追到时针时，分针共多走1500

列式解答得：1500 ÷55=27 分多

师：从这个算式我们又可以知道，分针追到时针的时间等于分针多走的路程除以分针在相同时间里多走的路程。也就是说，要算出分针追到时针的时间，就必须知道在“相同的时间里，分针比时针多走的路程”；“分针追到时针时，分针共

多走了多少”这两个条件。在这里，我们为了计算的方便，还规定了钟面中每一大格的路程是300 ，在下面的题目中都可以用这个数。

第三部分

师：下面，我们根据今天学到的知识来解决几个实际性的问题。这里有两个关于分针追赶时针的题目，大家可以根据今天学到的知识，选一个题目进行计算，小组可以讨论，如果有能力的话两个题目可以都做。( 学生活动开始。) 教学反思：

1 、教材说明。本教材源自于生活中的钟磋现象，教学的内容是行程问题中的钟面问题，但对象却是四年级的学生，所以我在教学时尽量避免小数和度数的出现。 2 、创设情境，增强学生的学习欲望。钟是我们生话中天天见到的东西，但学生并不知道在钟里面还会有这么多的知识，如果我们刻意的让学生去学习分针追时针的问题，那么学生接受学习的过程一定是一个很累的学习过程，最后学生褥到的效累也不一定会很好。但在本课中采用故事引入教学内容，让学生从心理上就很好的进入本文的教学。并在故事中引出教学内容，这就降低了一定的接受难度，让学生感觉到这并不是一个很难的数学问题，从而就轻松的进入教师设计的教学环节之中。

3 、动手做数学，感受数学知识的学习过程。钟面中分针追时针的问题是一个很复杂的行程问题，如果教师不能很好的进行设计那么学生的学习就会遇到很大的困难。新课程提出让学生做数学，并感受数学的学习过程。在本课中，教师多处设计了学生的动手拨钟的过程，经过学生的合作交流。学生在动手拨钟的过程中，感受了分针追时针的现象，并通过现象让学生初步概括出分针追时针的抽象的数学知识和计算方法。所以说在新课程下，重视学习过程的教学是新课程提出的一个重要思想。

4 、教育学家苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，在儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”在新课程的指导下，满足他们的渴求和愿望，让他们学会学习，感受过程，是我们每一位数学教师的奋斗目标，也是新课程提出的一个重要要求。

时钟问题—钟面追及

基本思路：封闭曲线上的追及问题。

关键问题：

①确定分针与时针的初始位置；

②确定分针与时针的路程差；

基本方法：

①分格方法：

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。

②度数方法：

从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/12*60度，即0.5度。

基础练习题：

1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？

2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

3. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

4. 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

5. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？

解析:

1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？ 解析：分针：1格/分 时针：(1/12) 格/分

3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，

用追及问题的处理方法解：15格/(1-1/12)格/分=16+4/11分钟

所以下午3点16又4/11分时，时针和分针第一次重合

PS:这类题目也可以用度数方法解

2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

解析：分针：6度/分 时针0.5度/分

当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。

所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24*60=1440分

所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次

3. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

解析：分针：6度/分 时针0.5度/分

5点零8分，时针成角：5*30+8*0.5=154度

分针成角：8*6=48度

所以夹角是154-48=106度

4. 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角，

必须使 时针领先分针15格，或分针领先时针15格。因此，在相同时间内，分针将比

时针多走 (20-15)格或(20+15)格。

(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5又5/11分

(20+15)/(1-1/12)=38又2/11分, 即4点38又2/11分

5. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？ 解析：设经过X 分，0.5*X=270-6*X ,解得X=540/13分

所以答案是9点过41又7/13分。

钟面上有时针与分针，每针转动的速度是确定的。

分针每分钟旋转的速度： 360°÷60=6°

时针每分钟旋转的速度： 360°÷(12×60)=0.5°

在钟面上总是分针追赶时针的局面，或是分针超越时针的局面。这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程。因此钟面上两针的运动是一类典型的追及行程问题。

[经典例题]

例1 ：钟面上3时多少分时，分针与时针恰好重合?

分析 正3时时，分针在12的位置上，时针在3的位置上，两针相隔90°。当两针第一次重合，就是3时过多少分。在正3时到两针重合的这段时间内，分针要比时针多行走90°。而可知每分钟分针比时针多行走6-0.5=5.5(度) 。相应的所用的时间就很容易计算出来了。

解： 360÷12×3= 90(度)

90÷(6-0.5)= 90÷5.5≈16.36(分)

答： 两针重合时约为3时16.36分。

例2： 在钟面上5时多少分时，分针与时针在一条直线上，而指向相反? 分析 在正5时时，时针与分针相隔150°。然后随时间的消逝，分针先是追上时针，在此时间内，分针需比时针多行走150°，然后超越时针180°就成一条直线且指向相反了。

解 ：360÷12×5=150(度)

(150+180)÷(6-0.5)=60(分)

5时60分即6时正。

答 ：分针与时针在同一条直线上且指向相反时应是5时60分，即6时正。 例3： 钟面上12时30分时，时针在分针后面多少度?

分析 要避免粗心的考虑：时针在分针后面180°。正12时时，分针与时针重合，相当于在同一起跑线上。当到12时30分钟时，分针走了180°到达6时的位置上。而时针在同样的30分钟内也在行走。实际上两针相隔的度数是在30分钟内分针超越时针的度数。

解： (6-0.5)×30=55×3=165(度)

答 ：时针在分针后面165度。

例4 ：钟面上6时到7时之间两针相隔90°时，是几时几分?

分析 从6时正作为起点，此时两针成180°。当分针在时针后面90°时或分针超越时针90°时，就是所求的时刻。

解 ：(180-90)÷(6-0.5)

=90 ÷5.5

≈16.36(分钟)

(180+90)÷(6-0.5)

=270÷5.5

≈49.09(分钟)

答 ：两针相隔90°时约为6时16.36分，或约为6时49.09分。