8.6空间向量及其运算
6 空间向量及其运算
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题每小题7分，共35分
1.已知a＝λ＋1，0，2，b＝6，2μ－1，2λ，若a∥b，则λ与μ的值可以是 ,
111A.2， B.－ 232 C.－3，2 D.2，2
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的
→→→→交点.若AB＝a，AD＝b，AA1=c，则下列向量中与BM相等的向量是
11A.－＋b＋c 22
C.－－b＋c 22
3.有4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；
②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；
→→→③若MP＝xMA＋yMB，则P、M、A、B共面；
→→→④若P、M、A、B共面，则MP＝xMA＋yMB
其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知a＝2，－1，3，b＝－1，4，－2，c＝7，5，λ，若a，b，c三向量共面，则实数
λ等于
62636065A. B. C. D. 7777
→1→5. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a，点M在AC1 上且 AM＝1，N为B1B的中点，2 11 B.ab＋c 22 D.a＋c 22
则MN为( ) A.2161515a B. a 6663
二、填空题(每小题6分，共24分)
86．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________. 9
7．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
→→→→→→→8 .已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，①（A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②A1C·(A1B1－A1A)
→→→→＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCD—A1B1C1D1的体积为|AB·A1A
AD|.其中正确命题的序号是________．
9．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．
三、解答题(共41分) →
10. 已知非零向量e1 、e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，求
证：A、B、C、D共面.
11. 14分若a＝1，5，－1，b＝－2，3，5.,1若ka＋b∥a－3b，求k；,2若ka＋b⊥a
－3b，求k.
12.14分已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的
边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，,求证：1E、F、G、
H四点共面；,2BD∥平面EFGH.,
答案
1. A 2. A 3. B 4. D 5. A
6. －2或235 7. 60° 8. ①② 9. 555
10. 证明 令λe1＋e2＋μ2e1＋8e2＋v3e1－3e2＝0.,则λ＋2μ＋3ve1＋λ＋8μ－3ve2＝
5＋＋v＝0,0.,∵e1，e2不共线，易知1是其中一组解，则
＋－v＝0.1
-5AB+AC+AD=0. ∴A、B、C、D共面.
11. 解 ka＋b＝k－2，5k＋3，－k＋5，,a－3b＝1＋3×2，5－3×3，－1－3×5
＝7，－4，－16.,1∵ka＋b∥a－3b，,∴k25k3k51，解得k＝. 741632∵ka＋b⊥a－3b，,∴k－2×7＋5k＋3×－4＋－k＋5×－16＝0. 解得k＝106. 3
12. 证明 1连接BG，则
1EGEBBGEBBCBDEBBFEHEFEH2
,
由共面向量定理知：,E、F、G、H四点共面. (2)因为
1111EHAHAEADABADABBD,2222
因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.,又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，,所以BD∥平面EFGH.