解析几何(经典题型)
高中数学解析几何公式
1、 两点间距离：若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则AB =平行线间距离：若l 1:Ax +B y +C 1=0, 则：d =
C 1-C 2A +B
2
2
(x 2-x 1) +(y 2-y 1)
22
l 2:Ax +B y +C 2=0
2、 点到直线的距离：P (x , y ), l :Ax +B y +C =0 则P 到l 的距离为：d =
⎧y =kx +b
3、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎨
F (x , y ) =0⎩
Ax
+B y
2
+C
2
A +B
消y ：ax 2+bx +c =0，务必注意∆>0.
若l 与曲线交于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)
则：AB =
(1+k )(x 2-x 1)
2
2
4、 若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，
x 1+λx 2x 1+x 2⎧⎧
x =x =⎪⎪⎪⎪1+λ2则⎨ ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎨
y +λy y +y 22⎪y =1⎪y =1
⎪⎪1+λ2⎩⎩
变形后：λ=
x -x 1x 2-x
或λ=
y -y 1y 2-y
5、 （1）倾斜角α，α∈(0, π) ；
→→
（2）a , b 夹角θ，θ∈[0，π]；
（3）直线l 与平面α的夹角β，β∈[0]；
2π
（4）l 1与l 2的夹角为θ，θ∈[0]，其中l 1//l2时夹角θ=0；
2
π
（5）二面角θ, α∈(0, π]； （6）l 1到l 2的角θ，θ∈(0，π) 6、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系
a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tanα。 7、 直线方程的五种形式
11、直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种
Aa +Bb +C A +B
2
2
若d =，d >r ⇔相离⇔∆
d =r ⇔相切⇔∆=0 d 0 12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d
d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线 d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线
r 1-r 2
d =r 1-r 2⇔内切⇔1条公切线 0
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆
定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且PF 1+PF 2=2a >F 1F 2 （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0
标准方程：
x a
22
+
y b
22
=1 (a >b >0)
定义域：{x -a ≤x ≤a }值域：{x -b ≤y ≤b } 长轴长=2a ，短轴长=2b 焦距：2c 准线方程：x =
±
a
2
c
焦半径：PF 1=e (x +
a
2
c
) ，PF 2=e (
a
2
c
-x ) ，PF 1=2a -PF 2
，a -c ≤
PF 1≤a +c 等（注意涉及焦
半径①用点P 坐标表示，②第一定义。）
注意：（1）图中线段的几何特征：A 1F 1=A 2F 2=a -c ，A 1F 2=A 2F 1=a +c B 1F 1=B 1F 2=B 2F 2=B 2F 1=a ，A 2B 2=A 1B 2=
线距离分别与a , b , c 有关。
（2）∆PF 1F 2中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段PF 1
．．．．．．．．．．．
起来，建立PF 1
a +b 等等。顶点与准线距离、焦点与准
2
2
、PF 2、2c ，有关角∠F PF
1
2
结合
+PF 2、PF 1
∙PF 2
等关系
；
（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：⎨
⎧x =a cos θ⎩y =b sin θ
（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其相应的性质。
二、双曲线
（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2
是两定点，PF 1-PF 2=2a 1），则动点P 的轨迹是双曲线。 （二）图形：
（三）性质 方程：
x a
22
-
y b
22
=1 (a >0, b >0)
y a
22
-
x b
22
=1 (a
>0, b >0)
定义域：{x x ≥a 或x ≤a }； 值域为R ； 实轴长=2a ，虚轴长=2b
焦距：2c
准线方程：x =±
a
2
c
a
2
焦半径：PF 1=e (x +
c
) ，PF 2=e (
a
2
c
-x ) ，PF 1-PF 2=2a
；
注意：（1）图中线段的几何特征：AF 1=BF 2=c -a ，AF 2=BF 1=a +c
a
2
顶点到准线的距离：a -
c
或a +
a
2
c
；焦点到准线的距离：c -
a
2
c
或c +
a
2
c
两准线间的距离=
2a c x a
2
22
（2）若双曲线方程为-
y b
b a
22
=1⇒渐近线方程：
x a
22
-
y b
22
=0⇒y =±
b a
x
若渐近线方程为y =±
若双曲线与
x a
22
x ⇒
x a
±
y b
=0⇒双曲线可设为
x a
22
-
y b
22
=λ
-
y b
22
=1有公共渐近线，可设为
x a
22
-
y b
22
=λ
（λ>0，焦点在x 轴上，λ
（3）特别地当a =b 时⇔离心率e =
线，可设为x -y =λ；
（4）注意∆
PF 1F 2中结合定义PF 1-PF 2=2a 与余弦定理cos ∠F 1PF 2，将有关线段PF 1
F 1F 2和角结合起来。
2
2
2⇔两渐近线互相垂直，分别为y=±x ，此时双曲线为等轴双曲
、PF 2、
（5）完成当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质。
二、抛物线
（一）定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。
（二）图形：
（三）性质：方程： 焦点： (
y
2
；
=2px , (p >0), p --, 0) ，通径AB =2p ；
p 2
p 2
准线： x =-
；
p 2
, 过焦点弦长CD =x 1+
p 2
p 2+x 2+
p 2
=x 1+x 2+p
焦半径：CF
=x +
注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=p ；通径长=2p
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 （2）抛物线y =2px 上的动点可设为P (
2
y
2
2p
, y ) 或P (2pt , 2pt ) 或P (x , y ) 其中y =2px
22
解析几何新题型
【例题解析】 考点1. 求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一, 其解法为从曲线的性质入手, 构造方程解之. 例1．若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆
x
2
6
+
y
2
2
=1的右焦点重合，则p
的值为（ ）
A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．4
考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆x
2
6
+
y
2
2
=1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y =2px
2的焦点为(2,0)，则p =4，故选D.
考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一, 其解法为从曲线的性质入手, 找出点的坐标, 利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.
⎧y =-x 2+32
⇒x +x +b -3=0⇒x 1+x 2=-1，进而可求出A B 的中解：设直线A B 的方程为y =x +b ，由⎨
⎩y =x +b
点M (-
12
, -
12
+b ) ，又由M (-
12
, -
12
+b ) 在直线x +y =0上可求出b =1，
2
∴x +x -2=
0，由弦长公式可求出AB =
=
故选C
例3．如图，把椭圆x
AB
2
25
+
y
2
16
=1的长轴
分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部
分于P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则
P 1F +P 2F +P 3F +P 4F +P 5F +P 6F +P 7F =____________.
考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆x ∴P 1F
2
25
+
y
2
16
=1的方程知a =25, ∴a =5.
2
+P 2F +P 3F +P 4F +P 5F +P 6F +P 7F =
7⨯2a 2
=7⨯a =7⨯5=35.
故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一, 其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);
a
(2) 双曲线的离心率e ＝c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).
a
结合有关知识来解题.
例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(-4, 0) ，(4,0) ，则双曲线方程为
22
A ．x -y =1 B ．
x
2
41212
-
y
2
4
x
=1 C ．
2
10
-
y
2
6
x
=1 D ．
2
6
-
y
2
10
=1
考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：
e =
c a
=2, c =4, 所以∴
a =2, b =12. 故选(A).
2
小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握. 尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例5．已知双曲线3x 2 A.
2
-y
2
=9, 则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）
B.
233
C. 2 D.4
考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝c ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.
a
解答过程：依题意可知 考点4. 求最大(小) 值
a =3, c =a +b
22
=3+9=23
．
求最大(小) 值, 是高考题中的热点题型之一. 其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小) 值:特别是, 一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例6．已知抛物线y 2=4x , 过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y 1),B(x2,y 2) 两点，则y 12+y 22的最小值是 . 考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小) 值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为y =k (x -4), ∴k 2(x 2-8x +16)=4x ,
∴k x -(8k +4)x +16k =0,
2
2
2
2
∴y 1+y 2=4(x 1+x 2)=4⨯
2
2
8k +4k
2
2
1⎫⎛
=16 2+2⎪≥32.
k ⎭⎝
故填32.
考点5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常
用的解题技巧要熟记于心. 例7．
在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆心在第二象限、半径为2圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C 的方程；
（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长. 若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
⎪m
则⎧
=-n , =⎨
⎪⎩n 2
的圆C 与直线y =x 相切于坐标原点O . 椭圆x
a
22
+
y
2
=1与
9
m
解得⎧
⎨
=-2,
⎩n =2.
2
2
所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为
x
(x +2) +(y -2) =8
2a =10
2
， a =5．
25
+
y
2
9
=1 , 右焦点为 F( 4, 0) ;
假设存在Q
点(-2+θ, 2+θ
)使QF
=OF
,
4
．
整理得
sin θ=3cos θ+ 代入 sin 2θ
+cos 2θ=1．
cos θ=
10
=
10
-1．
得:10cos 2θ+θ+7=0
,
因此不存在符合题意的Q 点. 例8．
如图, 曲线G 的方程为y 2
=2x (y ≥0)
. 以原点为圆心，以t (t >0)
为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B . 直线AB 与 x 轴相交于点C .
（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c 的关系式；
（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为a
+2, 求证：直线
CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系
，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，A (a , 因为|OA 由于t
|=t , 所以a +2a =t .
2
2
2a ).
>0, 故有t =
a +2a . （1）
2
由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为+
c
x y t
=1.
又因点A 在直线BC 上，故有a
c
+
2a t =1,
=1,
将（1）代入上式，得a
c
+
2a a (a +2)
解得 c =a +2+2(a +2) . CD 的斜率为
=
2(a +2) -
2(a +2)
=-1
（II ）因为D (a +2
k CD =
2(a +2) a +2-c
=
2(a +2) ) ，所以直线
2(a +2)
，
a +2-(a +2+2(a +2) )
所以直线CD 的斜率为定值. 例9．已知椭圆E :
x a
22
+
y b
22
=1(a>b >0) ，AB 是它的一条弦，M (2,1)是弦AB 的中点，若以点M (2,1)为焦点，椭
圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N (4,-1) ，若椭圆离心率e 和双曲线离心率e 1之间满足
ee 1=1，求：
（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.
解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为A (x1, y 1), B(x2, y 2) ， 则x 1
a
2
2
+
y 1b
2
2
x 2
=1，
a
2
2
2
+
y 2b
2
2
=1，二式相减得：
22
k A B =
y 1-y
x 1-x 2
=-
(x1+x )b 2(y 1+y 2)a
=-
2
2b a
2
2
=k M N =
2
1-(-1) 2-4
c a =
=-1，
2
所以a 2222
=2b =2(a-c ) ，a =2c
，
则e =
；
1e =
，
（2）椭圆E
的右准线为x
=
a
2
c
=
c
=
2c ，双曲线的离心率e 1=
设P(x,y) 是双曲线上任一点，则：
|PM ||x -2c |
=
|x -2c |
=
两端平方且将N (4,-1) 代入得：c =1或c =3， 当c =1时，双曲线方程为：(x-2) 2-(y -1) 2
=0
，不合题意，舍去；
当c =3时，双曲线方程为：(x-10) 2-(y -1) 2=32，即为所求.
小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：
例10．双曲线C 与椭圆x (1)求双曲线C 的方程；
(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）. 当PQ 且λ1+λ2
=-
83
2
8
+
y
2
4
=1有相同的焦点，直线
y =
3x
为C 的一条渐近线.
=λ1QA =λ2QB
，
时，求Q 点的坐标.
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力, 以及运用数形结合思想, 方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为x
a
22
-
y b
22
=1,
由椭圆x
2
8
+
y
2
4
=1, 求得两焦点为(-2, 0), (2,0) ，
∴对于双曲线C :c =
2，又y =为双曲线C 的一条渐近线
∴b = 解得 a 2=1, b 2=3，
a
2
∴双曲线C 的方程为x 2-y =1
3
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.
设l 的方程：y =kx +4, A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 则Q (-4, 0) .
k
44
PQ =λ1Q A , ∴(-, -4) =λ1(x 1+, y 1) .
k
k
44⎧
x =--41⎧4⎪k λ1k ⎪-=λ1(x 1+) ⎪
∴⎨k k ⇒⎨⎪⎪y =-4-4=λ1y 1⎩1
⎪λ1⎩
A (x 1, y 1) 在双曲线C
上， ∴
161+λ1216() --1=
0. 2k λ1λ1
∴16+32λ1+16λ12-
163
k -k λ=0. ∴(16-k 2) λ12+32λ1+16-
2
2
2
163
k
2
=0.
同理有：(16-k 2) λ22+32λ2+16-16k 2
3
=0.
若16-k 2=0, 则直线l 过顶点，不合题意. ∴16-k 2
163
2
≠0,
∴λ1, λ2是二次方程(16-k 2) x 2+32x +16-
32k -16
2
k =0. 的两根.
∴λ1+λ2=
=-
83
, ∴k 2=4，此时∆>0, ∴k =±2.
∴所求Q 的坐标为(±2, 0) .
解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，y =kx +4, A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则Q (-
PQ =λ1Q A ， ∴Q
4k
, 0)
.
分PA 的比为λ1.
由定比分点坐标公式得
λ1x 14⎧4⎧
⎪-k =1+λ⎪x 1=-k λ(1+λ1) ⎪⎪11
→⎨⎨
4⎪0=4+λ1y 1⎪y 1=-
⎪⎪λ11+λ1
⎩⎩
下同解法一
解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：y
=kx +4, A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则Q (-
4k , 0)
.
444
PQ =λ1QA =λ2QB ， ∴(-, -4) =λ1(x 1+, y 1) =λ2(x 2+, y 2) .
k
k
k
∴-4=λ1y 1=λ2y 2， ∴λ=-
1
4y 1
23
，λ
2
=-
4y 2
，
又λ1+λ2
=-
83
， ∴
1y 1
+
1y 2
=
, 即3(y 1+
2
2
y 2) =2y 1y 2.
将y =kx +4代入x 2-
3-k ≠0
2
y
2
3
=1得(3-k ) y -24y +48-3k =0
2
.
，否则l 与渐近线平行.
24
2
∴y 1+y 2=
243-k
2
3-k
, y 1y 2=
48-3k 3-k
22
48-3k 3-k
2
2
.
∴3⨯=2⨯
. ∴k =±2
∴Q (±2, 0) .
解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：y
44
PQ =λ1Q A , ∴(-, -4) =λ1(x 1+, y 1) .
=kx +4，A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , 则Q (-
4k
, 0)
k k
-
44k =-
4kx 1+4
∴λ1=
. 同理
λ1=-
4kx 2+4
.
x 1+
λ1+λ2=-
4kx 1+4
-
4kx 2+4
=-
83
.
即 2k x 1x 2+5k (x 1+x 2) +8=0. ⎧y =kx +4⎪
又 ⎨2y 2
=1⎪x -3⎩
2
（*）
消去y 得(3-k ) x -8kx -19=0.
当3-k 2=0时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k 2≠0.
8k ⎧
x +x =122⎪⎪3-k 由韦达定理有： ⎨ ⎪x x =-19122⎪3-k ⎩
22
代入（*）式得 k =4, k =±2.
2
∴所求Q 点的坐标为(±2, 0) .
例11．
设动点P 到点A (－l ，0) 和B (1，0) 的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ, 且存在常数λ(0＜λ＜1＝, 使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；
（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点, 试确定λ的范围, 使OM ON ＝0, 其中点O 为坐标原点．
[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程]解法1：（1）在△P A B 中，AB =2，即22
4=(d 1-d 2) +
4d 1d 2sin θ
2
2
=d 1+d 2-2d 1d 2cos 2θ
22
，
，即
d 1-d 2=
（常数），
点P 的轨迹C 是以A ，
B 为焦点，实轴长2a 方程为：
x
2
=
1-λ
-
y
2
λ
=1．
（2）设M (x 1，y 1) ，N (x 2，y 2) ①当M N 垂直于x 轴时，M N 的方程为x 即
11-λ
-1
=1⇒λ+λ-1=0⇒λ=
2
=1，M (1，1) ，N (1，-1) 在双曲线上．
2
，因为0
λ
1，所以λ=
2
②当M N 不垂直于x 轴时，设M N 的方程为y =k (x -1) ．
2
⎧x 2y
-=1得：⎡λ-(1-λ) k 2⎤x 2+2(1-λ) k 2x -(1-λ)(k 2+λ) =0， 由⎪
λ⎣⎦⎨1-λ
⎪y =k (x -1) ⎩
由题意知：⎡λ-(1-λ) k 2⎤≠0，所以x 1+
⎣
⎦
x 2=
-2k (1-λ)
2
λ-(1-λ) k
2
，x
1
x 2=
-(1-λ)(k +λ)
2
．
λ-(1-λ) k
2
于是：y 因为OM
1
y 2=k (x 1-1)(x 2-1) =⋅ON =0，且M ，N
2
k λ
22
2
．
λ-(1-λ) k
在双曲线右支上，所以
．
λ(1-λ) ⎧2
⎧x 1x 2+y 1y 2=0λ⎧λ(1-λ) k =2
⎪>⎪⎪⎪2λ+λ-1⇒⎨⇒⎨λ+λ-11-λ⇒⎨x 1+x 2>0
λ2⎪x x >0⎪k >⎪λ2+λ-1>0
⎩⎩12
⎪1-λ⎩
2
23
由①②
2
λ
23
．
解法2：（1）同解法1
（2）设M (x 1，y 1) ，N (x 2，y 2) ，M N 的中点为E (x 0，y 0) ． ①当x 1=x 2=1时，因为0
M B
2
=
λ
1-λ
-λ=1⇒λ+λ-1=0，
2
1，所以λ=
2
；
②当x 1≠x 2
2⎧x 12y 1
-=1
x λ时，⎪⎪1-λλ
⇒k MN =⋅0⎨2
2
1-λy 0y 2⎪x 2
-=1
⎪λ⎩1-λ
．
又k M N
=k BE =
y 0x 0-1
．所以(1-λ) y 02
2
=λx 0-λx 0；
2
⎛M N ⎫
由∠M O N =得x +y = ⎪
2⎝2⎭
π
2
202
M N ⎫⎡e (x 1+x 2) -2a ⎤，由第二定义得⎛ ⎪=⎢⎥2⎣⎦⎝2⎭
2
2
12
=0=x 0+(1-λ) -2x 0．
1-λ
所以(1-λ) y 02
=λx 0-2(1-λ) x 0+(1-λ)
2
22
． 得x
(1-λ)
2
⎪(1-λ) y 0于是由⎧
⎨222⎪⎩(1-λ) y 0=λx 0-2(1-λ) x 0+(1-λ) ,
2
=λx 0-λx 0,
2
=
2-3λ
.
因为x 0>1，所以(1-λ) 2
23
2-3λ
>1，又0
2
23
．由①②
λ
．
考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.
例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，
且CA
=2BC ，求当∆A O B
，过点C(-1, 0) 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，
的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.
3
2x 由⎧⎨
2
2x 2+3y 2=t(t>0) ，直线方程为my =x +1，
，设A (x1, y 1), B(x2, y 2) ，
+3y =t 得：
2
(2m+3) y -4my +2-t =0
22
⎩m y =x +1
则y 1+y 2=又CA
4m 2m +3
2
y
…………①
A
=2BC ，故(x1+1, y 1) =2(-1-x 2, -y 2) ，即y 1=-2y 2…………②
=
8m 2m +3
2
C B
x
由①②得：y 1则S ∆A O B
=12
，y 2
m
=
-4m 2m +3|＝
2
，
6
2
|y 1-y 2|=6|
2m +
3
2
2|m |+
3|m |
≤
当m 2
=
32
，即m
=
2-t
=±
2
∆A O B 面积取最大值，
32m
2
2
2
此时y 1y 2
2m +3
2
=-
，即t =10，
2
2
(2m+3)
2
所以，直线方程为x ±+1=0，椭圆方程为2x +3y =10.
小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13
．已知P A
=(x +
y )
，PB =(x-y) ，且|P A |+|P B |=6， 求|2x -3y -12|的最大值和最小值.
0) ，
解答过程：设P(x,y)
，A (
0) ，B 因为|P A |+|P B |=6，且|AB |=
6
，
所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，
椭圆方程为x
2
9
+
y
2
4
=1，令x
=3cos θ, y =2sin θ，
π4
) -12|，
则|2x -3y -
12|＝|当cos(θ+
π4
θ+
) =-1时，|2x -3y -
12|取最大值12
+
当cos(θ+π) =1时，|2x -3y -
12|取最小值12-4
小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例14．（2006年福建卷） 已知椭圆x O 为坐标原点.
（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ） a 2
圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线x =
-12
2
2
+y =1的左焦点为
2
F ，
=2, b =1, ∴c =1, F (-1, 0), l :x =-2.
2
上.
12
) -(-2) =
32.
设M (-1, t ), 则圆半径r
2
=(-
由OM =
r , 解得t
=
=
32
,
∴
所求圆的方程为(x +
12
) +(y ±
2
=
2
94
.
（II ）设直线AB 的方程为代入
x
2
y =k (x +1)(k ≠0),
2
2
2
2
2
2
+y =1, 整理得(1+2k ) x +4k x +2k -2=0.
直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根.
记A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), AB 中点N (x 0, y 0),
则x
1
+x 2=-
4k
2
2
2k +1
,
∴A B
的垂直平分线NG 的方程为y -
y 0=-
1k
(x -x 0).
令y =0, 得
x G =x 0+ky 0=- k ≠0, ∴-
12
2k
22
2k +1
+
k
2
2
2k +1
=-
k
2
2
2k +1
=-
12
+
14k +2
2
.
∴点G 横坐标的取值范围为(-1, 0).
2
22 x y
例15．已知双曲线C ，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|O A |,|O B |,|O F |-2=1(a>0, b >0) 2
a b
成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ， （1）求证：PA ⋅OP =PA ⋅FP ；
（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.
2 |OB |2
a 解答过程：（1）因|O A |,|O B |,|O F |成等比数列，故|OA |==
，即A (
a
2
|OF |c
c
, 0) ，
直线l ：y =-a (x-c) ，
b
a ⎧
y =-(x-c) 2⎪a ab ， 由⎪b
⇒P (, ) ⎨
b c c ⎪y =x ⎪a ⎩
22 ab a ab b ab 故：PA =(0,-), OP =(, ), FP =(-, ) ，
c c c c c
22 a b
则：PA ⋅OP =-2=PA ⋅FP ，即PA ⋅OP =PA ⋅FP ；
c
（或PA ⋅(OP -FP ) =PA ⋅(PF-PO ) =PA ⋅O F =0，即PA ⋅OP =PA ⋅FP ）
a ⎧4442
y =-(x-c) a a a c ⎪2222
（2）由⎨⇒(b-2)x +22cx -(2+a b ) =0， b
b b b ⎪b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2
⎩
-(
a c 2
42
+a b ) a b
42
22
由x 1x 2=
a ⇒b =c -a >a ⇒e >2⇒e >
4422222
b -
2
（或由k D F >k D O ⇒-
a b
>-
b a
⇒b =c -a >a ⇒e >2⇒e >
22222
）
小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 例16．已知a =(x, 0) ，b =(1,y ) ，(a+ （1）求点P(x,y) 的轨迹C 的方程；
（2）若直线y =kx +m (m≠0) 与曲线C 交于A 、B 两点，D (0,-1) ，且|AD |=|BD |， 试求m 的取值范围.
解答过程：（1
）a +
a -
＝(x, 0) +
y) =(x+
，
) ⊥(a-) ，
＝(x, 0) -
) ⊥(a-y) =(x-
) ，故(a+
，
⋅(a-
2
2
因(a+=0，
即(x+⋅(x-=x -3y -3=0，
2
故P 点的轨迹方程为
x
3
-y =1.
2
⎧y =kx +m
（2）由⎨2得：(1-3k 2)x 2-6km x -3m 2-3=0， 2
⎩x -3y =3
设A (x1, y 1), B(x2, y 2) ，A 、B 的中点为M (x0, y 0)
则∆=(6km) -4(1-3k )(-3m -3) =12(m+1-3k ) >0，
x 1+x 2=
6km 1-3k
2
22222
，x 0=
3km 1-3k
2
x 1+x 2
2,
m 1-3k
=
3km 1-3k
2
，y 0=kx 0+m =
m 1-3k
2
，
即A 、B 的中点为(
2
) ， m
=(-
2
则线段AB 的垂直平分线为：y -
1k
1-3k
2
)(x -
3km 1-3k
2
) ，
将D (0,-1) 的坐标代入，化简得：4m =3k -1，
22⎧⎪m +1-3k >02
则由⎨得：m -4m >0，解之得m 4，
2
⎪⎩4m =3k -1
2
又4m =3k -1>-1，所以m >-
14
，
故m 的取值范围是(-
14
, 0) (4,+∞) .
小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.
例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且A C B ⋅C 0=
|B C |=2|A C |，
，
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上的两点P ,Q 使∠PCQ 的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ =λA B ？请说明理由；
解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立
平面直角坐标系，则A (2,0) ，
x
2
C
A Q
设椭圆方程为
4
+
y b
22
O
=1，不妨设C 在x 轴上方，
由椭圆的对称性，|B C |=2|A C |=2|O C |⇒|A C |=|O C |，
B
P
又AC ⋅BC =0⇒A C ⊥O C ，即ΔO C A 为等腰直角三角形，
由A (2,0) 得：C(1,1)，代入椭圆方程得：b 2=
x
2
43
，
即，椭圆方程为
4
+
3y 4
2
=1；
（2）假设总存在实数λ，使得PQ =λA B ，即AB //PQ ，
由C(1,1)得B(-1, -1) ，则k AB =
0-(-1) 2-(-1)
=
13
，
若设CP ：y =k (x-1) +1，则CQ ：y =-k (x-1) +1，
⎧x 23y 2
+=1⎪222
由⎨4⇒(1+3k )x -6k (k-1)x +3k -6k -1=0， 4
⎪y =k (x-1) +1⎩
由C(1,1)得x =1是方程(1+3k )x -6k (k-1)x +3k -6k -1=0的一个根，
3k -6k -11+3k
2
2
222
由韦达定理得：x P =x P ⋅1=
，以-k 代k 得x Q =
3k +6k -11+3k
2
2
，
故k PQ =
y P -y Q x P -x Q
=
k (xP +x Q ) -2k
x P -x Q
=
13
，故AB //PQ ，
即总存在实数λ，使得PQ =λA B .
评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.
考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题
直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.
例18．设G 、M 分别是∆A B C 的重心和外心，A (0,-a ) ，B(0,a )(a>0) ，且GM =λAB ，
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）是否存在直线m ，使m 过点(a, 0) 并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且O P ⋅O Q =0？若存在，求出直
线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x, y) ，则G (
x y
, ) ， 33
x
因为GM =λAB ，所以G M //A B ，则M (, 0) ，
3 由M 为∆A B C 的外心，则|M A |=
|M C |，即=
，
整理得：
x
22
3a
+
y a
22
=1(x≠0) ；
（2）假设直线m 存在，设方程为y =k (x-a ) ，
⎧y =k (x-a ) ⎪22222
2 由⎨x 2得：(1+3k )x +6k ax +3a (k-1) =0， y
⎪2+2=1(x≠0)
a ⎩3a
设P (x1, y 1), Q (x2, y 2) ，则x 1+x 2=
6k a 1+3k
2
2
，x 1x 2=
3a (k-1) 1+3k
22
22
，
- y 1y 2=k (x 1
2
a ) (2-x
=a )
2
k 1[2x -x
-2k a
+a (x 2+x ＝2， 1
1+3k
2
2
由O P ⋅O Q =0得：x 1x 2+y 1y 2=0，
即
3a (k-1) 1+3k
2
22
+
-2k a 1+
3k
222
=0，解之得k =，
又点(a, 0) 在椭圆的内部，直线m 过点(a, 0) ， 故存在直线m
，其方程为y =x -a ) .
小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；
（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】 一、选择题
1
．如果双曲线经过点 A ．
x
2
，且它的两条渐近线方程是y =±
13
x
，那么双曲线方程是（）
36
-
y
2
9
=1 B ．
x
2
81
-
y
2
9
222
x x y 2
C ． D ．=1-y =1-=1
9183
2222
2．已知椭圆x +y =1和双曲线x -y =1有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ）
2222
3m 5n 2m 3n
A. x
=±
2
B. y =±
2
C. x =±
4
D. y =±
4
x 轴，
3．已知F 1, F 2为椭圆 且∠F 1M F 2
x a
22
+
y b
22
=1(a>b >0) 的焦点，M 为椭圆上一点，M F 1垂直于
=60︒，则椭圆的离心率为（ ）
A. 1
2
4
2
C.
3
2
22
4．二次曲线x +y =1，当m ∈[-2, -1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
m
A. 2
2
B. 2
2
C. 2
2
D. 2
2
5．直线m 的方程为y =kx -1，双曲线C 的方程为x 2-y 2=1，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，
则实数k 的取值范围是（ ）
A. (
B. (1,
C. [
D.
6．已知圆的方程为x 2+y 2
方程为（ ） A.
x
2
=4，若抛物线过点A (-1, 0) ，B(1,0) ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹
3
+
y
2
4
=1(y ≠0) B.
x
2
4
+
y
2
3
=1(y ≠0)
C.
x
2
3
-
y
2
4
=1(x
≠0) D.
x
2
4
-
y
2
3
=1(x≠0)
二、填空题
22
7．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x +y =1(a >b >0) 上一点，若PF 1⋅PF 2=0
22
a b
tan ∠PF 1F 2=
12
，则椭圆的离心
率为 ______________ .
8．已知椭圆x 2+2y2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为4，
3
点A 的坐标是______________ .
22
9．P 是椭圆x +y =1上的点，F 1, F 2是椭圆的左右焦点，设|PF 1|⋅|PF 2|=k ，则k 的最大值与最小值之差是
43
______________ . 10．给出下列命题： ①圆(x+2) 2
16
+(y -1) =1关于点M (-1, 2) 对称的圆的方程是(x+3) +(y -3) =1；
2
2
2
22
②双曲线x -y =1右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为29；
92
③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(-4, -3) 的抛物线方程只能是y 2
=-
94
x
；
+|
O Q |
2
④P 、Q 是椭圆x 2+4y 2=16上的两个动点，O 为原点，直线OP ,OQ 的斜率之积为-1，则|O P |2
4
等于定
值20 .
把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题
11．已知两点A 0) ，B(2
0) ，动点P 在y 轴上的射影为Q ，PA ⋅PB =2PQ ，
（1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）设直线m 过点A ，斜率为k
，当0
12．如图，F 1(-3, 0) ，F 2(3,0) 是双曲线C 的两焦点，直线x
=43
是双曲线C 的右准线，A 1, A 2 是双曲线C 的两个
顶点，点P 是双曲线C 右支上异于A 2的一动点，直线A 1P 、A 2P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点， （1）求双曲线C 的方程；
（2）求证：F 1M ⋅F 2N
是定值.
13．已知∆OFQ 的面积为S ，且O F ⋅FQ （1）若S =
=1，建立如图所示坐标系，
y
Q
12
，|O F |=2，求直线FQ 的方程；
2) ，S =
（2）设|O F |=c(c≥
34
c ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|O Q |取
o
F
x
得最
小值时的椭圆方程.
14．已知点H (-3, 0) ，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ⋅PM =0，P M （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；
（2）过点T (-1, 0) 作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E (x
=-
3
M Q 2
，
为等
边三角形，求x 0的值.
a
b
22
15．已知椭圆x +y =1(a >b >0) 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭
22
圆的左焦点F 1，向量AB 与OM 是共线向量．
（1）求椭圆的离心率e ；
（2）设Q 是椭圆上任意一点， F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2 的取值范围；
16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使MP ⋅MN , PM ⋅PN , NM ⋅NP 成公差小于零的等差数列，
【参考答案】
一. 1．C .提示，设双曲线方程为(1x +y )(1x -y ) =λ
，将点(6,代入求出λ即可.
3
3
（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P 坐标为(x 0, y 0) ，θ为PM 与PN 的夹角，求tanθ．
2．D . 因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点
为0) ，双曲线焦点
为得|m |=
n |，所以，双曲线的渐近线为y =±3m -5n =2m +
3n
2
2
2
2
0)
，由
2|m |
=±
4
.
3．C .设|M F 1|=d ，则|M F 2|=
2d ，|F 1F 2|=
，
c a
2c 2a
|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|
2
e ====
d +2d
=
3
.
4.C .
>1，故选
C ；或用a 2=4，b 2=-m 来计算.
5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.
二.7．解：设c PF 1⋅PF 2=0 PF 1⊥PF 2 .
⎧⎪⎪
又tan ∠PF 1F 2=1 ∴⎪
⎨2
⎪⎪⎪⎩
PF 1
2
+PF 2
2
=(2c )
2
PF 1+PF 2=2a PF 2PF 1
=12
解得：() 2=
a
c
, 9
5
e =
c a
=
3
． 选D ．
8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由
y=x-x0 可得
3x 0x+2x0-12=0， 2+2y2=12
x 1+x 2=
4x 03
2
2
，x 1⋅x 2
2
=
2x 0-12
3
2
，则
16x 0
9
2
|x 1-x 2|=(x 1+x 2) -4x 1x 2=
2
-
8x 0-48
3
2
=
23
36-2x 0
2
2
．
4
2
3
=
+x ⋅|x 1-x 2|，即
43
=2⋅
23
⋅
36-2x 0
．
∴x 0=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．
222
9．1；k =|PF 1|⋅|PF 2|=(a+ex )(a-ex ) =a -e x .
10．②④.
三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)
，则点Q(0,y) ，P Q =(-x , 0) ，PA =x , -y) ，
22
P B =(x , -y ) ，P A ⋅P B =x -2+y ，
222
因为PA ⋅PB =2PQ 2，所以x -2+y =2x ，
即动点P 的轨迹方程为：y -x =2； （2）设直线m ：y =k (x-
22
依题意，点C 在与直线m 平行，且与m
设此直线为m 1:y =kx +
b =b 2+=2，……①
把y =kx +b 代入y 2-x 2=2，整理得：(k2-1)x 2+2kbx +(b2-2) =0， 则∆=4k 2b 2-4(k2-1)(b2-2) =0，即b 2+2k 2=2，…………② 由①②
得：k =
b
5
=
5+
5
⇒C ，
.
此时，由方程组⎪y =
⎧
5⎨
⎪y 2-x 2=2⎩
12．解：（1）依题意得：c =3，
a
2
c
=
43
，所以a =2，b 2=5，
所求双曲线C 的方程为
x
2
4
-
y
2
5
=1；
（2）设P (x0, y 0) ，M (x1, y 1) ，N (x2, y 2) ，则A 1(-2, 0) ，A 2(2,0) ，
210
A 1P =(x0+2, y 0) ，A 2P =(x0-2, y 0) ，A 1M =(, y 1) ，A 2N =(-, y 2) ，
3
3
10
y 0，y 1=因为A 1P 与A 1M 共线，故(x 0+2) y 1=
3
135
则F 1M =(, y 1) ，F 2N =(-, y 2) ，
33
10y 03(x0+2)
，同理：y 2=-
2y 03(x0-2)
，
65
+y 1y 2＝-65-所以F 1M ⋅F 2N ＝-
9
9
20y 0
2
2
9(x-4)
＝-65-
9
20⨯
5(x0-4)
20
2
49(x-4)
=-10
.
13．解：（1）因为|O F |=2，则F(2,0) ，O F =(2,0) ，设Q (x0, y 0) ，则FQ =(x0-2, y 0) ，
5
OF ⋅FQ =2(x0-2) =1，解得x 0=，
2
1 1151
由S =|O F |⋅|y 0|=|y 0|=，得y 0=±，故Q (, ±) ，
22222
所以，PQ 所在直线方程为y =x -2或y =-x +2；
（2）设Q (x0, y 0) ，因为|O F |=c(c≥2) ，则FQ =(x0-c, y 0) ， 1由OF ⋅FQ =c(x0-c) =1得：x 0=c +，
c
又S =
Q (c+
121
c |y 0|=, ±3
34
c ，则y 0=±
32
，
1292
) ，|O Q |=(c+) +， c 2c 4
53
易知，当c =2时，|O Q |最小，此时Q (, ±) ，
22
⎧a 2-b 2=42
⎧x y ⎪⎪a =10
设椭圆方程为2+2=1, (a>b >0) ，则⎨25，解得⎨， 92
a b =1⎪⎩b =6⎪2+2
4b ⎩4a
2
2
所以，椭圆方程为
x
2
10
+
y
2
6
=1 .
3 y x
14．解：（1）设M (x,y) ，由P M =-M Q 得：P (0,-) ，Q (, 0) ，
223
y 3y 2
) =0，即y =4x ， 由HP ⋅PM =0得：(3,-)(x ,
22
由点Q 在x 轴的正半轴上，故x >0，
即动点M 的轨迹C 是以(0,0) 为顶点，以(1,0) 为焦点的抛物线，除去原点； （2）设m :y =k (x+1)(k≠0) ，代入y 2=4x 得：
k x +2(k-2)x +k =0…………①
设A (x1, y 1) ，B(x2, y 2) ，则x 1, x 2是方程①的两个实根，
2(k-2)
k
22
2
2
2
2
则x 1+x 2=-，x 1x 2=1，所以线段AB 的中点为(
2k
1k
2-k k
22
2-k k
2
2
,
2k
) ，
线段AB 的垂直平分线方程为y -令y =0，x 0
=2k
2
=-(x-
) ，
+1，得E (
2k
2
+1, 0) ，
因为∆ABE 为正三角形，则点E 到直线AB
又|AB |=
2
|AB |，
k
k
=
k =±
2
x 0=
b
2
113
.
15．解：（1）∵F 1(-c , 0), 则x M
=-c , y M =
b
2
a
，∴k OM
=-
.
ac
∵k b
2
AB =-b , OM 与AB 是共线向量，∴故a
-
ac
=-
b ，∴b=c,a
e
=
2 .
2
（2）设
F 1Q =r 1, F 2Q =r 2, ∠F 1Q F 2=θ,
∴r 1+r 2=2a , F 1F 2=2c ,
222
22
2
cos θ=
r 1+r 2-4c
2-4c
2r =
(r 1+r 2) -2r 1r 1r 2
2r =
a
-1≥
a 2
1r 2
r 1r 2
(
r 1+r -1=0
2
2
)
2
当且仅当r 1=r 2时，cosθ=0，∴θ∈[0,
π
2
] .
16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得
PM =-M P =(-1-x , -y ), PN =-NP =(-1-x , -y ) ， MN =-NM =(2, 0) . 所以 MP ⋅MN =2(1+x ) . PM ⋅PN =x 2+y 2-1 ， NM ⋅NP =2(1-x ) .
于是， MP ⋅MN , PM ⋅PN , NM ⋅NP 是公差小于零的等差数列等价于
⎧⎪x 2+y 2
-1=12
⎨
2[2(1+x ) +2(1-x )]
即 ⎧ .
⎪⎨x 2+y =3
⎩
2(1-x ) -2(1+x ) 0
所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为(x 20, y 0) 。PM ⋅PN =x 20+y 0-1=2 .
PM PN =
=
所以cos θ=P M ⋅P N
=
P M ⋅P N
0〈x 0≤3，
所以
11
-
14-x 2
02
π
3
, sin θ=-cos 2
θ=
-
4-x 2
, tan θ=sin θ==
3-x 2
0=y 00
cos θ
1
4-x 20
因为