6.2 算术平均数与几何均数
6.2 算术平均数与几何均数的应用
一、基础知识
1、算术平均数：如果a , b ∈R +，那么
a +b
叫做这两个正数的算术平均数。 2
2、几何平均数：如果a , b ∈R +，那么ab 叫做这两个正数的几何平均数。 3、定理：如果a , b ∈R +，那么a +b ≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号） 4、推论：如果a , b ∈R +，那么
2
2
a +b
≥ab （当且仅当a=b时取“=”号） 2
a 2+b 2a +b 2
≥≥ab ≥5、基本不等式：若a , b ∈R ，则
1122
+a b
+
当且仅当a=b时取“=”号 二、例题选讲
（一） 利用基本不等式证明不等式
例1、设实数x 、y 满足y +x 2=0, 00, a y >0, ∴a x +a y ≥2a x +y =2a x -x . x -x 2=
111
-(x -) 2≤, 0
1
a 4
2
1 8
∴a +a ≥2
x y
=
1
2a 8. ∴log a (a x
+a )
y
12a 8
1
=log a 2+.
8
例2、已知a , b , c ∈R ，求证a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥
2(a +b +c )
a 2+b 2⎛a +b ⎫
证明： ≥ ⎪
22⎝⎭
∴a 2+b 2≥
22
(a +b ) a +b ≥
22
2
2
同理∴b +c ≥
2
2
(b +c ), ∴c 2+a 2≥(c +a ) 22
三式相加得a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥
+
2(a +b +c )
例3已知a 、、b、∈R ，且a +b +c =1, 求证：
(1+a )(1+b )(1+c ) ≥8(1-a )(1-b )(1-c ).
证明： a 、、b、∈R ，且a +b +c =1, 所以要证原式只要证：
+
[(a +b +c ) +a ][(a +b +c ) +b ][(a +b +c ) +c ]≥8[(a +b +c ) -a ][(a +b +c ) -b ][(a +b +c ) -c ].
即证：
[(a +b ) +(c +a )][(a +b ) +(b +c )][(c +a ) +(b +c )]≥8(b +c )(c +a )(a +b ), (1)
(a +b ) +(b +c ) ≥2(a +b )(b +c ) (b +c ) +(c +a ) ≥2(b +c )(c +a ) (c +a ) +(a +b ) ≥2c +a )(a +b )
三式相加得(1)式成立, 故原不等式成立.
练习：已知a,b,c 为不等正数，且abc=1，求证：a +b +证一： a,b,c 为不等正数，且abc=1
c
111++ a b c
∴a ++c ≤
111111+++
111
证二： a,b,c 为不等正数，且abc=1
111bc +ca ba +ca bc +ba
∴++=bc +ac +ab =++a b c 222 >abc 2+a 2bc +ab 2c =++c
所以a ++
c
111
++ a b c
小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。 (二) 、利用基本不等式求最值 例4、(P180)已知x
51，求函数y =4x -2+的最大值。 44x -5
分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。 解 x
5
, ∴5-4x >0 4
∴y =4x -2+
11⎫⎛
=- 5-4x +⎪+3≤-2+3=1
4x -55-4x ⎭⎝1
，即x=1时”=”成立
5-4x
当且仅当5-4x =
∴当x=1时y max =1
例5 已知a >0, 求函数y =
x 2+a +1x +a
2
的最小值.
解:y =x 2+a +
1x +a
2
,
当0
1x +a
2
≥2, 当且仅当x =±-a 时取等号, y min =2.
11
当a >1时, 令t =x 2+a (t ≥a ) . y =f (t ) =t +. f /(t ) =1-2>0
t t
∴f (t ) 在[a , +∞) 为增函数.
∴y ≥f (a ) =
a +1a
, 等号当t =a 即x =0成立, y min =
a +1.
a +1a
. 综上所述, 0
y min =2; a >1时y min =
结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小
(三) 、基本不等式的综合应用
例6(选讲) 、已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(8
解：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k(k>0)，则y 1=kv 当v=12时，y 1=720
2
∴720=k ⋅122得k=5
设全程燃料费为y ，依题意有
2001000v 264⎫64⎛⎛⎫
y =y 1⋅==1000+16⎪≥32000 v +8+⎪=1000 v -8+
v -8v -8v -8⎭v -8⎝⎝⎭
当v -8=
64
，即v=16时取等号 v -8
8
所以当v ≥16时，v=16时全程燃料费最省 当v
64
v -8
任取8
∴1-
64
v 1-8v 2-8⎛⎫64
∴t 1-t 2=(v 1-v 2) 1- v -8v -8⎪⎪>0
12⎝⎭
1000v 264
即t =v -8+在(8, v ]上为减函数，当v=v0时，y 取最小值
v -8v -8
综合得：当v ≥16时，v=16km/h，全程燃料费最省，32000为元，当v
1000v 2
时，全程燃料费最省，为元。
v -8
另解：当v
64
v -8
t ' =1+
-64
v -82
8
∴0
2
∴t ' =1+
-64
v -82
∴t =v -8+
64
在[8, v 0]上为减函数 v -8
以下相同
小结：注意基本不等式应用条件和分类讨论 判断函数单调性用导数是很有效的方法 三、总结
1、根据不等式的特征能灵活选用基本不等式 2、多次用基本不等式必须保持取“=”的致性
3、用基本不等式时务必注意一正、二定、三相等这三个条件。
作业：