1.8 圆柱坐标系和球坐标系(20030430教案)

1.8 圆柱坐标系与球坐标系

1.8.1 圆柱坐标系

（1）建立圆柱坐标系

空间任一点P 的位置由坐标（ρ，φ，z ）确定，如图（a ）所示。其中：

① ρ 是P 点到z 轴的距离，即位置矢量r 在xoy 平面上的投影； ② φ 是正x 轴转到半平面o ABC 的方位角(0≤φ ≤2π) ； ③ z 是位置矢量r 在z 轴上的投影，即P 点到xoy 平面的距离。 这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面：

① 以z 为轴、ρ为半径的圆柱面；

② 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转φ角度所得半平面； ③ 距xoy 平面为z 的平行平面。

(平面)

y

y

e x y

ρ =常数

(圆柱面x

)

(b )

这三个坐标面交汇于P 点，且在P 点处相互正交。为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一个单位矢量e ρ、e φ和e z ，三单位矢量有以下特点： ① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系

e ρ ⨯ e φ = e z

e φ ⨯ e z = e ρ （1.8.1） e z ⨯ e ρ = e φ

② 除e z 是常矢外，e ρ和e φ 的方向都有可能随

P 点的不同而变化，它们是坐标函数:

e ρ=cos φe x +sin φe y e φ=-sin φe x +cos φe y

e ρ、e φ、e z 对坐标ρ、φ、z 求偏导

∂e ρ∂ρ

=0,

∂e ρ∂φ∂e φ∂φ∂e z ∂φ

=e φ, =-e ρ, =0,

∂e φ∂ρ∂e z ∂ρ

=0, =0,

⎫=0⎪∂z

⎪⎪∂e φ⎪=0⎬ ∂z ⎪

⎪∂e z

=0⎪∂z ⎪⎭

∂e ρ

矢量F （ρ、φ、z ）在圆柱坐标系下的表示式

A =A ρe ρ+A φe φ+A z e z (1.8.2) （2）线元矢量、面元和体积元

当点的位置发生微小变化导致了微分位移，用线元矢量d l 表示

d l =d ρe ρ+ρd φe φ+d z e z (1.8.3)

ρ

d s ρ

(a )

三个坐标微分增量d ρ、d φ、d z 所形成的体积元d V

(b )

d V =ρd ρd φd z （1.8.4）

两坐标变量的微小变化将形成三个典型面元，它们的正方向分别沿坐标ρ、φ、z 的

正方向

d S ρ=ρd φd z ⎫

⎪

d S φ=d ρd z ⎬ (1.8.5)

⎪

d S z =ρd ρd φ⎭

（3）圆柱坐标系中的三度表达式

对于连续、可微的标量场f (ρ、φ、z ) ，按多元函数的全微分链式法则表示微增量

d f =

∂f ∂ρ

d ρ+

∂f ∂φ

d φ+

∂f ∂z

d z

作改写

d f =

∂f ∂ρ

d ρ+

∂f ∂φ

d φ+

∂f ∂z

d z

⎛∂f ⎫ 1∂f ∂f

⎪= e +e +e ⋅d ρe +ρd φe +d z e ρφz ∂ρρρ∂φφ∂z z ⎪

⎝⎭

()

对照梯度定义式 d f =∇f ⋅d l ，得圆柱坐标系下梯度和del 算符的表达式

∇f =

∂f ∂ρ∂∂ρ

e ρ+

1∂f

ρ∂φ

1∂

e φ+

∂f ∂z ∂

e z (ρ≠0) （1.8.6）

∇=e ρ+e φ

ρ∂φ

+e z

∂z

(ρ≠0) （1.8.7）

按∇与F (ρ, φ, z) 的运算还可以得出散度和旋度的表达式：

∇⋅F (ρ, φ, z) =

1∂

ρ∂ρ

(ρF ρ) +

1∂F φ

ρ∂φ

+

∂F z ∂z

(ρ≠0) （1.8.8）

∇⨯F (ρ, φ, z )

∂F φ⎛1∂F z

=e ρ ρ∂φ-∂z

⎝1e ρ∂∂ρF ρ

e φ∂∂φρF φ

1

⎫⎛∂F ρ∂F z ⎪+e φ ⎪ ∂z -∂ρ⎭⎝e z ∂

∂F ρ⎤⎫1⎡∂

⎪+e z (ρF φ) -⎢⎥⎪ρ∂ρ∂φ⎭⎣⎦

ρ

=

ρ

∂z

F z

(1.8.9)

进而可得标量场的拉普拉斯表达式

∇f (ρ, φ, z) =∇⋅∇f (ρ, φ, z)

1∂⎛∂f ⎫1∂f ∂f

⎪=+ ρ⎪+222

ρ∂ρ⎝∂ρ⎭ρ∂φ∂z

2

2

2

(ρ≠0)

(1.8.10)

例1-6 已知F (ρ, z ) =ρe φ-z e z ，试就z =1平面上半径为2的圆形回路及其所围区域，验证斯托克斯定理。

解： 在给定圆形回路上，若回路循行方向取得与e φ的方向相同，在z =1的平面上有F =2e φ-e z ，d l =2d φe φ

，F

⋅d l =4d φ

2π

2π0

l F ⋅d l =⎰04d φ=4φ

=8π

又因为

⎛1∂F z ∂F φ

∇⨯F = -

∂z ⎝ρ∂φ

⎫⎛∂F ρ∂F z ⎫1⎡∂∂F ρ⎤

⎪ ⎪e +-e +(ρF φ) -⎢⎥e z ⎪ρ ⎪φ

∂ρ⎭ρ⎣∂ρ∂φ⎦⎭⎝∂z

⎡1∂⎤⎡⎤⎤∂∂1⎡∂2

=⎢(-z ) -(ρ) ⎥e ρ+⎢0-(-z ) ⎥e φ+(ρ) -0⎥e z

⎢

∂z ∂ρρ⎣∂ρ⎣ρ∂φ⎦⎣⎦⎦=2e z

在指定的圆面上，有 ∇⨯F =2e z ，d S =d S z e z =ρd ρd φe z ，则

(∇⨯F ) ⋅d S =2ρd ρd φ

⎰s (∇⨯F ) ⋅d S =⎰02ρ(⎰0d φ) d ρ=2π⎰02ρd ρ=2π(ρ) 0=8π

1.8.2 球坐标系

（1）建立球坐标系

空间任一点P 的位置由坐标（r ，θ，φ）确定，其中：

① r 是P 点到坐标原点的距离，即位置矢量r 的模；

② θ 表示位置矢量r 与正z 轴之间的夹角； ③ φ 是正x 轴与位置矢量r 在xoy

平面投影

x

22π2

2

2

得证

之间的夹角 (0≤φ ≤2π) 。

这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面： ① 以o 为球心、r 为半径的球面； ② 以o 为顶点、θ 为半顶角的正圆锥面；

③ 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转 φ 角度所得半平面。

这三个坐标面交汇于P 点，且相互正交。为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一单位矢量e r 、e θ和e φ。三单位矢量有以下特点：

① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系，即

e r ⨯ e θ= eφ； e θ⨯ eφ = e r ； e φ ⨯ e r = eθ （1.8.11）

② e r 、e θ和e φ的方向都有可能随P 点的不同而变化，即它们是球坐标函数。 在球坐标系下，矢量A （r ，θ，φ）可表示为

A =A r e r +A θe θ+A φe φ (1.8.12)

式中的A r 、A θ、A φ分别是A 在其所在点的各单位矢量方向上的分量。 （2）线元矢量、面元和体积元

由于坐标变量取微增量d r 、d θ、d φ 所形成的线元矢量d l 、体积元d V 及三个面元

d S r 、d S θ、d S φ ，具体表达式如下

d l =d r e r +r d θe θ+r sin θd φe φ (1.8.13)

d V =r sin θd r d θd φ

2

(1.8.14)

r sin

1 2

d s r

l

r d s φ

r d r r sin

r sin θd φ (a )

d s θ

d r (b

)

d S r =r sin θd θd φ⎫

⎪

d S θ=r sin θd r d φ⎬ (1.8.15)

⎪d S φ=r d r d θ

⎭

2

（3）球坐标系中的三度表达式

设标量场f (r, θ, φ) 是连续、可微的，根据多元函数的全微分链式法则，有

d f ==∂f ∂r ∂f ∂r d r +d r +∂f ∂r

∂f ∂θd θ+

∂f ∂φd φ

11

∂f ∂f

(r sin θd φ)

) ⋅(d r e r +r d θe θ+r sin θd φe φ)

1∂f r ∂θ

(r d θ) +

+e φ

r sin θ∂φr sin θ∂φ

=(e r +e θ

1∂f r ∂θ

对照梯度定义式 d f =∇f ⋅d l 和d l 表达式，得

∇f =

∂f ∂r

e r +

1∂f r ∂θ

e θ+

1∂f

r sin θ∂φ

e φ

(r ≠0) (1.8.16)

且

∇=e r

∂∂r

+e θ

1∂r ∂θ

+e φ

1∂

r sin θ∂φ

(1.8.17)

用∇算符分别对F （r, θ, φ）进行点乘、叉乘运算以及对∇f 进行点乘运算，得

∇⋅F =

1∂r ∂r

2

(r F r ) +1

2

1∂

r sin θ∂θ

(sinθF θ) +

1

∂F φ

r sin θ∂φ

(r ≠0) (1.8.18)

⎡∂⎤∂F θ⎤1⎡1∂F r ∂

∇⨯F =e r (sinθF φ) -⋅-(rF φ) ⎥⎢⎥+e θ⎢

r sin θ⎣∂θ∂φ⎦r ⎣sin θ∂φ∂r ⎦

1

1⎡∂∂F r ⎤+e φ(rF θ) -=

⎢⎥r ⎣∂r ∂θ⎦

2

r sin θ

∂

∂r F r

e r

1r sin θ

∂∂θrF θ

e θ

1r e φ∂∂φr sin θF φ

(r ≠0)

(1.8.19)

∇f =

2

1∂r ∂r

2

(r

2

∂f ∂r

) +

1

2

∂

r sin θ∂θ

(sinθ

∂f ∂θ

) +

1

2

2

∂f

2

2

r sin θ∂φ

(r ≠0) （1.8.20）

作业： 27、31

本章小节

1. 场的概念

标量场和矢量场的概念，矢量场的分类以及每类矢量场的基本特征。 2. 场的三度计算

标量场的梯度∇f 、矢量场的散度∇⋅F 和旋度∇⨯F ； 要求牢记∇算符的矢量特性和微分特性；

牢固掌握在直角坐标系下的三度计算式，实施正确计算； 在其它坐标系下，当给你三度的计算式后，你要会计算。 3. 要会进行场的高阶计算

要做到此项，必须牢记矢量的点积、叉积，重要的矢量恒等式。 4. 正确理解高斯散度定理和斯托克斯定理、正确认识赫姆霍兹定理。