[充分条件与必要条件]教学设计
1.2 充分条件与必要条件
一、教学目标
1. 知识与技能:
正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念;会判断命题的充分条件、必要条件.进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。
2. 过程与方法:
充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想,培养学生现问题的能力,通过对充分条件、必要条件的判定,提高分析问题、解决问题的能力;学会观察,敢于归纳,关于建构;充分培养学生的发散思维能力,挖掘学生的创新思维能力。
3. 情感、态度与价值观:
通过“p ⇒q ”与“q ⇒p ”的判断,感受对立,统一的思想,培养辩证唯物主义观;通过学习本节课体验成功的愉悦,激发学习的兴趣;通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。
二、教学重点与难点
1. 重点:充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念。
2. 难点:判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。
3. 关键:分清命题的条件和结论,看是条件能推出结论还是结论能推出条件。
三、教学方法及教学准备
1. 学习充分条件、必要条件和充要条件知识,要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系,充要条件中的p 、q 与四种命题中的p 、q 要求是一样的,它们可以是简单命题,也可以是不能判断真假的语句,也可以是含有逻辑联结词或“若a 则b ”形式的复合命题。
2. 由于这节课概念性、理论性较强,一般的教学使学生感到枯燥乏味,为此,激发学生的学习兴趣是关键,教学中应始终注意以学生为主,让学生在自我思考,相互交流中去给概念、“下定义”,去体会概念的本质属性。
3. 教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没作过多的解释说明,为了让学生能理解定义的合理性,在教学过程中教师可以具体的、简单的命题的条件与结论之间的关系来讲解“充分条件”的概念,从互为逆否命题的等价性来了解“必要条件”的概念。
4. 教学用具:多媒体
四、教学过程:
(一)复习回顾
1、四种命题的形式与关系
22、试写出命题“若x>1,则x >1”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.
(二) 创设情境,新课引入
1、p: b是a (男性)的父亲 q:a 是b 的儿子
2、p : 外面下雨 q :出门带雨伞
那么,p 与q 在数学中是什么样的关系呢?今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.
(三) 师生互动,新课讲解
问题1:前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断,请同学们判断下列命题的真假,并说明条件和结论有什么关系?
22x ≠y (1). p:x≠y;q:.
2(2). p:x>0;q:x >0.
(3).p:三角形的三个角相等; q:三角形的三条边相等。
(4).p:两个三角形全等;q:两个三角形的面积相等。 推断符号“⇒“若p 则q ”为真,是指由p 经过推理可以得出q ,也就是说,如果p 成立,那么q 一定成立,记作p ⇒q ,或者q ⇐p ;如果由p 推不出q ,命题为假,记作p
简单地说,“若p 则q ”为真,记作p ⇒q (或q ⇐p ); “若p 则q ”为假,记作p q (或q p ). 命题(2)、(
3) (4)为真,是由p 经过推理可以得出q ,即如果p 成立,那么q 一定成立,此时可记作“p ⇒q ”,命题(1)为假,是由p 经过推理得不出q ,即如果p 成立,
推不出q 成立,此时可记作“p q . ”
说明: “p ⇒q ”表示“若p 则q ”为真,可以解释为:如果具备了条件p ,就是以保证q 成立,即表示“p 蕴含q ”,理解为“p ”为“q ”的子集。
1. 什么是充分条件?什么是必要条件?
一般地,如果已知p ⇒q ,那么就说:p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件;如果已知p ⇒q ,且q ⇒p ,那么就说:p 是q 的充分且必要条件,简记充要条件;如果已知p ,那么就说:p 不是q 的充分条件;q 不是p 的必要条件;
回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.
由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类:“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”
例1 指出下列各组命题中, p是 q的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选出一种)?
(1)p :(x-2)(x-3)=0;q :x-2=0.
(2)p :同位角相等; q:两直线平行.
2(3)p :x=3; q:x =9.
(4)p :四边形的对角线相等;q :四边形是平行四边形。
(学生板演讲街,教师点评)
例2. 指出命题中p 是q 的什么条件?
P:|x|≠3 q:x≠3
解:(学生板演讲街,教师点评)
2.充分条件与必要条件的判断方法:
(1)直接利用定义判断:即“若p ⇒q 成立,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件”. (条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题关系判断:“p ⇒q ”的等价命题是“⌝q ⇒⌝p ”。即“若┐q ⇒┐p 成立,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件”。
3.用集合的思想理解充分与必要条件
给定两个条件p ,q,要判断p 是q 的什么条件,也可考虑集合:A={x |x 满足条件q},B={x |x 满足条件p}
①A ⊆B, 则p 为q 的充分条件,q 为p 的必要条件;
②B=A, 则p 为q 的充要条件,q 为p 的充要条件;
4.分析比较充分条件、必要条件与充分不必要条件、必要非充分条件和充要条件的区别和判定
命题:若p ,则q
(1)若p ⇒q ,且q
(2)若p
p . 则P 是q 的充分不必要条件 q ,且q ⇒p . 则p 是q 的必要不充分条件
(3)若p ⇒q ,且q ⇒p . 则p 是q 的充要条件,q 也是p 的充要条件
(4)若p
q ,且q
p . 则p 是q 的既不充分与不必要条件
(四) 课堂小结,巩固反思
1、本节主要学习了推断符号“⇒”的意义,充分条件与必要条件的概念,以及判断充分条件与必要条件的方法.
(1)若p ⇒q (或若┐q ⇒┐p ),则p 是q 的充分条件;若q ⇒p (或若┐p ⇒┐q ),则p 是q 的必要条件.
(2)条件是相互的;
(3)p 是q 的什么条件,有四种回答方式:
① p是q 的充分而不必要条件;② p是q 的必要而不充分条件;
③ p是q 的充要条件; ④ p是q 的既不充分也不必要条件。
2、 注意的问题
(1)对本节的教学,不可拔高追求一次到位,而在今后的教学中滚动式逐步深化。
(2)从具体的、简单的例子由浅入深,突破难点,抓住重点,讲练结合。
五、布置作业:
1. 利用定义填空:
(1)x>-1___x>1;
2(2)x =3x +4 ___x=x +4 ;
(3)两个角是对顶角________两个角相等;
(4)a=b____a+c=b+c.
2. 从“充分而不必要的条件”、“必要而不充分的条件”与“充要条件”中选出适当的一种填空:
(1) “两三角形全等” 是“两三角形相似”的 ;
(2)“a=b”是 “ac=bc”的 ;
(3)“a ≠0”是 “ab ≠ 0”的 ;
(4)“四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形”的 .
3. 判断下列命题的真假:
22a >b (1) “a>b” 是 “”的充分条件;
22(2) “a>b” 是 “a >b ”的必要条件;
22(3) “a>b” 是 “a c >b c ”的充分条件;
(4) “a>b” 是 “a+c>b+c”的充要条件;
2ax +bx +c =0一个根为1的充分且必要条件是 (5)关于x 的方程
六、关于教学设计的思考
1. 本节课重难点是判断命题的充分条件,必要条件,充要条件的方法,所以这节课效果的好坏,体现在对这两点实现的程度上,因此,作业应围绕这两方面设计。
2. 充分条件、必要条件、充要条件是高中数学中几个重要的数学概念,它们之间有紧密的联系,如分开讲则不利于学生掌握,分析教材,联系实际,将本节内容安排了两个课时,第一课时讲清定义及简单的判断方法,第二节课加强这几个“条件”的应用,提高逻辑思维能力,本教案为第一课时。
3. 本节概念课理论较强,一般学生感到枯燥无味,因此,激发兴趣是关键,不断启发是手段,从而使学生为主体,教师为主导,师生互动达到教学目的。
七、板书设计:
为及时体现教材中的知识点和要点,便于学生理解掌握,板书设计如下: