4指.对数函数,幂函数
竞赛辅导 内部讲义
§4指、对数函数, 幂函数
指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。
一、基础知识
1.指数函数及其性质:形如y =a x (a >0, a ≠1) 的函数叫做指数函数,其定义域为R ,值域为(0,+∞),当01时,y =a x 为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。 2.分数指数幂:a
1
n
=a , a =a , a
m n
m -n
1-1
。 =n , a n =
m a a
m
3.对数函数及其性质:形如y =log a x (a >0, a ≠1) 的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域
为R ,图象过定点(1,0)。当01时,y =log a x 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N >0); 1)a x =M⇔x =loga M(a >0, a ≠1) ; 2)log a (MN )= loga M+ loga N ; 3)log a (5)log a
M
)= loga M- loga N ; 4)log a Mn =n loga M;, N
log c b 1
(a , b , c >0, a , c ≠1). M =log a M; 6)a loga M=M; 7) loga b =
n log c a
a
(a >0)的单调递增区间是-∞, -a 和x
5. 函数y =x +
(]a , +∞),单调递减区间为[-
a , 0和
)
(请读者自己用定义证明) (0, a ]。
6.连续函数的性质:若a
根。
二、方法与例题 1.构造函数解题。
例1、已知a , b , c ∈(-1, 1),求证:ab +bc +ca +1>0.
【证明】 设f (x )=(b +c ) x +bc +1 (x ∈(-1, 1)),则f (x ) 是关于x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证f (-1)>0且f (1)>0(因为-10, f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0, 所以f (a )>0,即ab +bc +ca +1>0.
例2、(柯西不等式)若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数,b 1, b 2, …,b n ∈R ,则(
n
∑a
i =1
n
2
i
)·(
∑b
i =1
n
2
i
)
≥(
∑a b
i i =1
i
) 2,等号当且仅当存在μ∈R ,使a i =μb i , i =1, 2, …, n 时成立。
n
n
n
n
【证明】 令f (x )= (
∑a
i =1
2i
)x -2(
2
∑a b
i i =1
i
) x +
∑b =∑(a
2i i =1
i =1
i
x -b i ) 2,
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因为
∑a
i =1
n
2i
>0,且对任意x ∈R , f (x )≥0,
所以△=4(
∑a b
i i =1n
2i
n
i
)-4(
∑a
i =1
n
2i
)(
∑b
i =1i
n
2i
)≤0.
展开得(
∑a
i =1
)(
∑b
i =1
n
2i
)≥(
∑a b
i i =1
n
) 2。
等号成立等价于f (x )=0有实根,即存在μ,使a i =μb i , i =1, 2, …, n 。 例3 设x , y ∈R +, x +y =c , c 为常数且c ∈(0, 2],求u= x +
⎛⎝
1⎫⎛1⎫
⎪的最小值。 y +⎪ ⎪x ⎭⎝y ⎭
【解】u= x +
⎛
⎝
x y 1111⎫⎛1⎫x y ⎪++=xy +≥xy +=xy ++2. y +⋅⎪ ⎪y x xy xy xy x ⎭ y y x ⎝⎭
1(x +y ) 2c 2c 2
=. 令xy =t ,则0
t 444⎛c 2⎤c 2
因为0
c 2c 24c 24所以f (t ) m in =f ()=+,所以u≥++2.
44c 24c 2
c c 24
当x =y =时,等号成立. 所以u 的最小值为+2+2.
24c
2.指数和对数的运算技巧。
例4 设p , q ∈R +且满足log 9p = log12q = log16(p +q ) ,求
q
的值。 p
【解】 令log 9p = log 12q = log 16(p +q )=t ,则p =9 t , q =12 t , p +q =16t ,
⎛4⎫⎛4⎫
所以9 +12 =16,即1+ ⎪= ⎪.
⎝3⎭⎝3⎭
t
t
t
t 2t
1±q 12t ⎛4⎫
. 记x ==t = ⎪,则1+x =x 2,解得x =2p 93⎝⎭
又
t
q q 1±>0,所以=. p p 2
1111
++=,求证:a +b =c . x y z w
例5 对于正整数a , b , c (a ≤b ≤c ) 和实数x , y , z , w ,若a x =b y =c z =70w ,且
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【证明】 由a x =b y =c z =70w 取常用对数得xlga =ylgb =zlgc =wlg 70. 所以
111111lga =lg 70, lgb =lg 70, lgc =lg 70,
x z w w w y
相加得
⎛111⎫11111
⎪(lga +lgb +lgc )= lg 70,由题设++=, ++ x y z ⎪w x y z w ⎝⎭
所以lga +lgb +lgc =lg 70,所以lgabc =lg 70.
所以abc =70=2×5×7.
若a =1,则因为xlga =wlg 70,所以w =0与题设矛盾,所以a >1. 又a ≤b ≤c ,且a , b , c 为70的正约数,所以只有a =2, b =5, c =7. 所以a +b =c .
例6 已知x ≠1, ac ≠1, a ≠1, c ≠1. 且log a x +logc x =2logb x ,求证c 2=(ac ) 【证明】 由题设log a x +log c x =2log b x ,化为以a 为底的对数,得
log a b
log a x +
log a x 2log a x
, =
log a c log a b
因为ac >0, ac ≠1,所以log a b =log ac c 2,所以c 2=(ac ) logab .
注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。 例7 解方程:3x +4 x +5 x =6 x.
⎛1⎫⎛2⎫⎛5⎫
【解】 方程可化为 ⎪+ ⎪+ ⎪=1。设f (x )=
236⎝⎭⎝⎭⎝⎭
减函数,因为f (3)=1,所以方程只有一个解x =3.
x +y ⎧=y 12⎪x
例8 解方程组:⎨x +y (其中x , y ∈R +). 3
⎪=x ⎩y
x x x
⎛1⎫⎛2⎫⎛5⎫
⎪+ ⎪+ ⎪, 则f (x ) 在(-∞,+∞)上是⎝2⎭⎝3⎭⎝6⎭
x x x
【解】 两边取对数,则原方程组可化为⎨
⎧(x +y ) lg x =12lg y
. ①②
⎩(x +y ) lg y =3lg x
把①代入②得(x +y )2lgx =36lgx ,所以[(x +y ) 2-36]lgx =0. 由lgx =0得x =1,由(x +y ) 2-36=0(x , y ∈R +) 得x +y =6, 代入①得lgx =2lgy ,即x =y 2,所以y 2+y -6=0. 又y >0,所以y =2, x =4.
⎧⎪x 1=1⎧⎪x 2=4
; ⎨所以方程组的解为⎨ .
⎪⎩y 1=1⎪⎩y 2=2
例9 已知a >0, a ≠1,试求使方程log a (x -ak )=log a 2(x 2-a 2) 有解的k 的取值范围。
⎧(x -ak ) 2=x 2-a 2
⎪
【解】由对数性质知,原方程的解x 应满足⎨x -ak >0. ①②③
⎪x 2-a 2>0⎩
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若①、②同时成立,则③必成立,
⎧(x -ak ) 2=x 2-a 2
故只需解⎨.
⎩x -ak >0
由①可得2kx =a (1+k 2) , ④
a (1+k 2) 1+k 2
当k =0时,④无解;当k ≠0时,④的解是x =,代入②得>k .
2k 2k
若k 1,所以k 0,则k 2
综上,当k ∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。
最近竞赛题汇总: 一、选择题
⎧1x
⎪(4) , x ∈(-∞,1)
1、已知f (x ) =⎨ ,则f [f (-1) ]=( b )
⎪log 1x , x ∈[1, +∞)⎩2
A .2 B .-2 C .
11 D .-
24
⎧x 2-2x +4,x ≤3,
2、若函数f (x ) =⎨(a >0,且a ≠1)的值域为[3,+∞),则实数a 的取值
2+log x ,x >3,a ⎩
范围为( )
3) C .(3,+∞) D .[3,A .(1,3] B .(1,+∞)
【答案】 A
【解答】 ∵ x ≤3时,函数f (x ) =x 2-2x +4=(x -1) 2+3的值域为[3,+∞), ∴ x >3时,2+log a x ≥3,即x >3时,log a x ≥1=log a a 。 ∴ a >1,且x >3时,x ≥a 恒成立。 ∴ 1
⎧1-5-x
3、函数f (x ) =⎨x
⎩5-1
x ≥0
,则该函数为( A ) x
A 、单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A 。
x
4、设函数f (x ) 定义域为R ,它的图像关于x =1对称,且当x ≥1时,f (x ) =3-1,则有( )
231132
A 、f ()
323323
C 、f ()
2
[1**********]
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5、方程3+5+7=11共有( )个不同的实根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、
3
x
x
x
x
二、填空题
⎧|log 2x |,0
x -8x +, x >4⎪3⎩3
的取值范围是_________________. 2、不等式3
|x +2|
+3|x -1|≥28的解集为 (-∞, -2] [1, +∞)
3、设f (x ) 、g (x ) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f (x ) +g (x ) =2x ,若对x ∈[1,2],不等式af (x ) +g (2x ) ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是
___________.
4、设x ∈R ,则函数f (x ) =|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_________.
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5、若函数f (x ) 的周期为3的奇函数,当x ∈[0, 1) 时,f (x ) =3x -1, 则f 54) =
3
2+
-16
()
解:由值域y ∈R +,∴x -ax +65>1,⇒x -ax +64>0
22
∴∆=a 2-4⋅647、函数f (x )=log 13+2x -x 2的单调递减区间是(-1, 1)或(-1, 1]
2
()
1⎧
log (2x ), x >⎪⎪a 2
8、若函数f (x ) =⎨,是R 上的增函数,则a 的取值范围为 ,
11⎪-x 2+ax -1, x ≤
⎪22⎩
9、已知函数y =a
2x
+5a x -4(a >0,且a ≠1)在区间[-1,1]上的最小值为-
5
,则4
y =a 2x +5a x -4在区间[-1,1]上的最大值为。
【答案】 10
【解答】设t =a ,则y =a
x
2x
541⎡5⎫
+5a x -4=(t +) 2-在⎢-,+∞⎪上为增函数。
24⎣2⎭
541⎡1⎤⎡1⎤
0
24⎣a ⎦⎣a ⎦
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∴ y m i n =(a +) -
52
2
4151541
=-,a =。y max =(2+) 2-=10。 44224
541⎡1⎤⎡1⎤
a >1时,t ∈⎢,a ⎥,y =(t +) 2-在⎢,a ⎥上为增函数。
24⎣a ⎦⎣a ⎦
∴ y m i n =(+) -
1
a 522415541
=-,a =2。y max =(2+) 2-=10。 4424
10、若y =log 2016x 2-ax +65的值域为R +,那么a 的取值范围是 .答案:
()
-16
解:由值域y ∈R +,∴x -ax +65>1,⇒x -ax +64>0
2
2
∴∆=a 2-4⋅6411、若函数y =log a (x 2-ax +1) 有最小值,则a 的取值范围是 。
12
、函数y =.
答案:
解:y =
=
=
其定义域为6≤x ≤8,当x =
6时,此分式的分子最大而分母最小,这时分式的值达最大,其值为
3
13.已知a , b 是常数,函数f (x ) =ax +b ln(x +
x 2+1) +3在(-∞, 0) 上的最大值为10, 则f (x ) 在
(0, +∞) 上的最小值为.
14、若对于任意实数x ,|x +a |-|x +1|≤2a 恒成立,则实数a 的最小值为
1
.
15
、若函数f (x ) =log a (x (a>0且a ≠1)是奇函数,则a +b = 。
+1. 由奇函数的性质,知
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f (0) =l o g a
2a 2=0,即2a 2=1, 解得a =
2
(x +bx +1) 22
2
(舍去负值), 2
于是f (x ) =log
又0=f (x ) +f (-x ) =log =log
2
(x +bx +1) +log 22
2
(-x +bx +1) 22
2
[(b -1)x
2
+1
]
于是(b -1) x 2=0恒成立,故b =1.
3⎫2
16、若函数f (x )=log a ⎛ ax -x +⎪在区间[1,2]上递增,则a 的取值范围是___________.
2⎭⎝
⎧
⎪0
11⎪1
解:(ⅰ)当0
84⎪2a
1⎪4a ->0. ⎪⎩2
⎧
⎪a >1, ⎪⎪1
(ⅱ)当a >1时,只需⎨≤1, ,解得a >1.
2a ⎪
1⎪a +>0. ⎪⎩2
综上,a 的取值范围是 , ⎥ (1, +∞). 84
⎛11⎤⎝⎦
⎧a -x , x ∈[0, 3]
17、已知函数f (x ) =⎨其中a 为实数,如果f (2)
a log x , x ∈(3, +∞) 2⎩
x 2
18、已知f (x ) =m ⋅2+x +nx ,若x
{f (x ) =0}={x f (f (x )) =0}≠φ,则m +n 的取值范
围为。 【答案】 [0,4)
2【解答】设x 1∈x f (x ) =0,则f (x 1) =m ⋅21+x 1+nx 1=0。
{}
x
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∴ f (f (1x ) =)
f (0=) m =。0
∴ f (x ) =x 2+nx ,f (f (x )) =f (x 2+nx ) =(x 2+nx ) 2+n (x 2+nx ) =(x 2+nx )(x 2+nx +n ) 。 由x f (x ) =0
{}={x
2
f (f (x )) =0}知,方程x 2+nx +n =0的解集A 是方程x 2+nx =0的解集
B 的子集。
若A =φ,则△=n -4n
2
⎧⎪x 0+nx 0+n =0
若A ≠φ,设x 0∈A ,则⎨2,得n =0。
⎪⎩x 0+nx 0=0
又0≤n
{}≠φ,
所以,0≤n
19、已知点P (4,1) 在函数f (x ) =log a (x -b ) (b >0) 的图象上,则ab 的最大值是 (a +b ) 2
解:由题意知,log a (4-b ) =1,即a +b =4,且a >0,a ≠1,b >0,从而ab ≤=4,
4当a =b =2时,ab 的最大值是4.
20. 指数函数y =a x (a >0, a ≠1)和对数函数y =log a (a >0, a ≠1)的图像分别为C 1和C 2,点M 在曲线C 1上,线段OM (O 为坐标原点)交曲线C 1与另一点N , 若曲线C 2存在点P ,满足点P 的横坐标与点M 的纵坐标相等,点P 的纵坐标是点N 的两倍,则点P 的坐标是 (4, log a 4) 21、已知a 是正实数,k
=a lg a 的取值范围是___[1, +∞) _____.
⎧x ,若x 为无理数
⎪
10.已知函数f (x ) =⎨q +1,则函数q *
若x =,其中p ,q ∈N ,且p 、互质,q p >q ⎪p ,p ⎩
78
f (x ) 在区间() 上的最大值为
8916
【答案】
17
78a 78
∈() (a ,λ∈N *)【解答】若x 为有理数,且x ∈() 。设x =,
89a +λ89
由
⎧9a
1516
,f (x ) =。 1717
7λ+m +1
。
8λ+m
当λ=1时,a 不存在;
当λ=2时,存在唯一的a =15,此时x =
当λ≥3时,设a =7λ+m ,其中1≤m ≤λ-1,且m ∈N *,此时f (x ) =
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∵
167λ+m +1λ9-m -17λ(-m +) λ(8-17) -=>0, 17λ8+m 17λ(8+m ) 1λ7+(m 8)
1516
时,f (x ) 取最大值。 171778816
又x 为无理数,且x ∈() 时,f (x ) =x
89917
7816
综合以上可知,f (x ) 在区间() 上的最大值为。
8917
∴ 若x 为有理数,则x =
三、解答题:
1、已知函数f (x )是定义在R 上且T =5的周期函数, 当x ∈[0, 1]时,f (x )=3x 4-3n n ∈N *, 当x ∈[1, 4]时, f (x )=log a x +b , 又函数y =f (x )在[-1, 1]上时奇函数且在区间[0, 1]上单调递增. Ⅰ、求函数y =f (x )在[1, 4]上的解析式; Ⅱ、求函数y =f (x )在R 上的解析式.
18. Ⅰ、f (x )=-3log 2x +3, x ∈[1, 4](临界取值) Ⅱ、f (x )=⎨
()
⎧3x -15k , x ∈[5k -1, 5k +1](k ∈Z )
⎩-3log 2(x -5k )+3, x ∈(5k +1, 5k +4]
1-m (x -2)x -3
2、已知函数f (x )=l o a g
(a >0, a ≠1)
,对定义域内的任意x 都有
(1)求实数m 的值;(2)若当x ∈(b , a )时,f (x )的取值范围恰为f (2-x )+f (2+x )=0成立.
(1, +∞),求实数a , b 的值.
解:(1)由f (x )=log a
1-m (x -2)及f (2-x )+f (2+x )=0可得: x -3
log a
1-m ((2-x )-2)1-m ((2+x )-2)+log a =0 ,解之得:m =±1.
2-x -32+x -3
当m =1时,函数f (x )无意义,所以,只有m =-1.--------------------------------------10分
(2)当m =-1时,f (x )=log a
x -1
,其定义域为 x -3
(-∞, 1)⋃(3, +∞). (b , a )⊂(-∞, 1)或(b , a )⊂(3, +∞).
①若(b , a )⊂(3, +∞),则3≤b
x -1
在x -3
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(3, +∞)上的单调性.
下证f (x )在(3, +∞)上单调递减.任取x 1, x 2∈(3, +∞),且x 1
x 1-1x 2-13(x 2-x 1)-=>0 x 1-3x 2-3x 1-3x 2-3x 1-1x -1,即f (x 1)>f (x 2). >log a 2x 1-3x 2-3又a >1,所以,log a
所以,当(b , a )⊂(3, +∞),f (x )在(3, +∞)上单调递减------------------------------------------15分 由题:x ∈(b , a )时,f (x )的取值范围恰为(1, +∞),所以,必有b =3且f (a )=1,解之得:a =2+3(因为a >3,所以舍去a =2-)
②若(b , a )⊂(-∞, 1),则b 0, a ≠1,所以,0
此时,同上可证f (x )在(-∞, 1)上单调递增(证明过程略).所以,f (x )在(b , a )上的取值范围应为(f (b ), f (a )),而f (a )为常数,故f (x )的取值范围不可能恰为(1, +∞).所以,在这种情况下,a , b 无解.综上,符合题意的实数a , b 的值为a =2+3,b =3。---------------------------------------20分
3、设f (x ) =log a (x -2a ) +log a (x -3a ) ,其中a >0且a ≠1.若在区间[a +3, a +4]上f (x ) ≤1恒成立,求a 的取值范围.
+a 6=) 解 f (x ) =l o a g x (-ax 522
a 5a 2a 2l x o -g (-) . 24]
3(a -2) >0,故函数2由⎨5a ⎧x -2a >0, 3得x >3a ,由题意知a +3>3a ,故a 0, =
5a 2a 2
g (x ) =(x -) -在区间[a +3, a +4]上单调递增. ------------------------------------------5分 24
(1)若0
在区间[a +3, a +4]上不等式f (x ) ≤1恒成立,等价于不等式log a (2a 2-9a +9) ≤1成立,从而
5+75-7或a ≤. 22
结合0
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(2)若1
f (a +4) =log a (2a 2-12a +16) .
在区间[a +3, a +4]上不等式f (x ) ≤1恒成立,等价于不等式log a (2a 2-12a +16) ≤1成立,从而2a 2-12a +16≤a ,即2a 2-13a +16≤0,解得13-4113+41. ≤a ≤44
易知13-413>,所以不符合. ------------------------------------------15分 42
综上可知:a 的取值范围为(0,1). ----------------------------------------20分
4、已知a , b 为实数,a >2,函数f (x ) =|ln x -
(1)求实数a , b ;
(2)求函数a e |+b (x >0) . 若f (1)=e +1, f (2)=-ln2+1. 2x f (x ) 的单调区间;
(3)若实数c , d 满足c >d , cd =1,求证:f (c )
f (d )
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5、对于任意的△ABC ,若其三边长为a ,b ,c ,则a ,b ,c 依然可以构成某三角形的三边长,求实数x 的取值范围.
x x x
课后练习
1.设a,b,c 都是正数,且3a =4b =6c ,那么( )
(A )(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b)
2.F(x)=(1+((2/(2x -1)))·f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)( )
(A )是奇函数 (B )是偶函数
(C )可能是奇函数也可能是偶函数 (D )不是奇函数也不是偶函数
3.若f(x)=3x +5,则f -1(x)的定义域是( )
(A )(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞)
新化一中 欧安明 编
4.求值:6lg40×5lg36
5.已知m,n 为正整数,a >0,a≠1,且
logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求m,n
6.X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间( )
(A )(-2,-1) (B )(1,2) (C )(-3,-2) (D )(2,3)
7.计算:(1)lg20+log10025 (2)lg5·lg20+(lg2)2
8.若集合{x,xy ,lg(xy)}={0,∣x ∣,y},则log8(x2+y2)=
9.若x ∈(1,10),则lg 2x,lgx 2,lglgx 的大小顺序是:
(A )lg 2x <lgx 2<lglgx (B)lg2x <lglgx <lgx 2
(C )lgx 2<lg 2x <lglgx (D)lglgx<lg 2x <lgx 2
10.计算:
11.集合{x∣-1≤log(1/x)10<-(1/2),x∈N}的真子集的个数是 。
12.求函数y=(1/4)x2-2x-3的单调区间。
13.已知指数函数f(x)=ax (a>0, 且a≠1),求满足f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的x 的取值。
14.解方程8log6(x2-7x+15)=5log68
15.设有关于x 的不等式lg (∣x+3∣+∣x-7∣) >a
(1)当a=1时,解这个不等式;
(2)当a 为何值时,这个不等式的解集为R ?
课后练习答案
1. (B );2. (A );3. (B );4.216;5.m=2,n=2;
6. (D );7. (1)2,(2)1;8.1/3;9. (D );
10.1/2;11.290-1;12. 单调增区间(-∞,1],单调减区间[1,+∞)
13. 当a >1时,x <-2或x >3,当0<a <1时,-2<x <3;
14.x1=2,x2=5;
15.(1)x<-3或x >7,(2)a <1
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