圆基本概念和性质
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北辰教育学科教师辅导学案
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4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点． 试说明点 B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
解：连接MD、ME．
∵BD、CE是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°．
在Rt△BEC中，M为BC的中点，
∴ME=1/2BC,同理MD=1/2BC,∴MB=ME=MC
∴点B、C、D、E在以点M为圆心，1/2BC为半径的圆上。
2、如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC，过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，则PE的长度为_____．
答案：
解析：由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由AB与OC平行，得到一对内错角相等，等量代换可得出∠OAC=∠BAC，由OE垂直于AB，利用垂径定理得到AE=EB，且∠OAC=∠BAC=30°，在直角三角形APE中，设PE=x，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AP=2x，由AE的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为PE的长． 解：∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C， ∵AB∥OC， ∴∠CAB=∠C， ∴∠OAC=∠BAC，
∵OE⊥AB，∠AOE=30°， ∴AE=BE=
AB=1，∠OAE=60°，
∴∠OAC=∠BAC=30°，
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中国最受信赖的教育品牌1． 下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？（D）
EE解析：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。满足两个条件，缺一不可。
2、如图，点AAB∥OC，过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠E、B、C是⊙O上的三点，E
EEEEEE
AOE=30°，则PE的长度为_____．
答案：
解析：由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由AB与OC平行，得到一对内错角相等，等量代换可得出∠OAC=∠BAC，由OE垂直于AB，利用垂径定理得到AE=EB，且∠OAC=∠BAC=30°，在直角三角形APE中，设PE=x，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AP=2x，由AE的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为PE的长． 解：∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C， ∵AB∥OC， ∴∠CAB=∠C， ∴∠OAC=∠BAC，
∵OE⊥AB，∠AOE=30°， ∴AE=BE=
AB=1，∠OAE=60°，
∴∠OAC=∠BAC=30°，
在Rt△APE中，设PE=x，则有AP=2x，
22222
根据勾股定理得：AP=PE+AE，即（2x）=x+1， 解得：x=则PE=
或x=-．
（舍去），
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