简支梁受力分析力矩剪力计算

第十章 弯曲梁的设计

第一节 梁平面弯曲的概念和弯曲内力

一、弯曲的概念

工程实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图10.1.1，图10.1.2所示，这类杆件受力的共同特点是外力（横向力）与杆轴线相垂直，变形时杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图10.1.1 火车轮轴 图10.1.2 起重机大梁

工程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图10.1.3所示。

图10.1.3 梁的纵向对称

如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。

二、梁的计算简图及基本形式

梁上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。

(一)、梁的简化

为了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。 （二）、荷载分类

作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：

1 、集中荷载 当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中力。如车刀所受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4（a）所示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。

2 、集中力偶 当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度）受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。如图10.1.4（b）所示。它的单位为牛·米

（N·m）或千牛·米（kN·m）。

3 、均布载荷 沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度 q 表示，均布集度 q 为常数。如图10.1.4（c）所示。其单位为牛／米（ N ／ m ）或千牛／米（ k ／ m ）。

（三）、梁的基本形式

按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。这三种支座的约束情况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。

1 、简支梁 梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。如图10.1.5（a）。 2 、外伸梁 外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。如图10.1.5（b）

3 、悬臂梁 一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。如图10.1.5（c）

图10.1.4 载荷类 图10.1.5 梁的类

以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。 三、 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算

作用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。在外载荷的作用下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。求解梁横截面上内力的方法是截面法。

图10.1.6 截面法求梁的内

如图10.1.6所示的简支梁，受集中力P1和P2作用。为了求出距A端支座为x处横截面m-m上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出支座反力RA、RB。然后用截面法沿m-m截面假想地把梁截开，并以左边部分为研究对象（图10.1.6(b)）。因为原来梁处于平衡状态，故左段梁在外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡。截面m-m上必有一个与

截面相切的内力Q来代替右边部分对左边部分沿截面切线方向移动趋势所起的约束作用；又因为RA与P1

对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横截面m-m上必有一个位于载荷平面的内力偶，其力矩为M，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。由此可见，梁弯曲时，横

截面上一般存在两个内力因素，其中Q

称为剪力，M

称为弯矩。

剪力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。

1-Q=0 由 ΣFy = 0 得 RA-P

1 Q=RA-P

1(x-a)=0 由 ΣMC = 0 得 M-RAx+P

M=RAx-p1(x-a) 式中，C 为横截面的形心。

若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m截面上也必然有剪力Q' 和弯矩M'，并且它们分别与 Q 和 M 数值相等、方向相反。

剪力和弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图10.1.7所示。凡使梁段产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。如图10.1.8所示。

图10.1.7 剪力的符 图10.1.8 弯矩的

综上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则：

对于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号由“外力左上右下，产生的剪力为正”确定。

对于弯矩：梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。正负号由“外力矩左顺右逆，产生的弯矩为正”确定。

利用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。

例10.1.1 简支梁受集中力p=1kN，力偶m=1kN⋅m，均布载荷q=4kN/m，如图10.1.9所示，试求Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和弯矩。

图10.1.9

解：（1）求支座反力。 ∑

简支梁

MB(F)=0,

即 P⨯750-RA⨯1000-m+q⨯0.5⨯250=0

可得 RA=250N

∑F

y

=0,

即RA-P-q⨯0.5+RB=0

可得 RB=2750N

（2）计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为研究对象）。

Ⅰ-Ⅰ Q1=RA=250N

M1=RA⨯200=250⨯0.2=50N⋅m

点右侧的剪力值为-0.5kN。同样的道理，依次，可完成其剪力图（图10.1.14（b））。需要说明，剪力图最后应回到零。图中虚线箭头只表示画图走向和突变方向。

（2）绘弯矩图。弯矩图也是从零开始，自左向右边，逐段画出。A点因无力偶作用，故无突变。因AC段剪力图为x轴的上平行线，故其弯矩图为一条从零开始的上斜线，其斜率为2.5（图10.1.14（c）中斜率仅为绘图方便而标注），C点的弯矩值为2.5⨯1=2.5(kN⋅m)。

CD段的弯矩图为一条从2.5kN⋅m开始的下斜线，斜率为0.5，故D点的弯矩值为

2.5-0.5⨯2=1.5(kN⋅m)，同样的道理可画出DB段弯矩图，最后回到零（图10.1.14（c））。

例10.1.7 外伸梁受力如图10.1.15（a）所示，M=4kN⋅m，P=10kN，RA=-6kN，RB=16kN。

其它尺寸如图所示。试绘出梁的剪力图和弯矩图。

图10.1.15

解：

（1）绘剪力图。根据规律画剪力图时可不考虑力偶的影响。因此，绘其剪力图时，从A点零开始，向下突变6，从6开始画X轴平行线至B点，向上突变16，在画X轴平行线，最后连D点向下突变10而回到零（图10.1.15（b））.

（2）绘弯矩图从A点零开始，画斜率为6的下斜线至C点，因C点有力偶作用，故弯矩图有突变，根据“顺上逆下”，故向上突变4，在画斜率为6的下斜线至B点，在B点转折，作斜率为10的上斜线至D点而回到零（图10.1.15（c））。

例10.1.8 外伸梁受力如图10.1.16（a）所示，已知M=16KN⋅m，q=2kN/m，p=2KN，

取一矩形截面直杆，实验前，在梁的侧面上，画上垂直于梁轴的横向线 =

1 \*

ROMAN I－ = 1 \* ROMAN I和 = 2 \* ROMAN II－ = 2 \* ROMAN II及平行于梁轴的纵向线ab和cd，然后在梁的纵向对称平面内两端施加集中力偶M，使梁产生纯弯曲。如图10.2.1所示。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：

1、横向线ac和bd仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度

2、纵向线ab和cd（包括轴线）都变成了弧线。且ab变成a'b'后缩短了，cd变成c'd'后伸长了

3、梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。

图10.2.1 梁的弯曲试验图 10.2.2 梁的中性层

根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：

① 平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。

② 单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。

可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴。如图10.2.2所示。

（二）、变形的几何关系

由于纯弯曲时，各层纵向纤维受到轴向拉伸和压缩的作用，因此材料的应力和应变的关系应符合拉压胡克定律σ=Eε

由上式可知，若搞清应力分布规律，必须搞清应变ε的变化规律，为此，将变形后的梁中取一微段来进行研究，如图10.2.3所示。两截面 = 1 \* ROMAN I－ = 1 \* ROMAN I和 = 2 \* ROMAN II－ = 2 \* ROMAN II原来是平行的，现在相互倾斜了一个微小角度dθ。图中OO'为中性层，设其曲率半径为ρ，c'd'到中性层的距离为y形后中性层纤维长度仍为dX且dX=ρdθ。距中性层为y，则纵向线cd的线应变为：

ylmax和

yymax

分别是拉应力和压应力一侧最远点到中性轴的距离。

(三)、强度条件三类问题

与拉压强度条件应用相似，弯曲强度条件同样可以用来解决以下三类问题。 ① 强度校核 验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁在工作时是否安全。

② 截面设计 根据梁的最大载荷和材料的许用应力，确定梁截面的尺寸和形状，或选用合适的标准型钢。

③ 确定许用载荷 根据梁截面的形状和尺寸及许用应力，确定梁可承受的最大弯矩，再由弯矩和载荷的关系确定梁的许用载荷。

对于非对称截面，需按公式

例10.2.2 图10.2.6（a）所示，托架为一T形截面的铸铁梁。已知截面对中性轴z的惯性矩

IZ=1.35⨯107mm4 ,P=4.5kN，铸铁的弯曲许用应力[σ1]=40MPa，[σ2]=80MPa，若略去梁的自重影响，使校核梁的强度。

解：（1）画其受力图（见图10.2.6（b））。

（2）绘制剪力图（见图10.2.6（c））.

例10.3.1 悬臂吊车的计算简图如图10.3.1a所示，横梁AC用工字钢制成。已知最大吊重P=15kN，α=30 º，梁的许用应力[σ]=100MPa，试选择工字钢型号。

图10.3.1 横梁AC的内力及应用

解:（1）外力分析：取横梁AB为研究对象，受力分析如图10.3.1（b）所示。当小车移到点C时，梁处于最不利的受力状态，此时由平衡条件知：

第四节 梁的弯曲变形及刚度计算

梁与其它受力杆件一样，除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。使其工作时变形不致过大，否则会引起振动，影响机器的运转精度，甚至导致失效。例如图10.4.1所示，齿轮轴的弯曲变形过大，就会影响齿轮的正常啮合，加速齿轮的磨损，并使轴与轴承配合不好，造成传动不稳定，减少寿命。另一方面，弯曲变形也有可利用的一面。如车辆上的钢板弹簧，需要足够大变形以缓和车辆受到的冲击和震动，为了限制和利用梁的变形，就必须掌握梁的变形计算。

图10.4.1 齿轮轴 图10.4.2 梁的挠曲线

一、弯曲变形的挠度与转角

直梁在平面弯曲时，其轴线将在加载平面内弯成一条光滑的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。如图10.4.2所示。梁任意横截面形心沿y轴方向的线位移，称为挠度，用y表示，通常规定：向上为正，向下为负。由于弯曲变形属于小变形，梁横截面形心沿x轴方向的位移很小，可忽略不计。

在弯曲过程中，梁任一横截面相对于原来位置所转过的角度，称为转角，用θ表示，通常规定：逆时针为正，顺时针为负。

二、梁的挠曲线方程

为了表达梁的挠度与转角随着截面位置不同而变化的规律，取梁变形前的轴线为x轴，与x轴垂直向

截面模量WZ，均能提高强度。由此可见，为提高梁的承载能力，除合理地施加载荷和安排支承位置，以减小弯矩和变形外，主要应从增大I和W，以及减小跨度等方面采取措施，以使梁的设计经济合理。工程上可采用以下几项措施。

（1）采用合理的截面形状

在截面面积即材料重量相同时，应采用I和W较大的截面形状，即截面积分布应尽量远离中性轴。因离中性轴较远处正应力较大，而靠近中性轴处正应力很小，这部分材料没有被充分利用。若将靠近中性轴处的材料移到离中性轴较远处，如将矩形改为工字形截面，则可提高惯性矩和抗弯截面模量，即提高抗弯能力。同理，实心圆截面若改为面积相等的圆环形截面也可提高承载能力。

此外，合理的截面形状应使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到相应的许用应力值。对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用中性轴是对称轴的截面(工字形)。对于抗拉和抗压强度不相等的脆性材料，宜采用中性轴不对称的截面(如T字形或槽形)。

(2)采用变截面梁

除上述材料在梁的某一截面合理安排外，还有一个材料沿梁的轴线如何合理安排问题。

等截面的截面尺寸是由最大弯矩决定的。故除最大弯矩所在截面外，其余部分材料未被充分利用。为了节省材料和减轻重量，可采用变截面梁，即在弯矩较大的部位采用较大的截面，在弯矩较小的部位采用较小的截面。

（3）、减小跨度或增加支承

因梁的变形与梁的跨度l高次方成正比，故减小跨度是提高梁抗弯强度和抗弯刚度的有效措施。如在车床车工件时在工件的自由端加装尾架顶针即为此目的。

第五节 疲劳破坏

一、动载荷和交变应力

（一）动载荷的概念

在研究直杆的拉（压）、梁的弯曲和圆轴的扭转等的变形和强度时，都是把外载荷的大小和方向看成是不随时间变化来对待的。这种大小和方向不随时间而变化的载荷称为静载荷。然而在工程实际中，大多数零件工作时所受到的载荷并不是静载荷。如互相啮合的齿轮、内燃机的连杆、高速旋转的砂轮等等，在工作中所受的载荷明显要随时间而变化，或者是短时间内有突变，这种载荷称为动载荷。

2.即使是塑性材料，破坏时也无显著变形，而是发生突然脆性断裂；

3.疲劳破坏断口具有明显的光滑区和粗糙区。光滑区是裂纹扩展所致，粗糙区是裂缝前沿应力集中导致突然脆断所致。如图10.6.3所示。

形成这种破坏特点的原因通常是：当交变应力经过了一定次数的循环后，在构件上最大应力处或材质薄弱处就产生了细微的裂纹源。有时材料表面的加工痕迹、缺陷等本身就是裂纹源。随着应力循环次数的增加，裂纹逐渐扩大；在应力交替过程中，裂纹两表面的材料时而压紧，时而分开，不断反复，从而形成了断口处的光滑区域。随着裂纹的不断扩展，构件的有效承载面积将随之减小，并在裂纹交口处形成高度的应力集中。当裂纹扩大到一定程度后，就会在某次偶然的振动或冲击下，发生突然的脆性断裂，从而形成断口处的粗糙颗粒状区域。

工程中大部分零件的损坏都属于疲劳破坏。疲劳破坏是在没有明显塑性变形的情况下突然发生的，具有较大的危险性，造成的事故是严重的。因此，对交变应力引起的疲劳破坏应引起足够的重视，疲劳计算也就显得尤为重要。

（二）、疲劳极限

由上述分析可知，构件发生疲劳失效时，所受到的最大应力低于静载下材料的屈服极限或强度极限。所以不能用静载强度指标作为衡量疲劳强度的标准，要用实验的方法测得材料在交变应力下的极限应力值（称为材料的疲劳极限）作为疲劳强度指标。

材料的疲劳极限是指材料试样经过无穷多次应力循环而不发生破坏时，应力循环中最大应力的最高限，又称为持久极限。试样材料的最大工作应力和使用寿命（即应力循环次数）之间的关系可用如图10.5.4所示的疲劳曲线来表示。

图10.5.4 疲劳断口 图10.5.5 疲劳曲线

从疲劳曲线图中可以看出，交变应力的最大值越大，则构件的应力循环次数就越少，即构件的寿命越短；反之，则应力循环次数越多，寿命越长。当最大应力降低到某一值时，疲劳曲线趋于水平，这表示构件在此交变应力下可经历无数次的应力循环而不发生疲劳破坏，这一应力值称为该材料的疲劳极限，在图中以疲劳曲线的水平渐近线的纵坐标表示。若交变应力为对称循环，则疲劳极限用σ-1表示；若为脉动循环则用σ0表示。根据大量实验结果可得，材料的疲劳极限与其静强度极限之间存在一定的数量关系，而且对不同的变形和不同的应力循环特性，即使是同一种材料，这一数量关系也不同，即疲劳极限不同。由试验可得几种常见变形和交变应力类型作用下的材料疲劳极限与静强度极限之间的数量关系如下：

弯曲对称循环 σ-1≈0.4σb

拉（压）对称循环 σ-1≈0.28σb

扭转对称循环 σ-1≈0.22σb

从这一近似关系中可知，材料的持久极限远小与其强度极限。也就是说，在交变应力作用下，材料抵抗破坏的能力显著降低。

试验结果还表明，同一种材料在不同的应力循环特性下的持久极限σ-1数值不同。同一种材料在相同的基本变形下，以对称应力循环时的持久极限为最低。因此，实际工程中以材料在对称应力循环下的持久极限作为材料疲劳强度的基本指标。

思考与练习

10.1 梁弯曲时横截面上的内力有哪些？它们的符号是如何规定的？

10.2 作用在梁上的载荷通常有哪几种？

10.3 梁弯曲时，怎样判断梁上的危险截面和危险点？

10.4 空心截面梁的强度比实心截面梁的强度大，这种说法正确吗？

10.5 怎样解释“在梁上集中力作用处剪力图发生突变，弯矩图发生转折”和“在集中力偶作用处弯矩图发生突变而剪力图无变化”？

10.6 试求图示各梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。

张力为FT1 = 2FT2 。若电动机功率P = 14kW，转速n = 950 r/min ，试绘出AB 轴的内

力图。

题10 .9图

10.10 外伸梁承受载荷如图所示，已知横截面为22a工字钢，试求梁横截面上的最大正应力和最大切应力，并指出其作用位置。

题10．10图

10.11．圆截面梁的承载情况如图所示，其外伸部分为空心圆截面，试作弯矩图，并求该梁的最大正应力。

题10．11图

10.12 图示一端外伸的轴在C处受飞轮自重G=20kN的作用，轴材料的许用应力[σ]=120MPa，E=200GPa，轴承B处的许用转角[θ]=0.5。试设计轴的直径。

10.13 轴受力如图所示，已知FP=3.6kN，d=32mm，材料的许用应力[σ]=100MPa，E=200GPa，要求加

力点处C截面的挠度不大于许用挠度[ϖ]=0.05mm，试校核该轴的强度与刚度。

题10 .12图 题10.13图

10.14 No25a槽形截面简支梁如图所示。已知材料的许用应力［σ］＝１６０ＭＰａ，在截面竖放和横放两种情况下，试比较其许用弯曲力偶矩M0的大小。

10.15 图示承受均布载荷的简支梁，由两根竖向放置的普通槽钢组成，已知q=100kN/m，l=4m；材料的许用应力［σ］＝１００ＭＰａ，E=200Gpa；梁的许挠度［ν］＝０.００１ｌ，试确定槽钢的型号。

题10.14图 题10.15图

10.16 如图示梁AC的截面为No10工字钢，B点用圆截面钢杆BD悬挂，已知d=20mm，梁和杆的材料许用应力［σ］＝１６０ＭＰａ，试求许用均布载荷ｑ。

10.17 简支梁承受载荷如图所示，已知横截面为28a号工字钢，其材料许用应力［σ］＝１７０ＭＰ

ａ，试校核此梁的强度。

题10.16 图 题10.17图

10.18 如图所示起重构架，梁ACD由两根槽钢组成。已知a=3m，b=1m，F=30kN，梁材料的许用应力［σ］＝１４０ＭＰａ，试选择槽钢的型号。

10.19 图示简支梁AB上受载荷FP=20kN的作用，梁的跨度l=2.5m，横截面为矩形，其高度h=100mm，

０宽度b=60mm。若已知а＝３０，材料的许用应力［σ］＝８０ＭＰａ，试校核此梁的强度。

题10.18图