三角函数恒等变换教案(1)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点
1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想:
(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:
coscoscossinsin;coscoscossinsin.
这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢?
提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天的问题有帮助吗?
让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
sincoscoscoscossinsin
2222
sincoscossin.
sinsinsincoscossinsincoscossin
让
学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手)
tan
sinsincoscossin
.
coscoscossinsin
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢?(分式分子、分母同时除以coscos,得到tan注意:
2
k,
tantan
.
1tantan
2
k,
2
k(kz)
以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?
tantan
tantantantan
1tantan1tantan
k,
注意:
2
k,
2
2
k(kz).
(二)例题讲解
例1、利用和(差)角公式计算下列各式的值:
27iss2o4c2s7onc24is(1)、n
s2oc07socn02ni07sis;(2)、0
;(3)、
1n51at
1n51at
.
解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
n274soicsn2427siocsn7i2s240n3is(1)、
1
; 2
27socn07n02iisssoc020709soc0(2)、0;
(3)、
151natn54at51nat151nat151n54at
1
5
n4a5t51
0n6at335
.
cos(),求tantan的值. 例2 已知cos(),
例3
xx
解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?
1
x
x2cosxx
sin30cosxcos30sinx30x
思考:正、余弦分别等于和
1
2
的. 小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用. 作业:
321
1、 已知tan,tan求的值.() ,tan
5
4
4
4
22
2、 已知0
值.
4
3335
求sin的,cos,sin,
445413
二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点
教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式;
教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想:
(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,
sinsincoscossin;
coscoscossinsin;
tan
tantan
.
1tantan
我们由此能否得到sin2,cos2,tan2的公式呢?(学生自己动手,把上述公式中看成即可), (二)公式推导:
sin2sinsincoscossin2sincos;
cos2coscoscossinsincos2sin2;
思考:把上述关于cos2的式子能否变成只含有sin或cos形式的式子呢?cos2cos2sin21sin2sin212sin2;
cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21.
tan2tan
tantan2tan
.
1tantan1tan2
注意:2
2
k,
2
k kz
(三)例题讲解 例4、已知sin2
4
2
5
,,求sin4,cos4,tan4的值. 1342
解:由,得2.
2
512
又因为sin2
,cos2. 1313
于是sin42sin2cos22
512120
;
1313169
2
120
sin41205119
;tan4. cos412sin2212
cos411913169
169
例5、已知tan2,求tan的值. 解:tan2
2tan12
tan6tan10
,由此得2
1tan3
13
解得tan2
tan2
(四)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用.
例6、试以cos表示sin2,cos2,tan2
2
2
2
.
1和cos12sin2
解:我们可以通过二倍角cos2cos2因为cos12sin2因为cos2cos2
2
2
2
来做此题.
2
,可以得到sin2
2
1cos
; 21cos
. 2
2
1,可以得到cos2
2
又因为tan2
1cos. 1coscos2
2
sin2
思考:代数式变换与三角变换有什么不同?
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点. 例7、求证:
sinsin(1)、sincos; 2
1
(2)、sinsin2sin
2
cos
2
.
证明:(1)因为sin和sin是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手.
sinsincoscossin;sinsincoscossin.
两式相加得2sincossinsin;
sinsin即sincos; 2
1
(2)由(1)得sinsin2sincos①;设,,
那么
2
,
2
.
2cos
把,的值代入①式中得sinsin2sin
2
.
思考:在例2证明中用到哪些数学思想?
证明中用到换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式. 例8
、求函数ysinxx的周期,最大值和最小值.
解:ysinx
x这种形式我们在前面见过,
1ysinxx2sinxx2sinx, 23
所以,所求的周期T
2
2,最大值为2,最小值为2.
点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数
yAsinx的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式
中的作用.
小结:此节虽只安排一到两个课时的时间,但也是非常重要的内容,我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用. 总结: 1.
公式的变形
(1) 升幂公式:1+cos2α=2cos2α 1—cos2α=2sin2α
(3) 正切公式变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ) tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ) (4) 万能公式(用tanα表示其他三角函数值)
2.
插入辅助角公式
3.
熟悉形式的变形(如何变形)
1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx+cotx 1-tanα1
+tanα
1+tanα1-tanα
π
若A、B是锐角,A+B= ,则(1+tanA)(1+tanB)=2
4
4. 在三角形中的结论(如何证明) A+B+Cπ
若:A+B+C=π =
22tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ABBCCA
tan tan +tan+tantan=1 222222
9.求值问题
(1)已知角求值题 如:sin555° (2)已知值求值问题 常用拼角、凑角
π3π35
如:1)已知若cos( -α)=,+β)=
45413 π3ππ
又
34
2)已知sinα+sinβ= ,cosα+cosβ=,求cos(α-β)的值。
55(3)已知值求角问题
必须分两步:1)求这个角的某一三角函数值。2)确定这个角的范围。 π11
如:.已知tanα= ,tanβ= ,且αβ都是锐角,求证:α+2β=
7341.(2010全国卷1理)(2)记cos(80)k,那么tan100
2. 已知0x
2
,化简:
x
lg(cosxtanx12sin2)x)]lg(1sin2x).
22
解析:原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20. 3.(2010天津文)(17)(本小题满分12分)
在ABC中,
ACcosB
。 ABcosC
(Ⅰ)证明B=C:
1
(Ⅱ)若cosA=-,求sin4B的值。
3
3
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分12分.
(Ⅰ)证明:在△ABC中,由正弦定理及已知得
sinBcosB
=.于是sinCcosC
sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为BC,从而B-C=0. 所以B=C.
(Ⅱ)解:由A+B+C=和(Ⅰ)得A=-2B,故cos2B=-cos(-2B)=-cosA=.
又0
= 从而
sin4B=2sin2Bcos2B=
. 3
13
7,cos4B=cos22Bsin22B.
99
所以sin(4B)sin4Bcoscos4Bsin
3
3
3
4.(2010湖北理) 16.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=cos(x)cos(x),g(x)sin2x
3
3
1
214
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合。
5.(2009江苏,15)设向量a(4cos,sin),b(sin,4cos),c(cos,4sin) (1)若a与b2c垂直,求tan()的值; (2)求|bc|的最大值;
(3)若tantan16,求证:a∥b.
分析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能
力
。
6.(2009安徽卷理)在ABC中,sin(CA)1, sinB=. (I)求sinA的值;
(II)设
ABC的面积.
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运
1
3
算求解能力。
B,(Ⅰ)由CA,且CA∴A,
∴sniAsni(11∴sin2A(1sinB),又sinA
0,∴sinA
233
24B2BB(cos)422
C
B2
,
ACBC
(Ⅱ)如图,由正弦定理得
sinBsinA
A B
∴BC
ACsinA
sinB
3
sinCsin(AB)sinAcosB
cosAsinB
1
33333
1
2
12
3
∴SABCACBCsinC7.(2009湖南卷文)已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2). (Ⅰ)若a//b,求tan的值; (Ⅱ)若|a||b|,0,求的值。 解:(Ⅰ) 因为a//b,所以2sincos2sin, 于是4sincos,故tan.
(Ⅱ)由|a||b|知,sin2(cos2sin)25, 所以12sin24sin25.
从而2sin22(1cos2)4,即sin2cos21,
于是sin(2)4
1
4
9又由0知,2,
44457
,或2. 4444
3
因此,或.
42
所以2
8.(2009天津卷理)在⊿ABC中,
AC=3,sinC=2sinA (I) 求AB的值:
(II) 求sin2A的值
4
本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分12分。
(Ⅰ)解:在△ABC中,根据正弦定理,于是AB=sinCBC2BC2
sinA
5
ABBC
sinCsinA
AB2AC2BD225
2ABAC5
(Ⅱ)解:在△ABC中,根据余弦定理,得cosA=于是 sinA=从而
cos2A
5
sin2A=2sinAcosA=4,cos2A=cos2A-sin2A=3
55
4
4
4
所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=
2
10
9.(2007安徽)已知0,为f(x)cos2x的最小正周期,
2cos2sin2()1
·bm.求2),且a b(cos,的值. atan,1,
cossin4
π
解:因为为f(x)cos2x的最小正周期,故π.
8
·bm,又a因a·bcos·tan2.
4
故cos·tanm2.
4
1
1
由于0,所以
π4
2cos2sin2()2cos2sin(22π)
cossincossin2cos2sin22cos(cossin) cossincossin
2cos
1tanπ
2cos·tan2(2m)
1tan4
m,ncosA,sinA