圆的弧长和图形面积的计算
圆的弧长和图形面积的计算
一、知识回顾
1. 圆周长:C =2πr 圆面积:S =πr 2
2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系C =2πR ,即360°的圆心角所对的弧长,因此,1°的圆心角所对的弧长就是
2πR n πR
; n°的圆心角所对的弧长是 360180
∴l =
n πR
(这里的180
、n 在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位)
180
3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。 4. 在半径是R 的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S =πR 2,所以圆心角为n °的扇形面积是:
n πR 21
S 扇形==l R (n 也是1°的倍数,无单位)
3602
5. 圆锥的概念
观察模型可以发现:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆,侧面是一个曲面,如果把这个侧面展开在一个平面上,展开图是一个扇形。
如图,从点S 向底面引垂线,垂足是底面的圆心O ,垂线段SO 的长叫做圆锥的高,点S 叫做圆锥的顶点。
锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说,把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO 叫做圆锥的轴,圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且垂直于底面。
母线定义:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
6.
圆锥的性质 由图可得
(1)圆锥的高所在的直线是圆锥的轴,它垂直于底面,经过底面的圆心; (2)圆锥的母线长都相等
7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。 圆锥侧面积是扇形面积。
如果设扇形的半径为l ,弧长为c ,圆心角为n (如图),则它们之间有如下关系:
c =
n πl 180
同时,如果设圆锥底面半径为r ,周长为c ,侧面母线长为l ,那么它的侧面积是:
1
S 圆侧面=c l =πr l
2
圆锥的全面积为:πr l +πr 2
圆柱侧面积:2πrh 。
二、经典例题
⋂⋂
例1:两个同心圆被两条半径截得的AB =10π,CD =6
π,又AC=12,求阴影部分面积。
例2:如图,已知正方形的边长为
a ,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。
例3:蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为9
m 2,高为3.5m ,外围高4m 的蒙古包,至少要多少平方米的毛毡?
三、中考演练
一、选择题
1.如图,在6×6的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,其中A 、B 、C 为格点,作△ABC 的外接圆⊙O ,则
AC 的长等于( )
3535π B. πD. 4422
2.小刚用一张半径为24 cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计) ,如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10 cm ,那么这张扇形纸板的面积是( )
A .120π cm B .240π cm C .260π cm2 D .480π cm2
22
3.如图,圆柱的底面周长为6 cm ,AC 是底面圆的直径,高BC =6 cm ,点P 是母线
2
BC 上一点,且PC . 一只蚂蚁从A
点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是
3
( )
教育个性化教学教案
6
A .(4+) cm B .5 cm
π
C .3 5cm D .7 cm
4.已知圆锥底面圆的半径为6 cm,高为8 cm,则圆锥的侧面积为( )cm 2. A .48 B .48π C .120π D .60π
5.如图,直径AB 为6的半圆,绕A 点逆时针旋转60°,此时点B 到了点B ′,则图中阴影部分的面积是( )
A .3π B .6π C .5π D .4π
二、填空题
6.母线长为2,底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________.
7.一个圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角为90°的扇形,则此圆锥的底面半径为______.
4
8.在半径为的圆中,45°的圆心角所对的弧长等于________.
π
9.如图,CD 是⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为点M ,AB =20. 分别以DM 、CM 为直径作两个大小不同的⊙O 1和⊙O 2,则图中所示的阴影部分面积为___________.(结果保留π)
10.如图,有一直径为4的圆形铁皮,要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形AB C. 那么剪下的扇形ABC (阴影部分) 的面积为______;用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径r =______.
三、解答题
11.如图,在平面直角坐标系中,点P 的坐标为(-4,0) ,⊙P 的半径为2,将⊙P 沿着x 轴向右平移4个长度单位得⊙P 1.
(1)画出⊙P 1,并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系;
(2)设⊙P 1与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点为A 、B ,求劣弧AB 与弦AB
围成的图形的面积(结果保留π).
12.在△ABC 中,AB 3,AC =2,BC =1. (1)求证:∠A ≠30°;
(2)将△ABC 绕BC 所在直线旋转一周,求所得几何体的表面积.
13.如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,∠AOC =60°,OC =2.
(1)求OE 和
CD 的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
14.如图,在△ABC 中,∠A =90°,O 是BC 边上一点,以O 为圆心的半圆分别与AB 、AC 边相切于D 、E 两点,连接OD . 已知BD =2,AD =3. 求:
(1)tan C ;
(2)图中两部分阴影面积的和.
15.如图,已知AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于E ,OF ⊥AC 于F ,BE =OF .
(1)求证:OF ∥BC ;
(2)求证:△AFO ≌△CEB ;
(3)若EB =5 cm,CD =103cm ,设
OE =x ,求x 值及阴影部分的面积.