高三学探诊指导第九章 磁 场

第九章 磁 场

一、知识目标

二、能力要求

1．会使用右手螺旋定则判断电流的磁场方向．

2．会使用左手定则判断电流在磁场中受安培力的方向；会计算安培力的大小． 3．会使用左手定则判断运动电荷在磁场中受洛伦兹力的方向；会计算洛伦兹力的大小． 4．会确定带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动轨迹的圆心、半径；会计算带电粒子在匀强磁场中运动的时间．

5．会运用相关力学规律来求解带电粒子在重力场、电场、磁场中的运动问题． 三、解题示例

例1 两光滑平行导轨与水平成θ放置．导轨下端接有电池和滑动变阻器，导轨上与导轨垂直放置有导体MN ，如图所示，整个装置处在磁感强度为B 的匀强磁场中．若磁场方向竖直向上，导体MN 中的电流为I 1时，导体MN 可静止在导轨上；若磁场方向垂直导轨平面斜向上时，导体MN 中的电流为I 2时，也可以静止在导轨上．求I 1∶I 2

分析：

首先确定以MN 为研究对象，两种情况下，MN 都处于平衡状态，MN 所受合力为0．再分析两种情况下MN 的受力情况，根据物体的平衡条件列方程．

解：

两种情景中，MN 的受力情况分别如图所示．设MN 长L ，质量为m ．根据物体平衡条件可得

BI 1L ＝mg tan θ BI 2L ＝mg sin θ

解得 I 1∶I 2＝1∶cos θ 讨论：

1．为了方便画出导体MN 的受力图，学会将立体图形平面化——画投影图是非常必要

的；

2．两种情景中，导轨对MN 的弹力也不相同，请同学们思考N 1∶N 2＝？

例2 如图所示，在直线MN 的右侧有磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直低面向里．电子(电量e 、质量m ) 以某一垂直磁场方向的速度，从MN 上的孔A 垂直MN 射入匀强磁场．电子在运动过程中经过P 点，并最终打在MN 上的C 点．已知AP ＝d ，且AP 与初速度方向的夹角θ＝30°．不计电子受到的重力．求：

(1)电子进入磁场时的速度大小v ；

(2)电子从A 运动到P 点所用的时间t ．

分析：

电子射入磁场后，受洛仑兹力，根据左手定则判断，电子在A 点受洛伦兹力方向从M 指向N ．电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹圆心必在MN 线上；AP 为轨迹圆的一条弦，弦的中垂线一定过圆心．做AP 的中垂线与MN 交于点O ，则点O 为轨迹圆的圆心．

根据几何关系可以求出轨迹圆的半径，继而可以求出v 和t ． 解：

(1)电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，根据几何关系可以求出轨迹圆的半径为r ＝d ．

mv

由牛顿第二定律得 evB =2

eBd m 2πm eB

解得 v =(2)粒子做圆周运动的周期 T =

eBr m 2πr v

==

题中给出的弦切角θ＝30°所对应的圆心角为2θ＝60°，所以电子从A 运动到P 所用的时间为

t =

2θ2π

T =

2m θeB

=πm 3eB

讨论：

画出电子的运动轨迹，根据洛伦兹力和已知条件确定轨迹圆的圆心，再根据几何关系和已知条件确定电子运动的半径是这类习题的解题关键．

例3 如图所示，充电的两平行金属板间有场强为E 的匀强电场，和方向与电场垂直(垂直纸面向里) 的匀强磁场，磁感应强度为B ，构成了速度选择器．氕、氘、氚核以相同的动能(E K ) 从两极板中间，垂直于电场和磁场射入速度选择器，且氘核沿直线射出．则射出时 (

)

A ．动能增加的是氚核 C ．偏向正极板的是氚核 分析：

带电粒子在运动过程中，受到了电场力和洛仑兹力两个力的作用，因此，这是一个复合场问题．依然可以从受力分析和运动分析入手．

带电粒子垂直于电场和磁场方向射入速度选择器后，同时受到电场力F ＝qE 和洛仑兹力f ＝qvB ．

若粒子的速度为v 0时，qE ＝qv 0B ．

则粒子将做匀速直线运动，反过来说，设想粒子若以左侧挡板的中央孔射入，并从右侧中央孔射出，则粒子受电场力与洛仑兹力平衡，做匀速直线运动．则

v 0=

E B

B ．动能增加的是氕核 D ．偏向正级板的是氕核

若v ＞v 0，则qvB ＞qE ．粒子将向逆电力线方向偏向正极板．且由于洛仑兹力不做功，而电场力做负功，则粒子射出时的动能小于射入时的动能．

反之，若v ＜v 0，则qvB ＜qE ，粒子将偏向负极板运动，由于电场力做正功，则粒子射出时的动能大于射入时的动能．

本题给出三个粒子的动能E K 相同，则它们射入速度选择器时的速度

v =

2E K m

可见射入时氕核的速度v 1最大，氚核的速度v 3最小．

基于氘核沿直线运动，所以氕核将偏向正极板运动，射出时的动能小于射入时的动能，氚核则恰好相反．

解：本题答案是选项A 、D ． 讨论：

所谓速度选择，就是指对于确定的E 和B ，可以获得确定的v 0＝E /B ．

还需说明的一点是，作为速度选择器，与粒子带电的性质(正、负) 没有关系，但与粒子射入电磁场的方向有关．

粒子的速度v ≠E /B 时，射入速度选择器后，将做曲线运动，由于洛仑兹力始终与速度方向垂直，而电场力是恒力，所以粒子所受的合力大小和方向都在不断地变化，故不可能用牛顿运动定律来描述粒子的运动．但却可如上述分析的那样，用动能定理来讨论粒子从射入到射出的动能变化．

例4 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的．电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为

O ，半径为r ．当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点．为了让电子束射到屏幕边缘P ，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多少？

分析：

带电粒子在匀强电场的加速运动，有界圆磁场中做圆周运动．

解：电子在磁场中沿圆弧ab 运动，圆心为C ，半径为R ．以v 表示电子进入磁场时的速度，m 、e 分别表示电子的质量和电量，则

eU =

12mv

2

① ②

evB =m

v

2

R r R

又有 tan

1r

θ

2

=

③

θ

2

由以上各式解得 B =

2mU e

tan

讨论：

在圆形区域的磁场中，利用弦的中垂线找圆心(圆心在垂直于初速度的直线上，也在弦的中垂线上，两条线的交点即为圆心) 和几何关系．弦是磁场圆和轨迹圆的公共弦，所以弦的中垂线既过磁场圆的圆心也过轨迹圆的圆心．

仅从习题特征看，它属于电场力与洛伦兹力对电荷的递次作用．带电粒子经电场力加速后进入磁场，然后在磁场中运动．解题时，只要抓住转化作用时带电粒子的速度这一“交接棒”，就可以将前后两部分运动联系起来． 四、综合训练 1．如图所示，一根长直导线穿过通有恒定电流的金属环的中心，且垂直于金属环的平面．导线和环中的电流方向如图所示．那么金属环受到的磁场力 (

)

A ．沿环半径向外

B ．沿环半径向里

C ．沿直导线向右 D ．为零

2．如图所示，在用软线悬挂的圆形线圈近旁，有一水平放置的条形磁铁，线圈平面与磁铁

的中轴线重合．当线圈通以顺时针方向的电流后 (

)

A ．线圈向左摆动靠近磁铁 B ．线圈向左摆动远离磁铁

C ．从上往下看，线圈顺时针转动，同时靠近磁铁 D ．从上往下看，线圈逆时针转动，同时靠近磁铁

3．如图所示，在磁感应强度为B 的匀强磁场中有一光滑斜面体，倾角为α，在斜面体上放了一根长为L 、质量为m 的导线．当通以垂直纸面向里的恒定电流I 时，导线恰能静止在图示位置上．那么磁感应强度 (

)

A ．B ＝mg sin α/IL ，方向垂直斜面向上 B ．B ＝mg sin α/IL ，方向垂直斜面向下 C ．B ＝mg tan α/IL ，方向竖直向下 D ．B ＝mg /IL ，方向水平向右

4．如图所示，通电矩形导线框abcd 与无限长通电直导线MN 在同一平面内，电流方向如图所示．ab 边与MN 平行．关于MN 的磁场对线框的作用，下列叙述正确的是 (

)

A ．线框有两条边所受的安培力方向相同 B ．线框有两条边所受的安培力大小相同 C ．线框所受安培力的合力向左 D ．线框所受安培力的合力为零

5．初速为v 0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则电子 (

)

A ．将向右偏转，速率不变

B ．将向左偏转，速率改变

C ．将向左偏转，速率不变 D ．将向右偏转，速率改变

6．如图所示，一个电量为e 、动量大小为p 的电子，垂直磁场边界穿过宽度为d 、磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，并发生了偏转，偏转角α等于 (

)

A ．arc sin

⎛⎫⎪ ⎝eBd ⎭⎛⎫⎪ eBd ⎝⎭

p p

B ．arc sin

⎛eBd ⎫

⎪ ⎪

⎝p ⎭

C ．arc tan

D ．arc tan

⎛eBd ⎫

⎪ ⎪

⎝p ⎭

7．如图所示，正方形区域abcd 中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．一个氢核从ab 边中点m 沿着既垂直于ab 边又垂直于磁场的方向，以一定的速度射入磁场，正好从ab 边中点n 射出磁场．若将磁场的磁感应强度变为原来的2倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是 (

)

A ．在b 、n 之间某点 B ．在n 、a 之间某点 C ．a 点 D ．在a 、m 之间某点

8．如图所示，在半径为R 的范围内有匀强磁场．一个电子从M 点沿半径方向以速度v 垂直于磁感线射入磁场，从N 点射出时的速度方向偏转了60°．电子从M 运行到N 的时间是

(

)

A ．

2πR v πR 3v

B ．

2πR 3v

C ． D ．

3πR 3v

9．如图所示，在一水平放置的平板的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m 带电量为＋q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面上的各个方向，由小孔O 射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响．其中R ＝

mv Bq

，

下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中正确的是

(

)

10．如图所示，匀强磁场的方向沿x 轴正向，一个带负电的粒子沿z 轴正方向射入其中，欲

使粒子不发生偏转，应加一个匀强电场，电场的方向是 (

)

A ．沿y 轴正方向 B ．沿y 轴负方向 C ．与y 轴成45°角斜向上 D ．与y 轴成45°角斜向下

11．如图所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周

期为T 0，轨道平面位于纸面内，质点的速度方向如图中箭头所示．现加一垂直于轨道

平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则 (

)

A ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T 0 B ．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T 0 C ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T 0 D ．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于T 0

12．三个相同的带电小球1、2、3，在重力场中从同一高度由静止开始落下，其中小球1通

过一附加的水平方向匀强电场，小球2通过一附加的水平方向匀强磁场，设三个小球落到同一高度时的动能分别为E k 1、E k 2和E k 3忽略空气阻力，则 ( ) A ．E k 1＝E k 2＝E k 3 B ．E k 1＞E k 2＝E k 3 C ．E k 1＜E k 2＝E k 3 D ．E k 1＞E k 2＞E k 3

13．右图是磁流体发电机的示意图，A 、B 极板间的磁场方向垂直于纸面向里，等离子体束

从左向右进入极板间，下述正确的是 (

)

A ．A 板电势高于B 板，负载R 中电流向上 B ．B 板电势高于A 板，负载R 中电流向上 C ．A 板电势高于B 板，负载R 中电流向下 D ．B 板电势高于A 板，负载R 中电流向下

14．右图是粒子速度选择器的原理图．如果粒子所具有的速度为v ＝E /B ，那么 (

)

A ．带电粒子必须沿ab 方向从左侧进入电磁场区，才能直线通过

B ．无论粒子电性如何，沿ba 方向从右侧进入电磁场区，都能直线通过 C ．无论粒子电性如何，沿ab 方向从左侧进入电磁场区，都能直线通过 D ．带负电粒子必须沿ba 方向从右侧进入电磁场区，才能直线通过 15．电磁流量计广泛应用于测量可导电流体(如污水) 在管中的流量(在单位时间内通过管内横

截面的流体的体积) ．为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a 、b 、c ，流量计的两端与输送液体的管道相连接(图中虚线) ．图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面．当导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R 的电流表的两端连接，I 表示测得的电流值．已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为 (

)

A ．C ．

I B I B

(bR +ρ(cR +ρ

c a a b ) )

B ．D ．

I B I B

(aR +ρ(R +ρ

b c a

) )

bc

16．如图所示，一根截面为矩形的金属导体(自由电子导电) ，放在磁感应强度为B 的匀强磁

场中，磁场方向垂直导体的前后两面．M 、N 为导体上、下两个表面上正对的两个点．当导体中通以如图所示的电流I 时，关于M 、N 两点的电势，下列说法正确的是 (

)

A ．M 点的电势等于N 点的电势 B ．M 点的电势高于N 点的电势 C ．M 点的电势低于N 点的电势 D ．无法确定M 、N 两点电势的高低

17．有一带正电的粒子，在匀强磁场中与磁感线相垂直的平面内，沿顺时针方向做半径为R

的匀速圆周运动，当粒子运动到A 点时，突然分裂为带电量相等的两部分，它们的质

量之比是1∶3．观察到其中较小的部分在原平面内沿顺时针方向做半径r 1=

R 2

的匀速

圆周运动，如图中的虚线所示．不计粒子的重力则质量较大的部分在磁场中做匀速圆周运动的半径为______．运动的方向是______时针方向．

18．如图所示，在x 轴的上方(y ＞0) 存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ．在

原点O 有一个离子源向x 轴上方的各个方向发射出质量为m 、电量为q 的正离子，速度都为v ．对那些在xy 平面内运动的离子，在磁场中可能达到的最大x ＝______，最大y ＝______．

19．如图所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁

感应强度为B ，一带正电的粒子以速度v o 从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ．若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L ，求该粒子的电量和

质量之比

q m

．

20．初速为零的离子经过电势差为U 的电场加速后，从离子枪T 中水平射出，经过一段路

程d 后进入水平位置的两平行金属板MN 和PQ 之间，离子所经空间存在一磁感应强度

为B 的匀强磁场，如图所示，金属板长为d ，两板间距离也为d ．试求离子的荷质比在什么范围内，才能打在金属板上？

q m

21．如图所示，充电的两平行金属板间有匀强电场．极板长为L ，一个带电粒子垂直于电场

方向射入，射入时动能为E k 0．它从电场射出时顺着电场线方向偏离原方向距离为d ．若在两板间再加上垂直于纸面方向的匀强磁场，粒子仍照原样射入，则射出时将逆着电场线方向偏离距离d ．不计重力，求此时粒子的动能E k ．

22．如图所示，在直线MN 下方有匀强电场，上方有匀强磁场．一个电子从距MN 为d 的电

场中A 点由静止释放，它再次速度为零的位置是C 点．电场强度E ，磁感应强度B ，电子的质量m 、电量e 为已知．求： (1)A 、C 两点间的距离；

(2)电子从A 运动到C 所用的时间．

23．核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内

(否则不可能发生核反应) ，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置) ．如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内．设环状磁场的内半径R 1＝0.5m ，外半径R 2＝1.0m ，磁场的

磁感强度B ＝1.0T ，若被束缚带电粒子的荷质比为

q m

=4⨯10C/kg，中空区域内带电

7

粒子具有各个方向的速度．试计算：

(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度； (2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度．

24．如图为磁流体发电原理示意图．等离子体是高温下电离的气体，含有大量带正电和带负

电的微粒，而整体上呈中性．将一束等离子体喷射入磁场．在磁场中的两块平行金属板M 、N 上就会聚集电荷，产生电动势．等离子体射入的速度为v ，每块金属板的面积为S ，板间距离为d ．匀强磁场的磁感应强度为B ，方向与v 垂直．外电路电阻为R ．设电离气体充满两板间的空间且电阻率为ρ．求： (1)通过电阻R 的电流大小和方向； (2)两板间电压．

25．如图所示，在xoy 平面内，第一象限中有匀强电场，场强大小为E ，方向沿y 轴正方向，

在x 轴的下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里．今有一个质量为m ，电量为e 的电子(不计重力) ，从y 轴上的P 点以初速度v 0垂直于电场方向进入电场，经电场偏转后，沿着与x 轴正方向成45°进入磁场，并能返回到原出发点P ．求： (1)作出电子运动轨迹的示意图，并说明电子的运动情况； (2)P 点离坐标原点的距离h ；

(3)电子从P 点出发经多长时间第一次返回P 点．

参考答案

第九章

1．D 2．D 3．BC 4．BC 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．AD 12．B 13．C 14．AC 15．A 16．C 17．2.5R 顺时针 18．

2mv qB

2mv qB

19．

2v 0sin θBL

20．

32U 25B d

2

2

≥

q m

≥

32U 289B d

2

2

21．

L

2

-4d L 2

2

E k 0

22．(1)

2B

2mdE e

(2)

πm eB

+2

2dm eE

23．(1)1.5×107m/s (2)1.0×107m/s 24．(1)

BvdS RS +ρd

从M 经R 到N (2)

mv

20

BvdSR RS +ρd

25．(1)略 (2)h =

2Ee

(3)(4+3π)

3mv 8Ee