小船渡河问题(含知识点.例题和练习)
小船渡河问题
小船渡河的问题, 可以分解为它同时参与的两个分运动, 一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动, 即在静水中的运动), 一是随水流的运动(即水冲船的运动, 等于水流的运动), 船的实际运动为合运动.
两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
【例1】一条宽度为L 的河，水流速度为（1）怎样渡河时间最短？ （2）若（3）若
v 水
，已知船在静水中速度为
v 船
，那么：
v 船>v 水v 船
，怎样渡河位移最小？
，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短？
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：t min =
L 。 v 船
V 船
此时，实际速度（合速度）v 合=v 船+v 水
2
2
22
V 合 V 水
L v 船+v 水L
实际位移（合位移）s = =
sin ∂v 船
（2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L ，必须使船的合速
度v 合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有v 船cos θ=v 水，即θ=v 水v 船
。因为θ为锐角，
0v 水时，船头与河岸上游的夹角θ=arccos
能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即s m in =L 。实际速度（合速度）v 合=v 船sin θ，运动时间t =
v 水v 船
，船才有可
L L = v 合v 船sin θ
（3）若v 船
如右图所示，设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 合与圆相切时，α角最大，根据cos θ=
v 船v 水
，船头与
河岸的夹角应为θ=arccos
v 船v 水
，此时渡河的最短位移：
s =
Lv L
=水 cos θv 船
渡河时间：t =
L
，
v 船sin θ
L
v 船sin θ
船沿河漂下的最短距离为：x m in =(v 水-v 船cos θ) ⋅
误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。
【练习1】小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，
v 水=kx ，k =
4v 0
，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为v 0，d
则下列说法中正确的是（ ） A. 小船渡河的轨迹为曲线 B. 小船到达离河岸
d
处，船渡河的速度为2v 0 2
C. 小船渡河时的轨迹为直线
D. 小船到达离河岸3d /4处，船的渡河速度为v 0
【练习2】小船过河, 船对水的速率保持不变. 若船头垂直于河岸向前划行, 则经10min 可到达下游120m 处的对岸; 若船头指向与上游河岸成θ角向前划行, 则经12.5min 可到达正对岸, 试问河宽有多少米?
【例2】如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v 0拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。
图1
解：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于
v 1=v 0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就
可以将v A 按图示方向进行分解。所以v 1及v 2实际上就是v A 的两个分速度，如图1所示，由此可得v A =
v v 1
=0。 cos θcos θ
【练习3】如图所示, 在水平地面上做匀速直线运动的汽车, 通过定滑轮用轻绳吊起一个物体m, 若汽车和物体m 在同一时刻的速度分别为v 1和v 2,
A. 物体m 做匀速运动且v 1=v2 B. 物体m 做减速运动且v 1
C. 物体m 做匀加速运动且v 1>v2
D. 物体m 做加速运动且v 1>v2
【练习4】如图所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达P 点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体M
【练习5】如图所示，纤绳以恒定的速率v 动，则船向岸边运动的瞬时速度v 0与v 的大小关系是：
A 、v 0>v B 、v 0
C 、v 0=v D 、以上答案都不对。