数与式的运算

第一讲 数与式的运算

【学习目标】理解绝对值的意义，记住几个重要乘法公式，理解二次根式的概念及分式的意义，在初中知识基础上，掌握实数与代数式的运算。 【重点与难点】

1、 绝对值的意义及运算 2、 几个重要乘法公式的运用 3、 二次根式的意义及运算 4、 分式的意义及运算 【回顾与导学】 1．绝对值

[1]绝对值的代数意义： ．即|a |= ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a -b 表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:|x |0) ⇔2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1](a +b +c ) 2=[公式2][公式3]

说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式

[1]

a ≥0) 叫做二次根式，其性质如下：

(1) = ；

= ；

= ； (4)

；|x |>a (a >0) ⇔

．

=a 3+b 3(立方和公式) =a 3-b 3 (立方差公式)

2

= ．

[2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作x =a ≥0) ，其

(a ≥0) 叫做a 的算术平方根．

[3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为

x =4．分式

[1]分式的意义 形如

A A A 的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称为分式．当M ≠0时，分式具B B B

有下列性质： （1） ； （2） ．

[2]繁分式 当分式

A A m +n +p 的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，

B B

n +p

说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

【典例赏析】

例1 解下列不等式：（1）x -2

x -3＞4．

例2 计算：

（1）(x +)

（3）(a +2)(a -2)(a +4a +16) （4）(x +2xy +y )(x -xy +y )

2

例3 已知x -3x =1=0，求x +

3

2

13

2

（2）(m -

151111

n )(m 2+mn +n 2) 225104

4222222

1

的值． x 3

例4 已知a +b +c =0，求

111111

a (+) +b (+) +c (+) 的值． b c c a a b

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数) ：

（1）

（3）

例6 设

x =

（2）

x ≥

1)

（4）

x 3+y 3的值． y =

x x 2+3x +96x x -1

+-例7 化简：（1） （2） 22

1-x x -279x -x 6+2x x +

x -x

【课堂练习】

1． 解不等式

x +3+x -2

x 2+xy +y 2y =2． 设x =，求代数式的值．

x +y

a b a 2+b

2

3． 当3a +ab -2b =0(a ≠0, b ≠0) ，求--的值．

b a ab

2

2

4． 设x

=

42

，求x +x +2x -

1

的值．

5． 计算(x

+

y +z )(-x +y +z )(x -y +z )(x +y -z )

6．化简或计算：

(1) (2)

÷3 (4) ÷

【反思小结】

【课后作业】

A 组

1．解不等式：

(1) x -1>3； (2) x -+x +>6．

２．已知x +y =1，求x 3+y 3+3xy 的值．

3．填空：

（1

）(218(219＝________；

（2

2，则a 的取值范围是________；

（3

+=________．

B 组

1．填空：

（1）a =113a 2-ab 2，b =3，则3a 2+5ab -2b 2

=；

（2）若x 2+xy -2y 2

=0，则x 2+3xy +y 2x 2+y

2

=__； 2．已知：x =12, y =

1

3的值．

C 组

1．选择题：

（1

=

（ （A ）a b （C ）a ）计算 （ （A

（B

（C

） （D

）2．解方程2(x 2

+11x 2) -3(x +x

) -1=0．

3．计算：11⨯3+1112⨯4+3⨯5+ +9⨯11

．

4．试证：对任意的正整数n ，有1111⨯2⨯3+2⨯3⨯4+ +

n (n +1)(n +2) 1

4

．

）

）

【简明答案】

数与式的运算参考答案

例1 （1）解法1：由x -2=0，得x =2；

①若x >2，不等式可变为x -21．综上所述，原不等式的解为1

解法2： x -2表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式x -2

解法3：x -2

（2）解法一：由x -1=0，得x =1；由x -3=0，得x =3； ①若x 4，即-2x +4＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若1≤x 4，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；

③若x ≥3，不等式可变为(x -1) +(x -3) >4，即2x -4＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图，x -1表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 可知点P 在点C (坐标为0) 的左侧、或点P 在点D (坐标为4) 的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或

x ＞4．

2

|x －3|

所以，不等式x -1+x -3＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由|AB ||x －1|

222222

例2（1）解：原式=[x +(

)

+]=

(x ) +() +() +2x (x +2x ⨯

13

2

1311

+2⨯⨯() 33

=x -+

43

821

x + 39

12

4

3

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． （2）原式=(m ) -(n ) =

2

2

15

3

1313

m -n 1258

2

23

3

6

（3）原式=(a -4)(a +4a +4) =(a ) -4=a -64

（4）原式=(x +y ) (x -xy +y ) =[(x +y )(x -xy +y )]=(x +y ) =x +2x y +y 例3解： x -3x =1=0 ∴x ≠0 ∴x +原式=(x +)(x -1+

2

[1**********]336

1

=3 x

1x

2

1112) =(x +)[(x +) -3]=3(32-3) =18 2x x x

例4解： a +b +c =0, ∴a +b =-c , b +c =-a , c +a =-b

b +c a +c a +b a (-a ) b (-b ) c (-c ) a 2+b 2+c 2

+b ⋅+c ⋅ ① =++=-∴原式=a ⋅bc ac ab bc ac ab abc

a 3+b 3=(a +b )[(a +b ) 2-3ab ]=-c (c 2-3ab ) =-c 3+3abc

∴a 3+b 3+c 3=3abc ②，把②代入①得原式=-

3abc

=-3 abc

例5解：（1）原式

3(2==6-2

2-3

（2）原式=|x -1|+|x -2|=⎨

⎧(x -1) +(x -2) =2x -3 (x >2)

⎩(x -1) -(x -2) =1 (1≤x ≤2)

说明

=|a |的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

（3）原式

=

（4） 原式

===例6解

：x ===7+y =7-⇒ x +y =14, xy =1 原式=(x +y )(x -xy +y ) =(x +y )[(x +y ) -3xy ]=14(14-3) =2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，

倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

2

2

2

2

x x 2+3x +96x x -1

例7 化简：（1） （2） +-22

1-x x -279x -x 6+2x x +

x -x x x x x x (x +1) x +1

（1）解法一：原式= ===2==2

1-x (1-x ) ⋅x x x +x -x x x x +2x +x -x -1(x +1)(x -1) x +1x +1x x x x x (x +1) x +1

解法二：原式= ===2=

x +x -x x x +x +2x -

x -1x +1(x -) ⋅x x

x 2+3x +96x x -116x -1

（2）解：原式= +-=--

(x -3)(x 2+3x +9) x (9-x 2) 2(3+x ) x -3(x +3)(x -3) 2(x -3)

2(x +3) -12-(x -1)(x -3) -(x -3) 23-x

===

2(x +3)(x -3) 2(x +3)(x -3) 2(x +3)

说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；

(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

【课堂练习】

1．-4

4

4

4

2

3．-3或2 2

22

22

4

．3

5．-x -y -z +2x y +2x z +2y z 6．(1)-3, (

2

【习题1】

A 组

1．（1）x 4 （2）x ＜－3，或x ＞3

2．1 3．（1

）2（2）-1≤a ≤1 （3

1

B 组

351

1．（1） （2），或－ 2．4．

572

C 组

, (

3(

4136

, x 2=2 3． 255

1111

4．提示：=[-]

n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)

1．（1）C （2）C 2．x 1=