对称变换的研究
数学10903班 郑庆庆 200905461 20号
正多边形的对称变换
探究：1、你能给出正五边形、正六边形的对称变换吗？
一、问题分析：对于上述问题，我们要用到对称变换的相关知识，我们知道，正方形有8个对称变换，这8个对称变换都保持正方形的中心不动，而把它的顶点仍然映成顶点，把这8个对称变换组成的集合记做D 4，即： D 4=事实上，正n 边形的对称变换都保持它的对称中心不动，{I , r 1, r 2, r 3, r 4, ρ1, ρ2, ρ3}，
而把它的n 个顶点仍然映成顶点。
二、问题解答：
如图，先画一个正五边形，在它的顶点标上1、2、3、4、5和中心o ，我们来做它的对称变换：
22（5）
4
3
4（3）
3（4）
(1)恒等变换，记做I
（见上图） (2)关于对称轴r 1所在的直线的反射，记做r 1：（见图三） (3)关于对称轴r 2所在直线的反射，记做r 2：
5
2（2）
2（4）
4（5）
3（1）
4（2）
3（3）
图三
图4
（见图四） (4)关于对称轴r 3所在直线的反射，记做r 3：
（见图五）
(5)关于对称轴r 4所在的直线的反射，记做r 4：
2（1）52（3）
4（4）
3（5）
4（1）
3（2）
图五
图六
（见图六） (6)关于对称轴r 5所在直线的反射，记做r 5：
(7)以点o 为中心，旋转108︒，记做
（见图7） ρ1：
52（3）
52（4）
4（5）
3（4）
4（1）
3（5）
图7图8
（见图8） (8)以o 为中心，旋转216︒，记做ρ2：
（见图9） (9)以o 为中心，旋转324︒，记做ρ3：
（见图10） (10)以o 为中心，旋转432︒，记做ρ4：
5
2
（5）
52（5）
4（2）
3（1）
4（2）
3（1）
图9图10
结论：通过以上分析，我们可以得到，正五边形对称变换组成的集合为：
D 5={I , r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, ρ1, ρ2, ρ3, ρ4}
类似的，我们可以得到，正六边形的对称变换组成的集合为：
D 6={I , r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, }D 6={I , r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, r 6, ρ1, ρ2, ρ3, ρ4, ρ5}
三、小结：
正多边形的对称变换都是以其中心o 为不动点的平面刚体运动，因此只有两类——或是
以o 为中心的对称变换，或是关于经过o 点的直线的反射的变换。
直角坐标系与极坐标系的比较
π
探究：2、在极坐标系中，由三条直线θ=0，θ=，ρcos θ+ρsin θ=1围成图形
3
的面积是多少？
一、问题分析：
我们已经知道，对于平面上任意一点M ，用ρ表示OM 的长度，用θ表示OX 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序对(ρ, θ)就叫做M 的极坐标，由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π]时，平面上的点（除去极点）就与极坐标(ρ, θ)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ=0，极角是任意角，对于上述问题，我们可以用两种思想进行解答，方法一：在极坐标系中，建立方程，进行求解。方法二：在直角坐标系中，建立方程求解。
二、问题求解：
方法一：建立极坐标系.
我们知道ρcos θ=1的图像如图一，
π⎫⎛
而ρcos θ+ρsin θ=1, cos θ+⎪=1
4⎭⎝
ππ⎫⎛
即y =cos θ+⎪的图像为将y =ρcos θ的图像逆时针旋转，故我们可以
44⎭⎝
画出ρcos θ+ρsin θ=1的图像，如图二。我们将三条直线的图像画在极坐标系中，如图三。
当θ=
图三
图一
π
3
ρcos θ+ρsin θ=1
时，代入ρcos θ+ρsin θ=
1得ρ=
1π故，阴隐区域的面积为：s =
⨯1=
23
方法二：建立直角坐标系。
由x =ρcos θ, y =ρsin θ得，三条曲线在直角坐标系中的方程分别为：
y =0; y =; x +y =1
将他们的图像画在直角坐标系中，得到图四：
我们可以求出曲线y 与曲线x +y =1的焦点为
⎛13- 2, 2 ⎝⎭
故阴隐部分的面积为
1 s =1=
2三、小结：
通过对比，我们可以发现，在此题目中，用极坐标解题明显复杂些，但是，极坐标与直角坐标系是一一对应的关系，所以，可以用直角坐标系解题的也可以用极坐标系来做，在三角函数那部分，运用极坐标系，明显容易些。