第六章 物质中的电场
第六章 物质中的电场
教学要求：
1、理解极化的概念和描写介质极化的宏观量P的物理意义
2、掌握极化强度与极化电荷、极化强度与电场强度的关系以及电位移矢量与极化强度、电场强度三者的关系
⎰SD⋅dS=∑qf，以及通过对称性分析，用高斯定理 3、掌握有电介质时的高斯定理
求E与D的方法
4、掌握电介质中电场能的表达式
教学重点：
1、极化强度与极化电荷的关系 2、极化强度与电场强度的关系 3、介质中的高斯定理
教学难点：
1、实际物体的极化
§6.1 电介质的极化 §6.2 极化强度和极化电荷 §6.3 介质中的静电场 §6.4 介质中的高斯定理 §6.5 电介质中的静电能
§6.1 电介质的极化
1、电介质的极化 相对介电常数
（1）电介质的极化
电介质即绝缘体在外电场的作用下，介质内部与表面就会出现电荷，这种现象称为电介质的极化。极化所产生的电荷称为极化电荷（又称束缚电荷）。
① 极化是电介质对外电场的响应，是外电场对电介质作用的结果；感应是导体对电场的响应，是外电场对导体作用的结果。
② 一般物质在电场中即有极化也有感应。 （2）相对介电常数
当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后，介质电容器的电容为真空电容器电容的εr倍，εr是反映电介质特性的物理量，称为电介质的相对介电常数。
2、电介质极化的微观模型
电介质的分子按其电结构的不同，可以分为两类：一类是无极分子，它的每个分子的正负电荷“重心”是重合的，分子的电偶极矩为零；另一类是有极分子，分子的正负电荷“重心”不重合，分子具有固有电矩，即Pm≠0。
无论有极分子介质或无极分子介质，当无外电场存在时，由于分子的无规则热运动，它们的总电矩为零，它们整体对外不显电性。
把电介质放入电场中后，无极分子的正负电荷“重心”将发生相对位移，产生位移极化；有极分子的固有电矩将沿外场方向排列，产生取向极化。
§6.2 极化强度和极化电荷
1、极化强度
极化强度矢量P是描述电介质极化状态（包含极化的程度和极化的方向）的物理量，定义为介质内单位体积中分子电矩的矢量和，即：
∑pmP=
∆V
p
式中∑m是体积元∆V内各分子电矩的矢量和，∆V是一个物理上的无限小量。
① P是空间点的函数，如果介质中各点的极化强度矢量大小和方向都相同，则称为均
匀极化。否则，称为非均匀极化。
② 在真空中或介质未极化时，P=0。
2、极化电荷
Q=- ⎰SP⋅dS P
即介质内部任何体积V内极化电荷的电量，等于极化强度对包围V的表面S的通量的负值。 （2）极化电荷的面密度
在两种极化介质的交界面上，或者在介质的表面（实际上是介质与真空的交界面）上，存在面分布的极化电荷。极化电荷的面密度为
ˆn=Pn1-Pn2 σP=(P1-P2)⋅e
σ
即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度p等于两种介质的极化强度的法向分量之差。
ˆn式中的法向单位矢量e由第一种介质指向第二种介质。
（1）极化电荷电量
σ
① 当P1n>P2n时，
σ
当P1n
当P1n=P2n时，
p
>0，交界面有正的极化电荷。
p
=0，交界面无极化电荷。
② 当第二种介质是真空或金属时，P2=0，则有
p
θ σP=Pn=Pcos
πθ
ˆ2时，σ式中的θ为P与en之间的夹角。当σ
p
p
>0；当
θ>
π
2时，σ
p
θ=
π
2时，
=0。
（3）极化电荷的体密度
不均匀介质内部有极化体电荷分布。极化电荷的体密度ρP与极化强度的关系为
p⋅dS ⎰S
ρP=-
=-∇P⋅ V
其中，在直角坐标系中
⎛∂P∂Py∂Pz⎫x∇⋅P= ++⎪
∂x∂y∂z⎭⎝
在柱坐标系中
1∂1∂Pφ∂Pz∇⋅P=(ρPρ)++
ρ∂ρρ∂φ∂z
在球坐标系中
∂Pφ1∂1∂12∇⋅P=2(rPr)+(sinθPθ)+
r∂rrsinθ∂θrsinθ∂φ
① 当P为恒矢量时，介质内部无体分布的极化电荷ρP=0。
② 当P不是恒矢量时，只要介质是均匀的，一般在介质中都无体分布的极化电荷，只有在均匀介质中存在体分布的自由电荷的地方才会有体分布的极化电荷。
§6.3 介质中的静电场
1、介质中的电场强度
在有介质存在时，空间任一点（介质内外）的场强E是所有自由电荷产生的场强Ef和
所有极化电荷产生的场强EP的矢量和，即
E=Ef+Ep
2、极化强度与电场强度的关系
对于大部分各向同性的电介质，当场强不太强时，极化强度P与介质中的场强E成正
比，方向相同，即
P=ε0χE=ε0(εr-1)E
式中，χ称为介质的极化率，它反映了介质极化难易的程度。对均匀介质，极化率是与位置无关的常数，对非均匀介质，极化率与位置有关，εr为介质的相对介电常数。
3、用叠加原理求介质中场强的方法
ˆn=P1n-P2n求出介质表面的极化电荷及其分布。 （1）根据公式σP=(P1-P2)⋅e
（2）根据自由电荷和极化电荷的分布，用直接积分法（若场的分布具有对称性时，可用高斯定理）分别求出自由电荷和极化电荷产生的场强。
E=Ef+EP
（3）利用公式求出总场强E。
4、例题
例6.3-1 一圆柱状的电介质，截面积为S，长为L，被沿着轴线方向极化，已知极化强度P
沿x方向，且P=kx（k比例常数），坐标原点取在圆柱的一个端面上，如图所示，试求极化电荷的分布情况以及极化电荷的总电量。 解：极化电荷的体密度为
⎛∂Px∂Py∂Pz⎫ ρp=- ++⎪ ∂y∂z⎭⎝∂x ∂Px=0x在=-k=
- ∂x
ˆn=-Px=0=0σP1=P⋅e z在x=L ˆn=Px=l=kLσp2=P⋅e极化电荷的总量为
Qp=ρpLS+σP2⋅S=0
例6.3-2 计算一沿z方向均匀极化的介质球表面的极化电荷在z轴上产生的电场，设极化强
度为P，介质球的半径为R
解法一：介质球表面的极化电荷面密度为
σp=Pn=Pcosθ
在介质球表面上取一球带，如上图(a)所示，其上电量为
dqP=2πRsinθ⋅Rdθ⋅σ
2
p
=2πRcosθsinθdθ
球带上的电荷在Z轴上任一点产生的电势为
2
1dqp12πRcosθsinθdθ
=
dϕ
=2212
4πε0r4πε0(z+R-2zRcosθ)
球面上的电荷产生的总电势为 2
πPRcosθsinθdθ
ϕ(z)=1⎰22
2ε
00(z+R-
2zRcosθ)
2
π PRcosθdcosθ
=- 222⎰2ε00(z+R-2zRcosθ)
，则有
22
R2b=2zR 设x=cosθa=z+P-1Rxdx
ϕ(z)=- ⎰
2ε01
a - t 2 2 ，又有
2
dx=-tdt 再
设t=a-bxx=
bb
22
2(a-t)tPR ϕ(z)=dt2 2ε0bt
2 PR2
=a-t)dt2ε0b
2 PR13 =(at-t)2ε0b3
2
PR2=t(3a-t) 20
当z>R时 2
PR
a-b)-a+b)⎤222 ϕ(z)=P⎡(z=⎦+R)(z)-(z-+zR)⎤3ε0b2⎣⎦ 6zε0
3εb
=
PR
32
因此，球外的场强为
3
∂ϕ2PR
E(z)=-=3 ∂z3ε0z
当z
R时
P
⎡(z+R)(z2+R2-zR)-(z-R)(z2+R2+zR)⎤ϕ(z)=2⎦6zε0⎣
3ε0z
=
Pz3ε0
因此，球内的场强为
∂ϕP
E(z)=-=-
∂z3ε0
σ
解法二：由于介质球表面的极化电荷面密度
p
=Pn=Pcosθ
按余弦分
布，可以等效为球心有相对微小位移的两个半径相同，等量异性的均匀带电球体叠加，如图（b）所示。均匀带电球体的电荷体密度为Nq，两带电球的球心相距l，介质球在球内外任一点产生的电场等于这两个带电球产生的电场的叠加。
对于球内任一点场，可由高斯定理求得，如图（c）所示，带正电的球体在P点产生的场为
ˆne
图（b）
P 143
E⋅dS=ρ⋅πr++ ⎰S ε03
ρ
E+=r+
3ε0
同理，带负电的球体在P点产生的场为
P点的总场强为
ρ
E=E+E=-r--r+）+-
3ε0
ρNql =-l=-
3ε03ε0
P
=-d）所示，其电矩
3ε0为
P P=Ql=4πR3Nql=4πR3P0 33电偶极子在球外任一点的场为
l
1 ˆˆ+P sinE=cosθrθθ0 0 3(2 P )
4πε0r
3 12P0cosθ2RPcosθ
Er==33
4πε0r3ε0r
3 1P0sinθ1RPsinθ
Eθ==33
4πε0r3ε0r
ρ E-=-r-
3ε0
c）
±σ
例6.3-3 两块无限大的金属平板，带有等量异号的自由电荷，电荷面密度为±σ00，两极之间充满均匀电介质，介质的极化率为χ，求介质内的场强。
解：如图所示，在两板之间，自由电荷单独产生的电场为
σf
ˆEf=k
ε0
k为垂直于平板的单位矢量，方向由正极板指向负极板。 均匀介质表面的极化电荷为 σ0
σ
σp=Pn=P
极化电荷产生的电场为 zσ σpσ0 ˆEp=-k ε0介质中的场强为
σfσp σf
ˆˆˆ-pkˆE=E+Ek-k=kfp=
ε0ε0ε0ε0P=εχE0由得 σfε0χEˆσfˆ ˆk-χE=k-k= ε0ε0ε0 =Ef-χE 设 ε r = χ 为 相 对 介 常 数 ，得 1 +电
σf 1 ˆE=Ef=k
当整个电场内充满着均匀电介质时，介质中的场强等于自由电荷单独产生的电场强度的εr分之一。
qf
εrε0εr
例6.3-4 在无限大的均匀电介质中，浸入一电量为的均匀带电导体球，球的半径为R，
求介质中的场强，设介质的极化率为χ。
解：极化电荷只分布在介质与球面的交界面和无限远处的介质表面上，如图所示。因为无限远处介质表面上的极化电荷在考察点A处的场可以忽略不计，故自由电荷和极化电荷在球外产生的电场为
1qf1-qp
ˆˆ=r+rE=Ef+EP22 4πε0r4πε0r
1qf-qp
ˆ=r而 2
4πεr20 2
qp=4πRσp=4πRPn=4πR2ε0χE(R)
式中E（R）为介质中的场强在球表面处的值，即
1qf-qp
E(R)=2 4πεR
把E（R）代入上式，得 qf-qp
2
qp=4πRε0χ2
4πε0R
χ
q=qfp
1+χ
于是 11qf1 ˆ=E=rEf
2
4πε01+χrεr
其中εr=1+χ。
例6.3-5 两均匀带有等量异号电荷的无限大平面导体板之间放一均匀的介质球，球的半径为R极化率为χ，求球内的场强，假定介质球离两平板都相当远，球处在场中时，带电板
上的电荷仍然均匀分布，因此，自由电荷单独产生的场Ef仍是均匀场。 解法1：分步极化法
设想介质球的极化是分若干阶段进行的，最终达到静电平衡。在介质球刚放在电场中瞬
时，极化电荷尚未形成，因而介质球内的场强就是外场Ef，它使球均匀极化，极化强度为
由P0引起的极化电荷在球内所产生的附加场强为
P0=ε0χEf
附加电场EP1引起的附加极化，附加的极化强度为
χ P1=ε0χEp1=-ε0Ef
3
附加的极化强度EP1产生的附加场强为
1 χ2
Ep2=-P1=(-)Ef
3ε03
附加场强EP2又引起新的附加极化，这样的过程一步一步继续下去，在第n步，附加极化强度为
χn
Epn=(-)Ef
3
E
于是介质球内的场强等于自由电荷的场强f和附加场强EPn之总和，即
∞
E=Ef+Ep1+Ep2+⋯⋯=Ef+∑EPn
n=1
⎡∞⎛χ⎫n⎤
=⎢ -⎪⎥Ef∞
⎝ 30 ⎥根据 x n = ⎢ =+ 2 ⎭ + ⋯⋯ n + ⋯⋯ = 1 得 ⎣ n⎦ + 1x+xx∑ 1-xn=0
13E=E=Ef
χf2+εr 1+
3
以上能求得正确结果是因为均匀球内部的场是均匀的，而且介质的极化率χ应比较小，同
1 χ Ep1=-P0=-Ef
3ε03
∑
时极化不影响自由电荷的分布。
解法2：均匀的介质球在均匀电场中的极化是均匀的，而均匀极化的介质球表面的极化面电荷在球内单独产生的场强为
1 Ep=-P
3ε0即EP是与极化强度P的方向相反的均匀电场，若介质中的场强为E，则
1 1
P=Ef-ε0χEE=Ef+Ep=Ef-
3ε03ε0
于是 ⎛χ⎫ E 1+⎪=Ef 3⎭⎝所以 33 E=Ef=Ef
3+χ2+ε r
本题的结果表明：当介质未充满电场存在的空间时，介质中的场强不等于自由电荷单独
1 产生的场强εr分之一，即 。 E≠Ef
εr§6.4 介质中的高斯定理
1、介质中的高斯定理
数和
∑qf
通过任意闭合曲面S的电位移D的通量，等于该闭合曲面所包围的全部自由电荷的代
，其数学表达式为
⎰SD⋅dS=∑qf
EE
① D与f所满足的高斯定理在形式上完全相似，但f完全取决于自由电荷的分布，
14πε0
Ef=
即
极化电荷。
⎰
ρfdV
r
2
V
ˆr 1
D≠
4π，而D不完全取决于自由电荷，即
⎰
ρfdVr
2
V
ˆr，还取于
② 只有当均匀的电介质充满整个电场存在的空间，或在两种介质交界面上，D的切向
D=D1t2t分量连续（），或均匀介质表面是等势面时，D仅取决于自由电荷分布。
③ 电位移矢量D是作描述介质中的电场而引入的一个辅助性物理量，没有直接的物理
意义，它是一个空间点的矢量函数。
D2、
E与
的关系
对一般介质，有 D=ε0E+P
此式揭示了D、P和E三个物理量之间的关系，它是普遍成立的。
对于各向同性介质，有
εεED=0r=εE
式中比例系数ε=ε0εr称为绝对介电常数。 均匀介质表面是等势面），有
在特殊情况下，（即均匀的电介质充满场空间；在两种介质交界面上D的切向分量连续；
D=ε0Ef
3、介质中的环路定理
若自由电荷是静止的，则极化电荷也是不随时间改变的，它们共同产生的电场是静电场，其保守场性质未变，仍满足静电场的环路定理，即
若空间还存在由变化的磁场产生的涡旋电场，则电场的环流不等于零，即：
∂B
⎰CE⋅dl=-⎰S∂t⋅dS
C
⎰
E⋅dl=0
5、电场的边界条件
场矢量在交界面上满足的规律，称为场的边界条件。
（1）在两种介质的交界面上，当有面分布的自由电荷时，电位移矢量的法向分量发生突变，Dn不连续，即
（2）在两种介质的交界面上，当无自由电荷时，电位移矢量的法向分量是连续的，即
f
D2n-D1n=σ
D1n=D2n
（3）在两种介质的交界面上，电场强度的法向分量不连续，有突变，即
E1n
εr1 E2n
（4）在两种介质的交界面上，电场强度的切向分量（沿界面的分量）是连续的，即
E1t=E2t
（5）在两种介质的交界面上，电位移矢量的切向分量是不连续的，有突变的，即
=
εr2
D1t
D2t
=
εr1εr2
（6）电位移线在经过界面处将发生折射，如图所示，设θ1和θ2分别为D1和D2与界面法线的夹角，则有
D1tεr1tgθ1
==D2tεr2 tgθ2
6、用介质中的高斯定理求场强方法
（1（2）选择适当的高斯面。
D⋅dS=∑qf
⎰SD（3）利用高斯定理，求出。
εε0r，求出E。 （4）用公式
'ˆn可求出极化电荷σ'；由此外，利用P=ε0χE，可求出极化强度P；利用σ=P⋅e
E=
D
ϕ=
⎰
C
E⋅dl
C=
Q
∆ϕ求出电容C。
求出电势分布；由
7、例题
例6.4-1 一平行板电容器，中间插入厚度比电容器两极板之间距离略小的均匀电介质平板，
介质板与电容器极板平行，当电容器带电后，试粗略地画出电容器内Ef,Ep,E,D,P等各矢量的分布以及电荷分布和电势分布情况。 解：（1）如图所示取高斯面，由介质中的高斯定理得
⎰D⋅dS=σf⋅∆S
D⋅∆S=σf∆S
D(隙）=D（介）=σ
f
（2）电场强度分别为
11
E(隙）=D=σ
ε0ε0
f
11
E(介）=D=σ
ε0 εrε0εr
（3）在隙缝中，
f
+σ
-σ
在介质中极化强度为
P=0
P（介）=D-ε0E（介）
1
=D-D
εr
εr-1
=σf
（4 ε
Ef=
σ
r
f
（5）极化电荷产生的场强为
ε0
p
Ep==P ε0ε0E
它的方向与f相反。
（6）在介质表面上极化电荷为 σp=P
（7）取带负电的极板为电势为零电势，则电势分布为
x
ϕ=Edx=Ex
各物理量的分布情况如图所示。
σ
1
f
⎰
r1例6.4-2 半径为a金属球，带有电量q0，球外紧贴一层厚度为b，相对介电常数为εr1ε的均
匀固体电介质，固体电介质外充满相对介电常数为εr2的均匀气体电介质，假定εr1>εr2，
讨论下列各问题：电位移矢量，电场强度，极化强度，电荷分布，电势。
解：（1）空间各点的电位移矢量D
由球对称，作高斯面，用介质中的高斯定理可求出空间各点的电位移矢量 在金属球内，
D0=0
在固体介质εr1内， 2
D⋅dS=D⋅4πr=q0 ⎰
1q0
D1=,(a
4πr在气体介质εr2内，
D2=
1q04πr
2
,(r>b)
（2）空间各点的电场强度E
在金属球内，
E0=0
在固体介质εr1内，
q011 E1=D1=2
ε0εr4πε0εrr
1
1
ε
在气体介质r2内， q01
E2=2 4πε0εrr
2
（3）空间各点的极化强度P
在金属球内，
P0=0
在固体介质
εr1
内，
1
q0
2
P1=ε0χ1E1=ε0(εr-1)
4πε0εrr
ε
在气体介质r2内
ε-1q
0 P2=ε0χ2E=r2
2
4πεr2r
（4）电荷分布
在金属球表面上自由电荷分布 q0
σf=2 4π
a
在固体介质与金属球的交界面上极化电荷分布
ε-1q0
σP1=P0-P1=-P1=-r1
2
4πεr1a
=-
εr1-1εr1
σ
f
在两种介质的交界面上极化电荷分布
σ
p2
⎛εr1-1εr2-1⎫q0
=P1-P2= -⎪2
εε4πb⎝r1r2⎭
2
⎛11⎫a= -⎪2σ⎝εr1εr2⎭b
f
（5）空间各点的电势ϕ 金属球的电势为
q0⎡11⎛11⎫⎤
=+-⎢ ⎪⎥ 4πε0⎣εr1ab⎝εr1εr2⎭⎦
固体介质中任一点的电势为 ∞ b ∞ ϕ1=E⋅dl=E1⋅dl+E2⋅dl
rrb
q0⎡11⎛11
=+- ⎢ 4πεεrb 0⎣r1⎝εr1εr1
气体介质中任一点的电势为
a
a
b
ϕ0=
⎰
∞
E⋅dl=
⎰
b
E1⋅dl+
⎰
∞
E2⋅dl
⎰⎰⎰
⎫⎤⎪⎥⎭⎦
ϕ2=
⎰
∞r
E⋅dl=
q0
1
各物理量分布情况如图所示。
例6.4-3 设有一驻极体（具有永久极化的特殊介质）制成的球，半径为 R，其永久极化强度
为P0为恒量，若取P的方面为z轴，试求z轴上的电位移矢量，设原点在球心上。
4πε0εr2r
解：均匀极化的介质球在Z轴上所产生的场强，在球内和球外分别为
1
E1=-P0
3ε0
2
2RP0
E2=3
3ε0z
在球内由 D=ε0E+P关系得
2 1 D1=ε0E1+P0=-P0+P0=P0
33
在球外由
D=ε0εrE
3 2R
D=ε0εrE2=ε0E2=P0
3 2
3z
计算结果表明：即使没有自由电荷，D也不为零，说明D与极化电荷并不是无关系的。
D(z)、E(z)与z的关系如图所示。
例6.4-4 设空间为两种不同的均匀电介质所充满，两种介质的交界面是一个平面，在交界面上有一个电量量q的点电荷，试求空间各点的电场强度和电移矢量。
解：由于点电荷位于界面上，在两介质的交界面上，电场强度只有切向分量，即En=0，因而Pn=0，除点电荷所在处外，分界面上无极化电荷分布，在点电荷与介质的“交界面”上，将出现极化电荷，这个极化电荷是与点电荷重合在一起的点电荷，设极化电荷的电量为
qp
q+qp
，由于电量为的点电荷激发的电场具有球对称性，其场强为
1q+qp
ˆrE=e 2
4πε0r 由物态方程，得
D1=ε0εr1E=
εq+qp
ˆrD2=ε0εr2E=r2e2
4πr
由介质中的高斯定理，得 D⋅dS=D⋅dS+D⋅dS=q ⎰S⎰下半球面1⎰上半球面2
由此得 εr1(q+qp)+εr2(q+qp)=2q 即
2q
q+qp=
εr1+εr2于是
q
ˆrE=e
2πε0(εr1+εr2)
εr1q
ˆrD1=e
2π(εr1+εr2)
εr2q ˆrD2=e
2π(εr1+εr2)
例6.4-5 研究介质的介电性与导电性，电阻和电容的关系。设想在两导体之间充满某种各向同性的均匀电介质，其相对介电常数为 εr，使两导体带等量异号的电荷，如图（a）所示，试求这导体组的电容。另一是作为电阻使用，设想在导体之间充满某种各向同性的，均匀的欧姆导电介质，其电导率为v使两导体之间维持一恒定的电势差，其值与这两导体作电容器时的电势差相等，如图（b）如示，试求这导体组的电阻。
解：在第一种情况中，两导体构成两个等势面，其间存在静电场，两导体间的电势差为
+Q
-Q
(a)导体组用作电容器(b)导体组用作电阻
-
ϕ+-ϕ-=⎰E⋅dl
导体上的电量为 +
Q=⎰σdS=⎰D⋅dS=ε0εr⎰E⋅dS SSS
导体组的电容为
ε0εrE⋅dSQ S=C=-
ϕ+-ϕ-E⋅dl +
在第二种情况中，两导体也构成两个等势面，其间存在稳恒电场，两导体间的电势差为 - ϕ+-ϕ-=⎰E⋅dl
+
而电流
I=⎰j⋅dS=⎰vE⋅dS=v⎰E⋅dS
SSS
由欧姆定律，导体组的电阻为 - E⋅dlϕ+-ϕ-
+
R==IvE⋅dS
S
比较两个结果得 ε0εr
RC=
v
一切实际的电介质总有一定的电导率，任何导体也都具有介电常数。其实际介质中的电容与相应电阻之间满足上式关系。
⎰
⎰
⎰⎰
例6.4-6两块大金属板相距（a+b)，其间充满两种均匀导电介质，介质的介电常数和导电率分别为εr1、γ1和εr2、γ2，厚度分别为a和b，如图（a）。在t=0时刻，突然将一恒定的电压U加于两电极间，求两介质中的电场，电流密度及交界面上的电荷分布随时间的变化。 解：当两极板间加上电压后，就在其间形成电场，假定介质的极化过程十分迅速，在介质中立刻建立起静电场，但在两种介质的交界面上，尚无面分布的自由电荷，因此在交界面上，静电场满足电位移矢量法向边界条件，即 D=D=D10200
或 εr1ε0E10=εr2ε0E20 但 aE10+bE20=U由上两式解得
εr2U
E10=
aεr2+bεr1
εr1U
E20=
aεr2+bεr1
εεεU
D0=r1r20
aεr2+bεr1
由于介质有导电性，在电场作用下会形成电流。在t=0时刻，两种介质中的电流密度各为 γ1εr2U
j=γE= 10110
aεr2+bεr1
γ2εr1U
j=γE= 20220
aεr2+bεr1
由于 j10≠j20，
场必定削弱电流密度较大一方的电场，随着电荷积累的增多，电流密度大的一方电流逐渐减弱，才达到稳b）所示。把电 dq j⋅dS=-
⎰
S
(j2-j1)∆S=-
dtdq
⎰
S
D⋅dS=q
dt
图（b）
(D2-D1)∆S=q
d
j-j=-(D2-D1)21
dt
或 dγE-γE=-ε0(εr2E2-εr1E1) 2211
dt
但
aE1+bE2=U
E
消去2得 dE1aγ2+bγ1γ2U
+E1=
dtε0(aεr2+bεr1)ε0(aεr2+bεr1)令
ε0(aεr2+bεr1)γ2U
tr=c=
aγ1+bγ2ε0(aεr2+bεr1)
上式变为
dE11 +E1=c
dttr解此方程得
E1=tr(c-Ae
-ttr
)
其中A为积分常数，可由初始条件求得。当 t=0时E1=E10，得
E10=tr(c-A)
于是 E
A=c-10
tr
得 γ2Uεr1U-ttr-ttr
E=1-e+e 1
aγ2+bγ1aεr2+bεr1
同理
()
γ1Uεr1U-ttr-t
E=1-e+e 2
aγ2+bγ1aεr2+bεr1
电流密度为
j1=γ1E1
j=γE222 界面上的电荷密度为 σf=D2-D1
D
=ε0εr2E2-ε0εr1E1
E
γε-γ2εr1-tt σf=ε01r2U1-er
j aγ2-bγ1
当t→∞时Dγ：U
()
r
()
E1=
2
aγ2+bγ1 E
1
E2=
aγ2+bγ1
达到稳定值。此时有 γ1γ2U j1=γ1E1= aγ2+bγ1
γU
j2=γ2E2=
γ1γ2U
aγ2+bγ1
，电流密度法向连续。
j2 t=∞时，D、E、j的空间分布如图(c)所示。 tj1==0和
§6.5 电介质中的静电能
1、电介质中的静电能
对线性介质，有
W=
1
ρσϕ为介质中所有电荷在dV处和dS处式中，f和f为介质中自由电荷的体密度和面密度，
产生的电势。介质的存在使介质中的电势较比真空中的电势减小。
⎰2
ρfϕdV+
1
⎰2
S
σfϕdS
2、电介质中的电场能
（1）能量密度
单位体积内电场所具有的能量称为电场的能量密度，即
1 wE=D⋅E
2
wE=
1DE=
对于各向同性线性电介质，有
12
2
（2）电场能量
ε0εrE
2
在任意分布的电场中，体积为V的空间的电场能量为
WE=
⎰
V
wEdV=
12
⎰
V
D⋅EdV
3、电场能量计算方法
（1）求出电场中电位移矢量D及场强E的分布。
（2）利用公式
wE=
WE=
12
DE=
12
ε0εrE
1
2
V2（3）利用公式
其中，积分遍及电场存在的所有空间。
⎰
wEdV=
⎰
V
，求出电能密度。 D⋅EdV
求出电场的总能量。
4、例题
例6.5-1 把一相对介电常数为εr的均匀电介质球壳套在一半径为a的金属球体，金属球带有电量为q，设介质球壳的半径为a，外半径为b，比较无介质和有介质两种情况下静电能量的变化。
解法1：介质不存在时，空间各点的场强为
1q ˆrE1=e(r>a)2 4πε0r
电场的总能量为
11 222
W1=⎰ε0E1dV=⎰ε0E14πrdr
2V2V 2
∞drq =⎰2
8πε0ar
2 q1= 8πε0a
1q ˆre(a
E2=
1q ˆre(r>b)2
场的总能量为 4πε0r
2
∞dr⎤1 q⎡bdr2
W2=⎰ε0εrE2dV=+⎰⎢⎰a⎥ 2br22V8πε0⎣εrr⎦于是
2
q1-εr⎛11⎫
∆W=W2-W1= -⎪
8πε0εr⎝ab⎭
表示介质放入时电场力作正功。
解法2：设未放入介质时，金属球的电势为ϕ1，放进介质后，金属球的电势为ϕ2，则有
相应的两种情况下，电场能分别为
W=⎰σfϕdS
W1=W2=
1212
qϕ1qϕ2
于是
12
q(ϕ2-ϕ1)
∆W=W2-W1=
=
q
2
1-εr11
(-)
8πε0εrab
例7.6-2 计算把均匀的电介质插入带电平行电容器前后电容器的电容，极板上的电量，两极间的电势差，电容器的能量以及插入过程外力所作的功。假定介质片正好充满电容器．介
质的相对介电常数为εr。
解：当介质片刚从电容器边缘插入电容器时，电容器边缘的电场分布发生的畸变，介质被极化，如图所示。如果没有外力作用于介质片使之徐徐移入电容器，则介质片在电场力的作用下将获得加速度。当介质片正好全部进入电容器时，场的畸变消失，但介质片具有动能，介质片将在电容器中振荡，直到它的全部机械能消耗完为止。 （1）保持电压恒定（电容器接在电池两端），设电容器极板的面积为S，两极之间的距离为L。
电介质插入前有关物理量分别为
U1=U0
εS C1=0
d ε0SU0
Q=CU= 111
d
Q1ε0U0σf1==
Sd
2
εSU01120 W1=C1U1==Q1U0
22d2电介质插入后有关物理量分别为
U0D1σf1
E1===
U=Udεε0 200
ε0S
C=εC=ε 2r1r
d
ε0S21
W=CU=εU0=εrW1
222r
2d
ε0S
Q2=C2U2=εrU0=εrQ1
d
U2U0 E2===E1
dd电介质插入前后电容器极板上的电量和电容器的储能变化为
∆Q=Q2-Q1=(εr-1)Q1=χQ1
∆W=W2-W1=(εr-1)W1=
χW1
在介质片插入电容器的过程中，电池作的功为
AB=∆QU0=χQ1U0=2χW1=2∆W
即电池作的功为电容器所增加能量的两倍，其中一半用于增加电场能，一半为电场对于电介质板所作的机械功AM AM=AB-∆W=χW1
（2）保持电量恒定（充电后与电池切断） 电介质插入前有关物理量分别为
Q1=Q0
εS
C1=0 d Q1Q0d
U== 1
C1ε0S2 11Q1d22
W1=C1U1==Q0
22C12ε0S
QUD
E1=1=1=0
dε0ε0S
电介质插入后有关物理量分别为
Q2=Q1=Q0
εS
C2=εr0=εrC1
d
Q1 U2=2=U1
C2εr
2 1Q21
W2==W1
2Cε 2r
U1电介质插入前后电容器的储能变化为 E2=2=E1
dεr ⎛1⎫χ
∆W=W-W=-1W=-W1 ⎪1 21
εε⎝r⎭r
电场对于电介质板所作的机械功AM为
χ AM=-∆W=W1
ε
r