例析中考数学中的重叠问题
例析中考数学中的重叠问题
江苏省张家港市外国语学校 卢育新 215600
以运动的观点探究几何图形的变化规律问题称之为动态几何问题,这类题型综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的动手实践能力、空间想象能力、问题的探究能力以及分析问题和解决问题的能力。在运动变化过程中,探究几何图形的面积问题是近几年中考试题的热点,它更有利于学生创新能力的培养、发散思维的激发、数学品质的提高,现以一些年的中考试题为例,加以分析供初三师生复习时参考。 一. 折叠引出的重叠面积
例2:((南宁市) 如图1.1,在锐角△ABC 中,BC =9,AH ⊥BC 于点H ,且AH =6,点D 为AB 边上的任意一点,过点D 作DE ∥BC ,交AC 于点E .设△ADE 的高AF 为以DE 为折线将△ADE 翻折,所得的△A 'DE 与梯形DBCE 重叠部分的面x (0
积记为y (点A 关于DE 的对称点A '落在AH 所在的直线上). (1)分别求出当0
解:(1)①当0
分为△A 'ED
D E ∥B C ∴∠ C A D E =∠,B ∠A E D =∠∴△A D E
DE AF DE x 3',∴∴==,即
DE =x 又 FA =FA =x BC AH 962
113/
∴y=DE ∙A F =-⨯x ∙x
222 32
图1.1 ∴y =x (0
4
②当3
分为梯形EDPQ
FH =6-AF =6-x ,A 'H=A 'F -FH =x -(6-x ) =2x -PQ A 'H
=
DE A 'F 1PQ 2x -6
∴=,PQ =3(x -3) ∴y =(DE +PQ ) ⨯FH B 2x x
2
又 DE ∥PQ ∴△A 'PQ ∽△A 'DE ∴ =
1⎡392⎤
x +3(x -3) ⨯(6-x ) ∴y =-x +18x -27(3
图1.2
323227
; x =⨯3=
444
9292
当3
44
(2)当0
可知:当x =4时,y 的最大值:y 2=9 y 1
y 最大=9.
评析:本题通过三角形的折叠,创设了面积重叠的问题情境,使学生在经历操作、观察、实验与欣赏的解题过程中感受到数学的对称美,解决本题的关键是分清顶点A 落在三角形的内部和外部两种情况,用参变量t 的代数式表示相关线段的长度,进而建立重叠面积的函数关系式,利用函数的性质求得重叠面积的最值。 二.
旋转引出的重叠面积
例3:(邵阳市)(如图2.1),直线y =将△A x +2与x 轴,y 轴分别相交于点A ,B .O B
绕点O 按顺时针方向旋转α角(0°
(1)求点A ,B 的坐标;
(2)当点D 落在直线AB 上时,直线CD 与OA 相交于点E ,△COD 和△AOB 的重叠部分为△ODE (图2.1).求证:△ODE ∽△ABO ;
(3)除了(2)中的情况外,是否还存在△COD 和△AOB 的重叠部分与△AOB 相似,若存在,请指出旋转角α的度数;若不存在,请说明理由; (4)当α=30°时(图2.2),CD 与OA ,AB 分别相交于点P ,M ,OD 与AB 相交于点N ,试求△COD 与△AOB 的重叠部分(即四边形OPMN )的面积.
x
图2.2 图2.1 解:(1)当x =0时,y =-
x +2,即y =2 当y =0时,0=-+2即x =2 33
∴点A 的坐标为(23, 0) ,点B 的坐标为(0, 2)
(2)在Rt ∆AB 0中,∠BOA =90
OB =2, AO =23 ∴AB =
AO 2+BO 2=(23) 2+22=4
∴∠BAO =300, ∠ABO =600
根据旋转的性质可知:BO=DO∴∠OBD =∠ODB =60
∴∆BOD 为等边三角形∴∠BOD =600, ∠DOE =300, ∴∠DOE =∠OAB
有 ∠DBO =∠ODE ∴∆ODE ∽∆ABO
(3)存在,当旋转角为300时,∆COD 和∆AOB 重叠部分与∆AOB 相似。 (4)在∆BON 中,∠BOD =30,∠OBN =60
∴∠ONB =900,∠NOP =600
又 ∠OBN =∠ODP =60
∴∆DOP 为等边三角形,在Rt ∆BON 中,OB =2 ∴BN =1,ON =3∴DN =2-
在Rt ∆BON 中,MN =DN tan 60=(2-) ⨯=2-3
∴S 四边形OPMN =S ∆POD -S ∆DNM =
115⨯2⨯3-⨯(23-3)⨯(2-3)=6- 222
评析:本题将三角形的旋转置于平面直角坐标系之中,更好的将动与静、数与形有机的结合
在一起,更好的激发了学生的数学潜力并更好的培养了学生的数学素养。本题的起点不是很高,学生的解题入口较宽,体现了让不同的学生得到不同的数学发展的新课程理念。 三.平移引出的重叠面积
例3(义乌市)如图3.1,矩形ABCD 被对角线AC 分为两个直角三角形,AB=3,BC=6.现将Rt △ADC 绕点C 顺时针旋转90º,点A 旋转后的位置为点E, 点D 旋转后的位置为点F. 以C 为原点,以BC 所在直线为x 轴,以过点C 垂直于BC 的直线为y 轴,建立如图3.2的平面直角坐标系. (1) 求直线AE 的解析式;
图3.1
(2) 将Rt △EFC 沿x 轴的负半轴平行移动,如图3.3. 设OC=x (0
Rt △ABO 的重叠部分面积为s ; ① 当x =1与x =8时, 求s 的值;
② S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时x 的值;若不存在,请说明理由.
图3.2
图
3.3
(1)A (-6,3) ,E (3,6)
直线AE 解析式为:y =
1
x +5 3
s S ∆AOB
OC 2
)
AO
图3.4.
(2)①当x =1时,如图3.4,重叠部分为△POC 可得: Rt△POC ∽Rt △BOA , ∴
=(
s 21即:=解得:S =
95
②当x =8时,如图3.5,重叠部分为梯形FQAB 可得:OF =5,BF =1,FQ =2.5 ∴S =
图3.5
(3)①显然,画图分析, 从图中可以看出:当0
②当3
1111(FQ +AB ) ∙BF =(2.5+3) ⨯1= 224
369
, S ∆OFM = 54
36999
∴S =S ∆OBN -S ∆OFM = -=
5420
③当6
此时,S ∆OBN =
S ∆OCN
x 2(x -3) 2=, S ∆OFM =, S ∆BCG =(x -6) 2 54
x (x -3)
--(x -6) 2 54
2
2
图3.6
∴∴S =S ∆OCN -S ∆OEM -S ∆BCG =∴当x =
4536
时,S 有最大值,S 最大= 77
4536
综合得:当x =时,存在S 的最大值,S 最大=.
77
评析:本题是通过三角形的移动创设的面积重叠问题, 解决本题的关键是通过动手时间
与空间想象等手段利用数形结合思想,将图形的整个运动过程分清几种情况,在利用分类讨论的思想,对不同情境建立相应的函数解析式,利用函数的性质求得重叠面积的最值。
四.动点引出的重叠面积
,点B 在x 正半轴上,例4:(金华市) 如图4.1,在平面直角坐标系中,
已知点A (0
且∠ABO =30.动点P 在线段AB 上从点A 向点B
动时间为t 秒.在x 轴上取两点M ,N 作等边△PMN . (1)求直线AB 的解析式;
(2)求等边△PMN 的边长(用t 的代数式表示),并求出当等边△PMN 的顶点M 运
动到与原点O 重合时t 的值; (3)如果取OB 的中点D ,以OD 为边在Rt △AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE ,点C 在线段AB 上.设等边△PMN 和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ,请求出当
0≤t ≤2秒时S 与t 的函数关系式,并求出S 的最大值.
解:(1)直线AB
的解析式为:y =x +
(2) ∠AOB =90,∠ABO =30,
(图4.1)
∴AB =2OA =
, AP =,
∴BP =, △PMN 是等边三角形,∴∠MPB =90 ,
tan ∠PBM =
PM
,PB
∴PM =) ⨯
=8-t ., 3
当点M 与点O 重合时, ∠BAO =60,∴AO =
2AP .∴
,.
(3)①当0≤t ≤1时,见图4.2.设PN 交EC 于点G ,
重叠部分为直角梯形EONG ,作GH ⊥OB 于H .
∠GNH =60
,GH =∴HN =2, PM =8-t ,
∴BM =16-2t , OB =12,
∴ON =(8-t ) -(16-2t -12) =4+t ,
(图4.2)
1
∴OH =ON -HN =4+t -2=2+t =EG ∴S =(2+t +4+t ) ⨯=+2 S 随t 的增大而增大,∴当t =1时,S 最大= ②当1
重叠部分为五边形OFIGN .作GH ⊥OB 于H , FO =(图4.3)
∴EF =) =-∴EI =2t -2,
1
∴S =S 梯形ONGE -S △FEI =+(2t --=-2++2
评析:本题是由点的运动牵引出图形的变化构成的面积重叠问题,试题由易到难、由简 到繁很有层次感,是一道具有很好的选拔功能的综合题。解决本题的关键是分析点的运动变化过程,用参变量t 的代数式表示相关线段的长度,把动点视为静点参与运算。本题的突破口是抓住图形在运动过程中的临界点,运用数形结合和分类讨论的思想建立函数关系式,利用函数的性质解决问题。