分析深圳近十年常住人口(完成)

浙江农林大学2012年度数学建模

大赛参赛论文

●选择赛题： 【A 】 【B 】 【C 】 【D 】

注：用2B 铅笔将所选择的题目涂黑

●论文题目：深圳人口与医疗需求预测

●参赛队员个人信息：

注：前五栏为四号宋体，最后一栏用黑色中性笔签名。

深圳人口与医疗需求预测

摘要：“深圳人口与医疗预测”模型通过对深圳市人口年龄分布情况、户籍和非户籍人口数据进行深入分析。利用数学知识联系实际问题，在合理简化假设基础上，利用matlab 作出相应的解答和处理。

针对问题一，我们通过对深圳市历年人口数据的分析建立矩阵。利用Matlab 最小二乘法散点拟合，构造一个解析函数。并利用Logistic 增长模型，得出年份与年末常住人口的函数模型，预测出未来十年深圳市人口数量增长趋势。人口增长趋势大致呈二

，P 2015=1238.4万人， ，次函数形式。得出未来十年人口数据为：P 2011=1077.7万人，

P 2020=1432.9万人。运用所给数据，得出儿童、青壮年、老年在不同年份中的比例模型，

再通过matlab 最小二乘法拟合散点得出函数关系。计算得出未来十年人口结构发展趋势，人口结构大致呈“S ”型发展。N 2011(儿童) =9.9866%，N 2011(青壮年) =87.0193%，

N 2011(老年) =2.9941%， ，N 2020(儿童) =11.2340%，N 2020(青壮年) =84.9727%，N 2020(老年) =3.7933%.通过对年龄结构与患病率的相关，患病率和住院率相关，住院人

口数和床位相关的分析，建立模型，预测出未来十年全市和全区医疗床位需求。以2011年为例：罗湖区Q 1=2128，福田区Q 2 3060，南山区Q 3=2534，宝安区Q 4=9329，龙岗区Q 5=4622，盐田区Q 6=733，总体床位需求Q 总=22406。

针对问题二，我们通过网络资料查阅及之前数据分析得出因医疗条件改进导致患病

率的下降比例。用已知数据求解出A 病占B 人群的百分比，再通过已经预测的B 类人群的数量求出A 病在未来的病例数。建立模型：医院应当设置的床位数=医院每天就诊人数×平均住院天数。在求解过程中考虑因医疗条件改善导致的住院周期的降低。

深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。

从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。

未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：

问题一：

分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。 问题二：

根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。

二、问题的分析

问题一：对深圳未来人口及结构的预测问题，重点是求未来十年人口数量及结构的发展趋势。我们认为在短期内其年龄结构恒定。通过对所给数据的分析，分别建立年份矩阵A 和年末常住人口数矩阵B ，借助matlab 最小二乘法散点拟合，得出年份与年末常住人口的函数关系式，通过二次函数的基本特征求出环境可容纳的人口最大数量K 。通过Logistic 增长模型，得出每一年的人口增长率，再运用matlab 最小二乘法散点拟合，得出人口增长率与年份之间的函数关系式，得出未来十年深圳市每年的人口增长率。运用Logistic 增长模型，得出深圳市未来十年的人口数量发展趋势。

按照年龄划分儿童、青壮年、老年三个年龄层，求出三个年龄层的比例模型，得出关系函数。计算得出未来十年的结构发展趋势。通过如下关系：年龄结构和患病率相关，患病率和住院率相关，住院人口数和床位有关，建立数学模型，预测得出未来十年的床位需求数。

问题二：对不同疾病在不同类型医疗机构就医床位需求预测的关键是医疗条件改进后，各患病比率的下降比。利用问题一得到的深圳市人口数量和结构的发展趋势。选择较简单的小儿肺炎和急性阑尾炎进行分析预测。通过资料差得医院每天就诊人数和平均住院天数，得到医院应设置的床位数。通过上网咨询得到医疗条件改善后各病的下降比例。求得所需床位数。

1、假设本问题所使用的数据都是真实有效的。

2、假设深圳处于一个长期稳定状态，无战争、瘟疫等突发事件影响。 3、假设各地区的病患无交换流动现象，只限于本地区活动。 4、假设未来十年深圳市民生育观念、生育能力不发生变化。 5、假设未来十年深圳市生育政策不发生变化。

6、假设0-14岁为儿童，15-60为青中年，大于60岁的为年老者。 7、假设同一年龄段的出生率与死亡率相等。

8、假设小儿肺炎就只发生在0-9岁的青少年身上。

四、建模过程

问题一：

1）定义符号说明：

P i : 深圳市总人口数 N : 各年龄层所占的比例

Q i : 各区域床位需求 Q 总: 全市床位需求

A : 2000年-2010年的年份矩阵 B : 2000年-2010年的年末常住人口数矩阵

b i : 每年年末常住人口数 t : 年份

x (t ): 年末常住人口数 E : 相对误差

K : 环境可容纳的人口最大数量 x 0: 初始时刻人数

r : 人口增长率 t 0: 初始时刻

a 1: 全市的儿童比例 a 2: 青中年人口比例 a 3: 老年人口比例 Y 总: 全市医疗床位总需求 Q n : 各区医疗床位需求 D : 各区年龄结构比例

W : 全区总人数 R : 全市总床位数 Z : 住院率

2）模型建立：

①通过所给数据，列出2000年至2010年的年份矩阵：A =[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]， 2000年至2010年年末常住人口数矩阵：B ={b i }（i =1, 2, ,10）。 Matlab 最小二乘法散点拟合

蓝线为深圳常住人口原始数字的曲线，红线为拟合模型的曲线，通过对比我们发现，通过拟合模型预测的值基本与实际人口吻合，但还存在一定的误差。为了减少误差，我们又从中选择了2005年-2010年的人口数量进行拟合，得到年份x (t ) 与年末常住人口数的函数关系：

x (t ) =-0.1421t 2+43.8719t +612.3229,

得出2005—2010年原始数据与拟合后所得数据的对比表：

表2

拟合模型预测的值基本与实际人口几乎一致，同时通过MALTAB 软件我们得出：

2005--2010年的更加接近现今生活节奏，且得出的相对误差较前一个表格小，所以运用2005年--2010年中年份与年末常住人口数的函数关系

，x (t ) =-0.1421t 2+43.8719t +612.3229，得出二次函数顶点坐标为（154.37，3998.6）则环境可容纳的人口最大数量K ≥3998.6万人，设K =4000万人。

②利用Logistic 增长模型

由于儿童的比例和老年人口的比例与人口发展紧密联系，因此可以重点研究儿童人口比例和老年人口比例的变化趋势，青壮年人口比例可以根据三者比例和为1得到。 设儿童比例为a 1, 青中年人口比例为a 2，老年人口比例为a 3, 则

a 1+a 2+a 3=1.

为了简化模型，我们可以认为二者均为关于t 的线性函数，拟合得到:

a 1=0.1386t +8.0462， a 3=0.0888t +2.0173, a 1+a 2+a 3=1.

预测得到未来十年2011--2022年人口年龄组成表:

可通过计算，预测得出2011--2020年，儿童增长的平均比率为0.125，老年人平均增长比率为0.230。因此未来十年内深圳市将呈现增长向的趋势，虽然老年人的比例与少年儿童所占比例都在增加，但是r (儿童)

3）模型分析：

在以上模型中，各因子我们均视为常量或线性变化量，但实际问题复杂的多，如人口自然增长率并不是一个常量，它受到环境容纳能力，人口自然增长与年龄结构和男女性别比例的影响，除此之外，人口政策、户籍政策、人均寿命都会影响到人口的增长和人口结构的变化，还有很多非客观的因素。因此在实际中可以加入考虑某些必要因子，将模型中的相关理想值转化为相关的变化函数，并重新加入到模型中，得到新的预测模型。

在年龄结构的预测中，我们将地区和城市人口种类设置为常住人口总量，在年龄组

成上的差异性我们并没有考虑，因此模型会有一定的误差。

人口预测模型在很大方面都有重要应用，研究人口变化可以作为相关重大国策制定的参考依据。本模型在研究城市人口时可以作为比较有逻辑的数学模型，但需要加强研究各项相关因子的变化，以使模型更加准确。

假设光明新区和坪山新区是在2010年时新增加的两个区。并设定Y 总为全市医疗床位总需求量，Q n

8

(n =1,

2,

)

为, 8各区医疗床位需求量，不妨令

Y 总=

∑Q (n =1,2, ,8).

n

n =1

P 设D 为各区年龄结构比例，W 为全区总人数, R 为全市总床位数，总为全市总人数，

Z 为住院率，Q 为区床位需求，则：

区床位需求=各区年龄结构⨯全区总人数⨯（全市总床位数/全市总人数），可得

Q =D ⨯W ⨯Z 即G =D ⨯W ⨯(R /P ) .

由于所给数据有限，我们只得到了2000年和2010年的各区人数和各区中各个年龄

层的人口数量分布，运用matlab 最小二乘法拟合散点，得出2000--2010年各区床位需求大致走向是呈正向发展趋势，如图所示:

2000--2010年各区床位需求曲线图

进而得出了各个区的床位需求量与年份的函数关系式： 罗湖区：Q 1=89.8t +1140, 福田区：Q 2=156.6t +1337, 南山区：Q 3=134t +1060, 宝安区：Q 4=483.5t +4011, 龙岗区：Q 5=191t +2581,

盐田区：Q 6=46.3t +224. （取t =11,12， ，20）

则全市总床位需求R (t ) =Q 1+Q 2+ +Q 6，以此预测出未来十年的各区和全市医疗床位需求。

a 1, 青中年人口比例为a 2，老年人口比例为a 3, 则 a 1+a 2+a 3=1 为了简化模型，我们可以认为二者均为关于t 的线性函数，拟合得到:

a 1=0.1386t +8.0462

a 3= 0.0888t +2.0173

a 1+a 2+a 3=1

运用matlab 最小二乘法拟合散点，得出2000--2010年各区床位需求大致走向是呈正向发展趋势。进而得出了各个区的床位需求量与年份的函数关系式：

罗湖区：Q 1=89.8t +1140 福田区：Q 2=156.6t +1337 南山区：Q 3=134t +1060 宝安区：Q 4=483.5t +4011 龙岗区：Q 5=191t +2581 盐田区：Q 6=46.3t +224

从图中可以明确看出各个区未来五年医疗床位需求将呈增长趋势。

问题二：

根据医院的不同性质我们将其分为综合医院、儿童医院、妇幼保健院三大类。综合医院医疗专业性强，内、外、妇、儿等专科齐全。儿童医院则是主要研究儿童的各项疾病，以儿童为主要研究方向的医院。妇幼保健院的主要医治妇女儿童的各项疾病。

1）定义符号说明：

P ——比例因素；

H ——每天就诊人数；

Y ——平均住院天数；

M ——A 病在B 医院应当设置的床位数。

2）模型建立：

①、小儿肺炎对各医疗各机构的床位需求

1、求解出小儿肺炎病占青少年（0-16岁）人群的百分比：

p =A 1÷S =32644÷103⨯104=3.15%

2、计算2020年小儿肺炎的病例数：

A =P ⨯S =269.19⨯104⨯3.15%=8.479⨯104

3、医疗条件改进及外来就医影响：

通过资料查阅及第一问数据分析我们得出因医疗条件改进导致患病率每10年将降低5%，而随着社会的发展外来就医人数也将降低6%。因此到2020年小儿肺病的实际病例数为:

A '

`=A ⨯(1-5%-6%)=7.54⨯104

4、平均每天的病例数：

H =A ' ÷365≈206

8、因医疗条件改善导致的住院周期的降低：

通过资料查阅及第一问数据分析我们得出因医疗条件改进2020年小儿患病的住院周期9、2020年结果：

综合医院：M =H ⨯Y =5.8⨯137.814≈800

儿童医院：M 1=H 1⨯Y 1=6.4⨯35.226≈227

妇幼保健院：M 2=H 2

⨯Y 2=6.03⨯32.96≈199

10、实际情况考虑：

考虑到可能存在同时进入的情况因此每类医院的病床数增加2%，因此2020年小儿肺炎

②、急性阑尾炎病的对各医疗各机构的床位需求

1、求解2010年急性阑尾炎病占成年人（18-39岁）人群的百分比：

p =A 1÷S =10363÷521.71⨯104=0.198% （32）

2、计算2020年急性阑尾炎病的病例数：

A =P ⨯S =1150⨯104⨯0.198%=2.27⨯104 （33）

3、医疗条件改进及外来就医影响：

通过资料查阅及第一问数据分析我们得出因医疗条件改进导致患病率每10年将降低3%，而随着社会的发展外来就医人数也将降低4%。因此到2020年急性阑尾炎病的实际病例数为:

A '

`=A ⨯(1-3%-4%)=2.11⨯104

4、平均每天的病例数： （34）

H =A ' ÷365≈58 （35）

8、因医疗条件改善导致的住院周期的降低：

通过网络资料查阅及之前数据分析，我们得出因医疗条件改进到2020年急性阑尾9、2020年急性阑尾炎病对的各医疗机构就医的实际床位需求：

综合医院：M =H ⨯Y =6.38⨯56≈358 （36） 儿童医院：M 1=H 1⨯Y 1=3⨯8.9≈27 （37） 妇幼保健院：M 2=H 2⨯Y 2=0⨯0=0 （38）

10、实际情况考虑

考虑到可能存在同时进入的情况因此每类医院的病床数增加2%，因此2020年急性

五、模型的评价

优点：

1、为了提高预测的精确度，对于各种的传统预测方法，做了针对性的筛选，通过权衡比较，最终选定Logistic 增长模型。

2、将数学建模与计算机编程紧密的结合在一起，本文中运用了Eviews 、Spss 以及Excel 等简单的数据处理软件，同时利用Matlab 进行了一些编程，大大提升了数据的处理能力。

3、本文的模型具有很好的推广性，在其它领域发挥很好的效果。

缺点：

1、计算得出的预测数据是建立在较多的假设基础之上的，较为理想化，有很多客观或主观因素不能全面的考虑进去，只能得到在一定程度上更接近正确的合理性数据。

2、某些年份所提供的医疗机构数量较少，在拟合时只能用一次曲线来表达，所以在数据不充足的情况下，该部分问题的误差略微的增大可能会导致结果的不准确。

六、模型的推广

我们选用logistic 模型对深圳市未来十年人口数量和结构进行预测，计算出了环境所能容纳人口的最大数量K 。Logistic 模型可用于细菌增长、渔牧业规律等方面。主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率。logistic 回归模型主要运用于：1、寻找危险因素，如寻找某一疾病的危险因素等。 2、预测，若已经建立了logistic 回归模型，则可以根据模型，预测在不同的自变量情况下，发生某病或某种情况的概率有多大。 3、判别，跟预测有些类似，根据logistic 模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。

在预测医院的患病人数时，将每个时期的患病人数和时间进行模型运算，可得到某段时间的该种疾病的患病率，有助于医护人员做好防范措施，筹备食疗方案，避免病情的扩撒从而找到个更好的治疗方法，造福群众。

在商业方面，购买某公司产品的人数，也能通过Logistic 模型进行计算市场占有量，据目前形式可知道，市场占有率不会超过总人数的20%，这样商家就可以根据广大消费者喜爱的方面去进行创意设计产品，来考虑市场要求的变化，来达到更好的效益.

在国家经济建设方面，为了避免国际市场中复杂局势带来的不利影响，须力争实现由贸易大国向贸易强国的转变，转变对外贸易增长方式，优化外贸商品结构，其中扩大高技术产品的出口及其国际市场竞争力是一条重要途径。因此, 应关注高技术产品的出口，分析其在不同时期的变化规律，这对未来一段时期内优化我国产品出口结构和促进产业结构升级有着重要的实际指导意义，进口量和出口量也可以运用Logistic 增长模型来进行预测等等。

logistic 模型被广泛应用于各个领域。

七、参考文献

[1]、李连忠，具有年龄结构与区分性别的中国人口增长模型[J].徐州师范大学学报（自然科学版）,2008

[2]、郑晓瑛等，中国人口、人力资本变化趋势[J]市场与人口分析，2007

[3]、屈思敏，农村出生人口性别比例失调的成因[J].统计与决策，2006

[4]、王晓军，蔡正高，死亡率预测模型的新进展[J].统计研究，2008

[5]、姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M],北京高等教育出版社，2003

[6]、吴建国. 数学建模[M],中国水利水电出版社，2005

[7]、2010年美国人口预测报告。

[8]、深圳市卫生和人口计划生育委员会。